uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti 143
Integral (6.82) nima analitične rešitve, zato je izračun verjetnosti za izbrani
interval pri Gaussovi porazdelitvi mnogo težji kot pri katerikoli drugi porazdelitvi
verjetnosti. Ker pa je to zelo pomembna porazdelitev, obstajajo rezultati
numeričnega izračuna, s katerimi lahko preprosto izračunamo (6.82). Pot
do njih bomo ubrali preko dokaza, da je F X (∞) = P(∞) = 1.
DOKAZ 6.1
Izhajamo iz (6.82). Upoštevamo drugo lastnost funkcij porazdelitve gostote in zapišemo:
∫ ∞ 1
P(∞) = I = √ e −u2 /2 du = 1 (6.83)
−∞ 2π
in
∫ ∞ ∫ ∞
I 2 1
= I × I =
−∞ −∞ 2π e−u2 /2 e −v2 /2 du dv .
S transformacijo pravokotnih koordinat v polarne: u = r cosθ in v = r sinθ in inverzno
transformacijo r = √ u 2 + v 2 in θ = tan −1 u v ter du dv = r dr dθ dobimo:
∫ 2π ∫ ∞
∫
I 2 1
2π
= I × I =
0 0 2π e−r2 /2 −1
r=∞
r dr dθ =
0 2π e−r2 /2
∣ dθ
r=0
∫ 2π 1
=
2π dθ = 1 . □
0
Komplementarna funkcija napake Q(x)
Obrazec (6.83) lahko zapišemo tudi v obliki:
od koder sledi:
∫ x
1
√ e −u2 /2 du+
−∞ 2π
} {{ }
F X (x)
Q(x) = 1 − F X (x) =
∫ ∞
1
√
x 2π
} {{ }
Q(x)
∫ ∞
x
e −u2 /2 du = 1 , (6.84)
1
√ e −u2 /2 du . (6.85)
2π
Funkcijo Q(x) imenujemo zgornji del Gaussove porazdelitve oziroma komplementarna
funkcija napake (slika 6.20). V inženirski praksi je Q(x) zelo
pripravna za izračun normalne porazdelitve verjetnosti in določanja verjetnosti
preostalega pogreška, zato jo najdemo tabelirano v mnogih priročnikih (in
tudi v tej knjigi, tabela 6.1 na strani 145).
datoteka: signal_A