uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

158 6. Naključni signali in statistične metode
Nekaj zgledov
Statistični opis naključnih signalov pojasnimo in utrdimo z nekaj zgledi.
ZGLED 6.6.1
Ugotovimo, ali je naključni proces X(t)
X(t) = Acos(ωt + θ) , (6.125)
kjer sta amplituda A in krožna frekvenca ω konstantni, fazni kot θ pa je naključna
spremenljivka z enakomerno porazdelitvijo gostote verjetnosti:
f θ =
stacionarni proces v širšem pomenu.
{ 1
2π
0 sicer
−π < θ < π
REŠITEV: Najprej izračunamo srednjo vrednost µ x :
µ x = E[X(t)] (6.126)
∫ ∞
∫ π
= Acos(ωt + θ) f θ (θ) dθ = A cos(ωt + θ) 1
−∞
−π
2π dθ
= A ∫ π [ ]
sinωt cosθ + cosωt sinθ dθ
2π −π
[
= A
π
]
π
sinωt sinθ
2π
∣ +cosωt cosθ
∣ = 0 (6.127)
−π
−π
} {{ } } {{ }
(0−0)=0
(−1−(−1))=0
nato pa še avtokorelacijo:
ρ xx = E[X(t)X(t + τ)] (6.128)
=
∫ π
= A2
2π
= A2
2π
= A2
2π
−π
∫ π
Acos(ωt + θ)Acos(ω(t + τ) + θ) f θ (θ) dθ
−π
∫ π
−π
∫ π
−π
= A2
4π cosωτ θ ∣ ∣∣∣
π
cos(ωt + θ)cos(ωt + ωτ + θ) dθ
1
2
[cos(ωt + θ − ωt − ωτ − θ) + cos(ωt + θ + ωt + ωτ + θ)] dθ
1
2 cos(ωτ) dθ + A2
} {{ } 2π
=cos(−ωτ)
−π
} {{ }
=2π
= A2
2
∫ π
1
2
−π
cos(2ωt + ωτ + 2θ) dθ
} {{ }
=0, glej (6.126)
cosωτ . (6.129)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315