uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

6.6 Naključni signali in šumi 159
Ker je srednja vrednost X(t) enaka nič in zato neodvisna od časa, in ker je avtokorelacija
odvisna le od zamika τ, zaključimo, da je X(t) stacionarni proces v širšem
pomenu.
♦
V zgornjem zgledu je avtokorelacija ρ xx (τ) periodična funkcija s periodo
T 0 = 2π/ω. Stacionarne procese s tako značilnostjo imenujemo tudi periodični
stacionarni procesi.
ZGLED 6.6.2
Ugotovimo, ali je naključni proces X(t)
X(t) = Acos(ωt + θ) , (6.130)
kjer sta krožna frekvenca ω in fazni kot θ konstantna, amplituda A pa je naključna
spremenljivka, stacionarni proces v širšem pomenu.
REŠITEV: Najprej izračunamo srednjo vrednost µ x :
µ x = E[X(t)] = E[Acos(ωt + θ)]
= cos(ωt + θ)E[A] (6.131)
kar kaže na to, da srednja vrednost X(t) ni konstantna, četudi je E[A] konstantna.
ρ xx = E[X(t)X(t + τ)] = A2
2π E[A2 cos(ωt + θ)cos[ω(t + τ) + θ] (6.132)
= 1 2 [cosωτ + cos(2ωt + 2θ + ωτ)]E[A2 ] , (6.133)
kar spet kaže na to, da avtokorelacija ni le funkcija premika τ četudi je E[A 2 ] konstantna.
Zato lahko upravičeno sklepamo, X(t) ni stacionarni proces v širšem pomenu. ♦
ZGLED 6.6.3
Ugotovimo, ali je naključni proces (6.125) iz zgleda 6.6.1 striktno ergodičen.
REŠITEV:
Najprej preverimo, ali proces izpolnjuje točko 1 definicije. Iz (6.123) sledi:
x = X(t) = lim
1
∫ T /2
T →∞ T −T /2
∫ T0 /2
= A T0
−T 0 /2
Acos(ωt + θ) dt
cos(ωt + θ) dt = 0 , (6.134)
datoteka: signal_A