uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

194 8. Sistemi
8.5.2 Stabilnost konvolucijskih sistemov
Vhodno-izhodno (BIBO) stabilnost smo definirali v definiciji 8.2.5 na strani
183. Iz nje sledi naslednji izrek:
IZREK 8.1 (BIBO stabilnost konvolucijskih sistemov)
Konvolucijski sistem je BIBO stabilen takrat in samo takrat, ko ima impulzni odziv h
končno jakost ‖h‖ 1 < ∞. Takrat velja:
‖y‖ ∞ ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ (8.36)
pri vsakem vhodu s končno amplitudo.
Veljavnost (8.36) bomo dokazali le pri časovno diskretnih sistemih. Za
časovno zvezne sisteme je izpeljava dokaza ekvivalentna.
DOKAZ 8.1
Izhod časovno diskretnega konvolucijskega sistema y[n] je:
y[n] =
n
∑
m=−∞
h[n − m]v[m] , n ∈ Z
Z uporabo trikotniškega izreka za kompleksna števila lahko zapišemo:
∣ ∣ ∣∣∣∣ ∞ ∞
∣ y[n] = ∑ h[n − m]v[m]
m=−∞
∣
∣
∑
∣ h[n − m]v[m] .
m=−∞
} {{ }
=S
Izraz S ima očitno največjo vrednost takrat, ko so vsi v[m] enaki maksimalni vrednosti
vhodnega zaporedja, ki jo izmerimo z ‖·‖ ∞ . Zato zagotovo velja:
∣
∣y[n] ∣
∞
∑
m=−∞
∣
∣h[n − m] ∣ ∣·‖v[m]‖ ∞ = ‖v[m]‖ ∞ ·
n
∑
m=−∞
∣
∣h[n − m] ∣ ∣
pri vseh m ∈ Z. Z zamenjavo spremenljivk n − m = k dobimo:
(
∣ ∞∑
)
∣ y[n] |h(k)| ·‖v‖ ∞ = ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ , n ∈ Z ,
m=−∞
} {{ }
‖h[k]‖
oziroma:
‖y‖ ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ . □
Iz dokaza lahko povzamemo: če je jakost impulznega odziva končna, torej
‖h‖ 1 < ∞, potem je maksimalna amplituda odziva ‖y‖ ∞ na vsak vhod s
končno amplitudo ‖v‖ ∞ ∞ omejena s ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315