uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

136 6. Naključni signali in statistične metode
6.2.4 Centralni momenti
Oglejmo si še posebni primer pričakovane vrednosti za Y = (X − µ x ) n , kjer
je µ x srednja vrednost naključne spremenljivke X:
E[Y ] = E [ (X − µ x ) n] =
∞
∑
i=−∞
Pri zveznih naključnih spremenljivkah X pa velja:
E[Y ] = E [ (X − µ x ) n] =
∫ ∞
−∞
(x i − µ x ) n f X (x i ) , (6.50)
(x − µ x ) n f X (x) dx . (6.51)
Tej pričakovani vrednosti pravimo tudi n-ti centralni moment naključne spremenljivke
X. Moment je centralni, ker se nanaša na srednjo vrednost naključne
spremenljivke.
6.2.5 Varianca
Za n = 2 dobimo zelo pomemben centralni moment, zato ima svoje ime:
varianca ali disperzija oziroma razpršitev vrednosti spremenljivke X okoli
njene srednje vrednosti:
var[X] = E [ (X − µ x ) 2] . (6.52)
Koren iz variance je srednje kvadratično odstopanje ali tipična deviacija oziroma
tipični odklon:
σ x = √ var[X] . (6.53)
S σ x merimo širino gostote porazdelitve verjetnosti okoli povprečja. Če je
pričakovana vrednost spremenljivke X enako nič, je varianca enaka drugemu
momentu spremenljivke X:
σ 2 x = E [ X 2] , E[X] = 0 . (6.54)
Z uporabo lastnosti (6.43) – linearnosti – lahko (6.52) poenostavimo v:
σ 2 x = E [ X 2] − µ 2 x = E [ X 2] − (E [X]) 2 . (6.55)
6.2.6 Momenti vektorski spremenljivk
Definicijo momenta brez težav razširimo tudi na porazdelitev vektorskih naključnih
spremenljivk. Na primer, če imamo naključni zvezni spremenljivki
X in Y z povezano porazdelitvijo gostote verjetnosti f XY (x,y), množico povezanih
momentov definirajmo z:
E[X k Y n ) =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
x k y n f XY (x,y) dx dy , k,n ∈ N . (6.56)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315