uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

168 7. Posplošene funkcije
DEFINICIJA 7.2.6 (Fourierova transformacija posplošenih funkcij)
Fourierova transformacija posplošene funkcije je določena z zaporedjem Fourierovih
transformacij dobrih funkcij.
DEFINICIJA 7.2.7 (odvod posplošenih funkcij)
Odvod posplošene funkcije je posplošena funkcija določena z zaporedjem odvodov
dobrih funkcij.
7.3 Lastnosti Diracovega impulza
Poudarit moramo, da so vse lastnosti Diracovega impulza, ki jih tu navajamo,
izpeljane iz njegove definicije v (7.19). V nadaljevanju povzemamo
le pomembnejše lastnosti δ(t), pri čemer je pozornost usmerjena na njihovo
usklajenost z definicijo v (7.19).
(i) Diracov impulz je sodo simetričen:
(ii) Vrednost funkcije v trenutku t = 0 (slika 7.2)
δ(t) = δ(−t) . (7.21)
x(t)δ(t) = x(0)δ(t) . (7.22)
To lastnost smo uporabili pri definiciji Diracovega impulza. Njeno pomen
in veljavnost potrdimo še z naslednjim dokazom.
DOKAZ 7.1
Izhajamo iz (7.5) kjer δ(t) zamenjamo z δ h (t). Tedaj je:
∫ ∞
∫ h
x(t)δ h (t) dt = x(t)δ h (t) dt = 1 ∫ h
x(t) dt
−∞
−h
2h −h
. (7.23)
Integral na desni strani (7.23) uženimo s prvim izrekom o povprečni vrednosti
(izrek 3.1 na strani 83):
∫ h
x(t) dt = 2hx(ξ h ) , −h ξ h h , (7.24)
−h
in upoštevamo rezultat v (7.23):
∫ ∞
x(t)δ h (t) dt = 1
2h 2hx(ξ h) = x(ξ h ) , −h ξ h h .
−∞
V limitnem postopku manjšamo h proti nič:
∫ ∞
lim
h→0 −∞
Torej velja (7.22) in tudi (7.5).
∫ h
x(t)δ(t) dt = lim x(t)δ h (t) dt
h→0 −h
= x(ξ h = 0) = x(0) .
(7.25)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315
□