uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

7.2 Definicija Diracovega impulza s porazdelitveno funkcijo 165
DEFINICIJA 7.2.1 (dobra funkcija)
Dobra funkcija x(t) je funkcija, ki je: (i) poljubnokrat odvedljiva na vsem definicijskem
območju, (ii) njeni odvodi in funkcija sama z naraščanjem upadajo t s hitrostjo 1/t n pri
vseh n.
Preprosto lahko dokažemo, da je odvod dobre funkcije neka druga dobra
funkcija. Pravtako je vsota in produkt dveh dobrih funkcij dobra funkcija.
DEFINICIJA 7.2.2 (regularno zaporedje)
Zaporedje
{x(t)} = {x ( t),x 2 (t),...,x n (t)} (7.9)
dobrih funkcij imenujemo regularno, če za poljubno funkcijo ξ (t) obstaja limita:
V x (ξ ) = lim
n→∞
∫ ∞
−∞
{x n (t)}ξ (t) dt (7.10)
Primer regularnega zaporedja je zaporedje eksponentnih funkcij:
{x(t)} = e (−t2 /n 2 )
. (7.11)
Limito tega zaporedja (slika 7.4a) izračunamo z (7.10) in je enaka:
V x (ξ ) =
∫ ∞
−∞
ξ (t) dt . (7.12)
DEFINICIJA 7.2.3 (ekvivalentna dobra funkcija)
Dve regularni funkciji sta ekvivalentni, če z (7.10) dobimo isto limito njunih zaporedji pri
poljubni funkciji ξ (t).
Primer ekvivalentnih zaporedij dobrih funkcij sta e −t4 /n 4 in e −t2 /n 2 .
Iz definicij 7.2.2 in 7.2.3 sledi, da je število, ki ga da limita V x (ξ ), odvisno
od funkcije ξ (t). Zato ta funkcija določa porazdelitev x(t), ki jo imenujemo
limita zaporedja {x n (t)}:
x(t) = lim
n→∞
{x n (t)} . (7.13)
Zgornja definicija je le zgoščen zapis dejstva, da je zaporedje {x n (t)} izpolni
(7.10) in da limita (7.13) ne mora obstajati v navadnem smislu.
DEFINICIJA 7.2.4 (posplošena funkcija)
1. Posplošena funkcija x(t) je regularno zaporedje dobrih funkcij.
datoteka: signal_A