uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

8.5 Lastnosti konvolucije 197
REŠITEV: Ker je integrator kavzalni sistem – njegov izhod je odvisen od trenutne in
vseh predhodnih vrednosti vhoda – in ker je vhodni signal tudi kavzalen, lahko njegov
izhod določimo s konvolucijskim integralom, ki smo ga zapisali v (8.43).
∫ t
y(t) = h(t) ∗ x(t) = h(τ)v(t − τ) dτ . (8.46)
0
Upoštevamo, da vhod v(t) = u(t) ter impulzni odziv, ki smo ga določili v zgledu 8.5.1 na
predhodni strani. Dobimo
⎧
∫ t
⎨0 t < 0
y(t) = 1
0
}{{}
·
}{{}
1 dτ =
⎩
τ∣ t = t t > 1 = k(t) . (8.47)
h(τ) v(t−τ)
0
Pripomnimo še, da simbol za integrator, ki ga uporabljamo v regulacijah, ponazarja
klanec, ki je odziv integratorja na stopnico na vhodu.
♦
ZGLED 8.5.3 (Odziv integratorja na harmonični val)
Določimo odziv integratorja na periodični signal v(t) = cosωt!
REŠITEV: Imamo kavzalni sistem in periodični – torej nekavzalni – vhodni signal.
Zato izhod integratorja lahko določimo z obrazcem v (8.44).
∫ t
y(t) = cosωτ dτ = 1 ∣ ∣∣∣
t
−∞
ω sinωτ = sinωt
−∞
ω
, (8.48)
kjer smo upoštevali izrek o končnih vrednosti (glej dodatek ?? na strani ??):
∫ ∞
lim sinωt dt = 0 .
ω→−∞ −∞
Do enakega rezultata pridemo, če odziv določimo s konvolucijskim integralom (8.27).
V njem upoštevamo, da je integrator kavzalni sistem. Zato zapišemo:
∫ t
y(t) = 1· cosω(t − τ) dτ (8.49)
0
∫ t [ ]
= cosωt cosωτ + sinωt sinωτ dτ
0
∫ t
∫ t
= cosωt cosωτ dτ + sinωt sinωτ dτ
0
0
= cosωt 1 ω [sinωt − 0] + sinωt 1 [−cosωt + 1]
ω
cosωt sinωt cosωt sinωt
= − + sinωt
ω
ω ω
= sinωt . (8.50)
ω
♦
datoteka: signal_A