uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

8.5 Lastnosti konvolucije 199
kjer je n ∈ Z + in φ(t) najmanj n-krat v točki 0 (zvezno) odvedljiva funkcija,
dobimo:
∫ ∞
v ∗ δ [n] = v(t − τ)δ [n] (τ) dτ (8.55)
−∞
∣
[n] d[n]
= (−1)
dτ n v(t − τ) ∣∣τ=0
= v [n] (t) ; t ∈ R , (8.56)
kjer je v [n] n-ti odvod funkcije v. Sledi
v ∗ δ [n] = v [n] , m,n ∈ Z . (8.57)
Lastnosti konvolucije z δ impulzom so povzete v tabeli 8.1.
Tabela 8.1
Lastnosti konvolucije signala z odvodom Diracovega impulza.
lastnost
pogoj
a. v ∗ δ [n] = v [n] v je lahko katerakoli regularna ali
generalizirana funkcija, n ∈ Z +
b. δ [m] ∗ δ [n] = δ [m+n] m,n ∈ Z +
ZGLED 8.5.4 (Sistem z diferenciatorjem)
Določimo impulzni odziv diferenciatorja!
REŠITEV: Diferenciator je zvezni vhodno-izhodni sistem s povezavo y = pv, p je
operator odvajanja (glej razdelek 8.5.7 na predhodni strani).
Preprosto lahko preverimo, da je ta sistem linearen in časovno neodvisen, torej je
konvolucijski sistem. Njegov impulzni odziv poiščimo tako, da damo na vhod Diracov
impulz δ(t). Vemo, da je v tem primeru odziv sistema y(t) = h(t):
y(t) = h(t) = pδ(t) = δ [1] (t) .
Torej je impulzni odziv diferenciatorja enak δ [1] . Ker je δ (1) posplošena funkcija oziroma
distribucija, mnogi avtorji pravijo, da diferenciator kot sistem ne obstaja, saj v
praksi tako δ kot tudi δ (1) lahko le aproksimiramo.
♦
datoteka: signal_A