uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

156 6. Naključni signali in statistične metode
korelacijsko funkcijo pa pomično neodvisno, torej odvisno le od razlike τ =
t 2 −t 1 :
E [X t1 X t2 ] = ρ xx (τ) . (6.119)
imenujemo stacionarne v širšem pomenu.
Iz (6.113) in (6.119) sledi, da je pri stacionarnih naključnih procesih v
širšem pomenu tudi kovarianca neodvisna od časa in odvisna le od intervala
τ:
C xx (τ) = ρ xx (τ) − µ 2 x . (6.120)
Dva naključna procesa, na primer X(t) in Y (t) sta povezana stacionarno v
širšem smislu, če sta vsak zase stacionarna v širšem smislu in je njuna križna
korelacija odvisna le od pomika med signaloma:
ρ xy (t,t + τ) = E [X(t)Y (t + τ)] = ρ xy (τ) . (6.121)
Enako velja za križno kovarianco:
C xy (τ) = ρ xx (τ) − µ 2 x . (6.122)
Stacionarni sistemi v širšem smislu imajo manj stroge pogoje kot striktno
stacionarni sistemi. Vsi striktno stacionarni sistemi so tudi stacionarni v
širšem pomenu. Seveda obratno ne velja.
Ergodičnost
Da lahko izračunamo srednjo vrednost in avtokorelacijo s povprečenjem populacije,
moramo poznati povprečje vseh vzorcev stohastičnega procesa in
moramo poznati prvi in drugi moment. Tako poznavanje stohastičnega procesa
nam v splošnem ni na voljo. Izjemoma so nam znane, če ima opazovani
naključni proces posebno lastnost, da je povprečje populacije enako časovnemu
povprečju procesa. To lastnost imenujemo ergodičnost. Ergodičnim
stohastičnim procesom lahko določimo statistične lastnosti že s časovnim
povprečenjem ene same populacije, ki nastopi v nekem končnem časovnem
intervalu.
Da je naključni proces ergodičen, mora biti stacionaren v striktnem pomenu.
Obratno vedno ne velja, saj striktno stacionarni procesi niso nujno
tudi ergodični procesi.
DEFINICIJA 6.6.2 (ergodični proces)
Stacionaren proces je ergodičen proces v striktnem pomenu takrat, ko naključna spremenljivka
v opazovanem intervalu zavzame vse svoje možne vrednosti. V tem primeru
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315