uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

188 8. Sistemi
8.4 Konvolucija
Povejmo takoj! Konvolucija ima v signalni obravnavi sistemov osrednji, nikoli
dovolj poudarjen pomen. Z njo, točneje konvolucijskim integralom oziroma
konvolucijsko vsoto v linearnih, časovno neodvisnih sistemih, za katere
poznamo impulzni odziv, izračunamo odziv sistema na poljubni vhodni signal.
8.4.1 Izpeljava konvolucijskega integrala
Konvolucijski integral lahko preprosto izpeljemo iz odziva sistema na Diracov
impulz z uporabo četrte lastnosti posplošenih funkcij (razdelek 7.3 na
strani 168):
[en. 7.28 ]
∫ ∞
−∞
x(τ)δ(t − τ) dτ = x(t) , (8.21)
iz katere sledi, da lahko signal x(t) opišemo z integralom, v katerem se pomika
Diracov impulz po integracijskem območju od −∞ do +∞.
Impulzni odziv
V signalnem zapisu sistema izhajajmo iz odziva sistema na Diracov impulz:
h(t) = T{δ(t)} . (8.22)
Imenujemo ga impulzni odziv. Nanj gledamo kot na odziv na “enotski” vhodni
signal (ker je po definiciji ∫ ∞
−∞ δ(t) dt = 1), zato z gotovostjo predvidevamo,
da je možno preslikavo sistema opisati prav z njim.
Odziv na poljubni vhodni signal
V odzivu na poljubni vhodni signal:
y(t) = T{v(t)} . (8.23)
upoštevamo (8.21):
{ ∫ ∞
}
y(t) = T v(τ)δ(t − τ) dτ
−∞
. (8.24)
Ker je od časa t odvisen le δ(t − τ), za (8.24) velja:
∫ ∞
y(t) =
{ v(τ)T δ(t − τ) } dτ (8.25)
−∞
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315