uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

134 6. Naključni signali in statistične metode
vrednosti zelo pomembno vlogo. Posebej sta zanimiva prvi in drugi moment
ene naključne spremenljivke in povezani momenti me dvema naključnima
spremenljivkama, kot sta korelacija in kovarianca.
6.2.1 Pričakovana vrednost
Opazujmo eksperiment z n možnimi izidi. Ti izidi so zaloga vrednosti naključne
spremenljivke X, X = {x 1 ,x 2 ,...,x n }. Napravimo M poizkusov v
katerem se izid x 1 pojavi N 1 krat, izid x 2 se zgodi N 2 krat in tako naprej
vse do izida x n , ki se zgodi N n krat. Seveda je M = ∑ i N i . Tvorimo vsoto
x 1 N 1 + x 2 N 2 + ··· + x n N n in jo delimo z M. Dobimo empirično povprečje
naključne spremenljivke X:
X emp. = x N 1
1
povpr. M + x N 2
2
M + ···x i
N i
M + ··· + x n
N n
M , (6.39)
kjer so N i /M, i = 1,2,...,n frekvenčna razmerja dogodkov. Če večamo število
M proti neskončnosti, preidejo frekvenčna razmerja v verjetnost dogodkov
P(X = x i ) = p i , empirično povprečje pa limitira k povprečni vrednosti
µ x , ki ga imenujemo pričakovana ali srednja vrednost naključne spremenljivke
X. Zato je zanjo pogosta oznaka E[X]. V literaturi se zanjo najde tudi
ime matematično upanje. Velja:
oziroma:
lim
M→∞ X emp. povpr. = µ x = E[X] , (6.40)
µ x = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + ··· + x n P(X = x n )
= x 1 p 1 + x 2 p 2 + ··· + x n p n
=
n
∑
i=1
x i p i =
n
∑
i=1
x i f X (x i ) , (6.41)
kjer množica p 1 , p 2 ,..., p n določa diskretno funkcijo porazdelitve gostote
verjetnosti f X (x i ). Pri zveznih sistemih, kjer ima naključna spremenljivka X
neskončno mnogo možnih vrednosti, funkcijo f X (x i ) nadomesti f X (x), vsoto
pa integral:
∫ ∞
E[X] = x f X (x) dx . (6.42)
−∞
Pričakovana vrednost je linearna operacija, zato:
E[X +Y ] = E[X] + E[Y ]
(6.43a)
E[αX] = αE[X] . (6.43b)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315