uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

146 6. Naključni signali in statistične metode
pa izhajamo iz:
P(X > a) =
∫ ∞
a
1
√
{− exp 1 ( x−µx
) 2
}
2πσ 2 2
dx ,
kjer z zamenjavo spremenljivk u = (x − µ x )/σ in s skaliranem spodnje meje
integriranja: a = (a − µ x )/σ določimo pravilo uporabe tabeliranih vrednosti
funkcije Q(x):
1
P(X > a) = √
2πσ 2
∫ ∞
a−µx
σ
σ
e −u2 /2 du = Q ( a−µ x
)
σ
. (6.90)
Iz P(X b) = 1 − P(X > b) z upoštevanjem (6.90) sledi:
)
P(X b) = 1 − Q(
b−µx
σ
, (6.91)
kombinacija (6.90) in (6.91) pa da:
x
x
0 x
3
FX( x)
P(D)
P(F)
x
2
P(C)
x
P(A)
P(B)
x
2
x
3
x
P(a < X b) = P(X > a) − P(X > b)
= Q ( a−µ x
) ( )
σ − Q b−µx
σ
. (6.92)
Obrazci (6.90), (6.91) in (6.92) omogočajo izračun Q(x) za pozitivne vrednosti
x. Za negativne x pa zaradi sode simetrije f X (x) okoli vertikale skozi
x = µ x velja
Q(−c) = 1 − Q(c) . (6.93)
ZGLED 6.3.2
Določimo verjetnost ocen A, B, C, D in F, kadar je ocenjevanje narejeno na osnovi
Gaussove porazdelitve gostote verjetnosti. Meje med ocenami A, B, C, in D so pri
µ x + 2σ, µ x + σ, µ x − σ in µ − 2σ (slika 6.21).
Slika 6.21
REŠITEV:
Verjetnost A (in F) izračunamo iz:
P(A) = P(X > µ x + 2σ) = P( X−µ
σ
= Q(2) = 0,0228 = P(F) .
Verjetnost B (in D) izračunamo iz:
> µ x + 2σ − µ x
) = Q( µ x+2σ−µ x
σ
σ
P(A ∪ B) = P(X > µ x + σ) = P( X−µ
σ
= Q(1) = 0,1587 ,
> µ x + σ − µ x
) = Q( µ x+σ−µ x
σ
σ
)
od koder dobimo P(B) z
P(B) = P(A ∪ B) − P(A) = 0,1587 − 0,0228 = 0,1359 = P(D) .
Na koncu pa še P(C):
P(C) = 1 − 2P(A) − 2P(B) = 1 − 2·0,0228 − 2·0,1359 = 0,6826 . ♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315