uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

170 7. Posplošene funkcije
peljavi impulznega odziva pri linearnih, pomično neodvisnih sistemih.
V primeru, da Diracov impulz premikamo skokoma za interval T , dobimo
vzorec signala. Ker digitalna obdelava signalov temelji na tej
lastnosti, je podrobneje opisana v razdelku 7.4 na naslednji strani.
(v) Pomik funkcije
Iz lastnosti (7.22), (7.26) in (7.28) sledi:
∫ ∞
x(t −t 0 )h(t − τ) dτ =
−∞
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t −t 0 − τ) dτ = x(t −t 0 ) . (7.29)
To lastnost uporabljamo pri opisu zakasnitev, oziroma opisa sistemov,
katerih funkcija ali lastnost je zakasnitev signala.
(vi) Odvod Diracovega impulza in odvajanje funkcij
∫ ∞
−∞
x(τ) dn δ(τ)
dτ n
dτ = (−1) n dn x(t)
dt n . (7.30)
DOKAZ 7.3
Bodi ξ (t) regularna funkcija, zvezna v trenutku t = 0. Z integracijo po delih lahko
izpeljemo:
∣
∫ ∞
−∞
dξ (t)
dt
x(t) dt = ξ (t)x(t) ∣ ∞ ∫ ∞
−
−∞
−∞
ξ (t) dx(t)
dt
∫ ∞
= − ξ (t) dx(t) dt (7.31)
−∞ dt
za vsak ξ (t), za katerega obstaja integral in x(t) pri katerem velja
ξ (−∞)x(−∞) = ξ (∞)x(∞) = 0 . (7.32)
Če za ξ (t) izberimo delta funkcijo δ(t), potem je (7.32) vedno izpolnjena, desna
stran (7.31) pa pri vsaki regularni funkciji x(t), ki je odvedljiva v točki t = 0,
postane:
∫ ∞
−∞
δ(t) dx(t)
dt
dt = − d x(0) . (7.33)
dt
Na enak način lahko pokažemo, da obstaja n-ti odvod delta funkcije δ [n] in da
lahko z njo določimo odvod zvezne funkcije x(t). S ponavljanjem parcialnega
odvajanja v (7.31) je preprosto pokazati, da velja:
∫ ∞
−∞
δ [n] (t)x(t) dt =
∫ ∞
−∞
δ(t)x [n] (t) dt = (−1) n x [n] (0) , (7.34)
ki je definirana za vsako regularno, v točki t = 0 zvezno in n-krat odvedljivo
funkcijo x(t). Z upoštevanjem (7.28) lahko (7.34) posplošimo – dobimo enak
rezultat, kot je v (7.30).
□
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315
dt