uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

144 6. Naključni signali in statistične metode
fX( x)
Slika 6.20
Funkcija Q(x).
Q( x)
0 x
S x
Obrazec (6.85) ima tudi alternativno obliko. Izpeljemo jo iz (6.81) z naslednjo
zamenjavo spremenljivk:
( ) 2
√x−µ x
= v 2 .
2 σ
Izračunamo dx:
( )
y−µ
2 √ x dx
√ = 2v dv ⇒ dx = √ 2 σ dv
2 σ 2 σ
in vstavimo v (6.90). Dobimo:
∫
1 x √
∫
1 x
√ e −v2 2 σ dv = √ e −v2 dv = Q(x) . (6.86)
2π σ π
0
Normalizirana Gaussova porazdelitev
Ker lahko za µ x in σ izberemo neskončno število vrednosti, dobimo neskončno
število Gaussovih porazdelitev gostote verjetnosti. Zato je praktično,
če rešitve tabeliramo za normalizirano oziroma dogovorjeno standardno
obliko in iz nje dobimo vse ostale Gaussove porazdelitve. Za normalizirano
obliko so izbrali µ x = 0 in σ 2 = 1. Pri teh vrednosti (6.81) postane:
F X (x) = 1 √
2π
∫ x
−∞
komplementarna funkcija napake Q(x) pa:
0
e −ξ 2 /2 dξ , (6.87)
Q(x) = √ 1 ∫ ∞
e −ξ 2 /2 dξ . (6.88)
2π
x
Iz (6.84) sledi, da sta pri x = 0 normalizirana Gaussova porazdelitev verjetnosti
in komplementarna funkcija napake enaki:
F X (0) = Q(0) = 1 2
. (6.89)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315