uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

162 7. Posplošene funkcije
Slika 7.1
Pravokotni pulz δ h (t).
Z manjšanjem h narašča višina pulza, vendar pri tem njegova površina ostaja
konstantna, to je enaka 1. Površina pulza ostane enaka 1 tudi takrat, ko v
limitnem postopku manjšamo h proti nič in zaradi tega višina ”pulza“ narašča
preko vseh mej:
∫ h
{
1 pri h = t = 0
lim δ h (t) dt =
h→0 −h
0 sicer
. (7.3)
Pri (7.3) opozorimo na dvoje:
1. Rezultat limitnega postopka je ”pulz“ s širino nič (zato ga imenujemo
impulz) in neskončno višino:
lim δ h(t) = δ(t) =
h→0
{
0 t ≠ 0
∞ t = 0
, (7.4)
med tem ko ploščina ostaja enaka 1. Funkcijo, ki opisuje ta primer,
imenujemo Diracova delta funkcija ali na kratko Diracov impulz δ(t).
2. Riemannov integral funkcije, ki je povsod enaka nič razen v trenutku
nič, je enak nič. Zato je (7.3) le zapis, matematično pa to funkcijo
definira:
∫ ∞
φ(t)δ(t) dt = φ(0) , (7.5)
−∞
kjer je φ(t) testna funkcija, omejena in regularna s signalno osjo T ∈
R in zvezna v trenutku t = 0.
Ker je integral (z mejama −∞,∞) produkta Diracovega impulza s testno
funkcijo ohrani vrednost samo pri t = 0 (slika 7.2), imenujemo
Diracov impulz tudi enotski impulz.
Alternativa k zapisu v (7.5) je:
⎧
φ(0) a < 0 < b
∫ b
⎪⎨
φ(t)δ(t) dt = 0 a < b < 0 , 0 < a < b
a
⎪⎩
nedefinirana a = 0 ali b = 0
. (7.6)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315