uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

6.2 Statistična povprečja 135
6.2.2 Momenti
Pričakovano vrednost E[X] večkrat imenujemo prvi moment naključne spremenljivke
X. Ime moment je privzeto zaradi podobnosti enačbe za matematično
upanje z momentno enačbo v mehaniki – upanje, da bo spremenljivka
zavzela neko vrednost, je sorazmerno velikosti spremenljivke (ročici) × porazdelitvi
verjetnosti te spremenljivke (sili).
Poleg prvega momenta poznamo še momente višjega reda. Definiramo jih
kot povprečja k-te potence naključne spremenljivke:
E[X m ] = ∑xi m f X (x i ) (6.44)
i
oziroma pri zveznih naključnih spremenljivkah je enak
∫
E[X m ] = x m f X (x) dx . (6.45)
S X
Drugi moment imenujemo tudi srednja kvadratična vrednost naključne spremenljivke
X. Momente uporabljamo takrat, kadar želimo približno okarakterizirati
lastnosti gostote porazdelitve naključnih vrednosti.
6.2.3 Splošna povprečja
Momenti seveda veljajo ne le za naključno spremenljivko X, ampak tudi za
njene poljubne funkcije. Privzemimo, da velja Y = g(X), kjer je g(X) funkcija
X. Pričakovana vrednost Y je:
E[Y ]) = E [ (g(X) ] =
∞
∑
i=−∞
oziroma pri zveznih naključnih spremenljivkah:
E[Y ] = E [ (g(X) ] =
∫ ∞
−∞
g(x i ) f X (x i ) , (6.46)
g(x) f X (x) dx . (6.47)
Zgornja obrazca lahko razširimo na vektorske funkcije. Na primer, bodi Z =
g(X,Y ). Pričakovana vrednost Z je
E[Z] =
∞
∑
i=−∞
g(z i ) f Z (z i )
= E[g(X,Y )] = ∑
i
oziroma pri zveznih naključnih spremenljivkah:
datoteka: signal_A
E[Z] = E[g(X,Y )] =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
∑g(x i ,y k ) f XY (x i ,y k ) , (6.48)
k
g(x,y) f XY (x,y) dx dy . (6.49)