uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

138 6. Naključni signali in statistične metode
P( X = x i )
1
0,5
1-p
p
0 1
Slika 6.14
Primer porazdelitve
verjetnosti X = {0,1}.
x
6.3.1 Binomska porazdelitev
Binomsko porazdelitev uporabljamo predvsem za izračunavanje verjetnosti
pri ponavljanju poskusa, ki ima le dva možna izida (primer takega poskusa
je metanje kovanca). Vzemimo, da je pri poskusu lahko izid dogodek A.
Če se ta ne realizira, se realizira nasprotni dogodek B = A. Bodi verjetnost
dogodka A enak p, dogodka B pa q. Ker sta dogodka A in B nepovezana, velja
P(S ) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1, zato 1 = p + q oziroma q = 1 − p
(slika 6.14). Z indikatorsko funkcijo dogodka A in B preslikamo na x-os:
A ↦→ 1,B ↦→ 0. S tem uvedemo Bernoullijevo spremenljivko X i = {0,1}.
Naredimo n poskusov, ti naj določijo spremenljivko Y :
Y =
n
∑
i=1
X i (6.61)
in se vprašamo: kolika je verjetnost, da se bo v tem poskusu k-krat zgodil
dogodek A oziroma, da bo k spremenljivk X i enakih 1? Vrstni red realizacije
pri tem naj ne bo pomemben. Da odgovorimo na to vprašanje, upoštevajmo,
da iz (6.61) sledi, da je S Y = {0,1,...,n}. Verjetnost P(Y = 0) je enaka verjetnosti,
da so vsi X i enaki 0. Ker je X i statistično neodvisna spremenljivka,
velja:
P(Y = 0) = q n = (1 − p) n . (6.62)
Verjetnost P(Y = 1) je verjetnost, da je en X i = 1. Ta dogodek se more zgoditi
na n različnih načinov:
P(Y = 1) = np(1 − p) n−1 . (6.63)
Posplošimo. Verjetnost P(Y = k) je enaka verjetnosti, da je bil v poskusu
k-krat X = 1 in zato (n − k)-krat X = 0. To je možno doseči v
kombinacijah. Iz tega sledi
( n
k)
=
P(Y = k) =
n!
k!(n − k)!
(6.64)
( n
k)
p k (1 − p) n−k . (6.65)
To porazdelitev imenujemo Bernoullijeva ali binomska porazdelitev. Iz (6.65)
sledi, da je funkcija porazdelitve gostote verjetnosti enaka:
f Y (y i ) =
n
∑
k=0
n
∑
P(Y = k)δ K (y − k)
) n
= p
k=0( k (1 − p) n−k δ K (y − k) , (6.66)
k
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315