uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

142 6. Naključni signali in statistične metode
enak
1
f X (µ x ) = a = √
2πσ 2
,
v razdalji ±σ od srednje vrednosti pa pade 61% maksimalne vrednosti, pri
±2σ ima še 14% maksimalne vrednosti in pri ±3σ manj kot 0,1%. Pripadajoča
Gaussova porazdelitev verjetnosti F X (x) = P(Xq x) je zvezna,
monotona nepadajoča funkcija, ki ima pri x = µ x vrednost 1 / 2 (slika 6.19).
Slika 6.19
Porazdelitev verjetnosti
pri Gaussovi naključni
spremenljivki.
FX( x)
1
0,84
0,5
0,16
x
x
x
0 x
x
x
x
3
2
2
3
x
a b P(a x b)
−σ σ 0,6827
−2σ 2σ 0,9545
−3σ 3σ 0,9973
Gaussova funkcija porazdelitve gostote verjetnosti je ena izmed najpomembnejših
znanih funkcij gostote. Opisuje več različnih naključnih dogodkov
(in naključnih signalov) kot katerakoli druga porazdelitev. Njena
pomembnost v glavnem izhaja iz centralnega limitnega izreka (glej razdelek
6.5 na strani 150), ki pravi, da lahko skoraj vsako vsoto ali povprečje
naključnih spremenljivk opišemo z Gaussovimi porazdelitvami, ko število
členov postane (zelo) veliko. Če so naključne spremenljivke zvezne, potem
njihova vsota teži h Gaussovi porazdelitvi gostote.
Gaussova porazdelitev gostote se pojavlja v vseh področjih tehnike. Primeri
so: šum v polprevodnikih, ki izhaja iz gibanja elektronov, ki se zelo
dobro ujema z Gaussovo porazdelitvijo gostote, potem termični šum, šum
ozadja pri satelitskih komunikacijah in drugo.
Kumulativno Gaussovo porazdelitev verjetnosti dobimo z integriranjem
Gaussove porazdelitve gostote:
∫ x
F X (x) = f X (ξ ) dξ
−∞
∫
1 x
= √ exp
2πσ 2
−∞
{
− 1 2
(
ξ −µx
σ
) 2
}
dξ , (6.81)
ki jo z zamenjavo spremenljivk u = (ξ − µ x )/σ – od koder sledi du = dξ /σ
oziroma dξ = σ du – lahko zapišemo v bolj pregledni obliki:
F X (x) = 1 √
2π
∫ x
−∞
e −u2 /2 du . (6.82)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315