uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

164 7. Posplošene funkcije
in
∫ h
−h
∫ h ∫
1 h
δ h (t) dt =
−h 2h dt − 1
−h h 2 |t| dt = 1 h
h∣
− 1 ∣ ∣∣∣
h
−h
h 2 |t| −h
{
1 pri − h < t < h
=
. (7.8)
0 sicer
oziroma v limitnem postopku, ko h manjšamo proti nič, dobimo enak rezultat
kot v (7.3). Limitni postopek v (7.4) in (7.5) si lahko predstavljamo kot
zaporedje približkov, ki so še običajne funkcije, vendar se v limiti bližajo Diracovem
impulzu. Ta predstava je bila osnova, na kateri je Laurent Schwartz
razvil teorijo posplošenih funkcij.
P.A.M. Dirac (1902–1984), angleški matematik in fizik, je avtor kvantne
mehanike. Funkcijo δ(t), ki ima danes ime po njem, je vpeljal
v svojem znamenitem delu ”The principles of Quantum Mechanics“.
Leta 1993 je dobil Nobelovo nagrado za fiziko.
Francoski matematik Laurent Schwartz (1915–2003), je med leti
1945-1950 z razvojem teorije distribucij matematično utemeljil posplošene
funkcij. Deloval je tudi na področju stohastičnih diferencialnih
enačbah. Znan je tudi po svojem delovanju v mirovnih gibanjih.
7.2 Definicija Diracovega impulza
s porazdelitveno funkcijo
Diracov impulz lahko definiramo kot rezultat limitnega procesa zaporedja
tako imenovanih dobrih funkcij. Te definicije Diracovega impulza s pridom
uporabimo pri izračunu Fourierove transformacije signalov, za katere le ta ne
obstaja v striktnem smislu in jih zato računamo z limitnim procesom.
Najprej utrimo pot do definicije Diracovega impulza. Pot vodi od definicije
dobrih funkcij, preko definicij regularnih zaporedij, ekvivalentnih dobrih
funkcij do posplošenih funkcij. Poglejmo!
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315