uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

6.2 Statistična povprečja 133
intervalu y − ∆y < Y y – torej verjetnost dogodka (X x|y − ∆y < Y Y ).
Upoštevajmo (6.1.3) in dobimo:
P(X x|y − ∆y < Y y) =
∫ x
∫ y
−∞ y−∆y
∫ y
y−∆y
f XY (u,v) du dv
. (6.36)
f Y (v) dv
Vrednost P(X x|Y = y) dobimo z limitnim postopkom z ∆y → 0, vendar
direktno računanje da neuporabni rezultat – P(X x|Y = y) = 0/0. Temu
se izognemo z uporabo prvega izreka o povprečni vrednosti ( ∫ b
a g(z) dz =
(b − a)g(c), a c b). Dobimo:
P(X x|y − ∆y < Y y) =
∫ x
−∞
∆y f XY (u,y ′ ) du
∆y f Y (y ′′ )
y ∆ yy ′ y,
y ∆ yy ′′ y
,
kjer okrajšamo ∆y in sedaj z limitnim postopkom z ∆y → 0 dobimo:
F X|Y (X|Y ) = lim P(X x|y − ∆y < Y y) ≡ P(X|Y )
=
∆y→0
∫ x
−∞
f XY (u,y) du
f Y (y)
. (6.37)
Predpostavimo, da sta v intervalu (y − ∆y,y] porazdelitvi gostote verjetnosti
f XY (x,y) in f Y (y) zvezni, torej na njem obstajata njuna odvoda. Odvajajmo
(6.37) po spremenljivki x:
f X|Y (x|y) = dF X|Y (X|Y )
dx
= f XY (x,y)
f Y (y)
. (6.38a)
Gornji obrazec določa funkcijo gostote pogojne verjetnosti X pri danem Y .
Podoben obrazec dobimo za funkcijo gostote pogojne verjetnosti Y pri danem
X:
f Y |X (y|x) = dF Y |XY (Y |X)
= f XY (x,y)
. (6.38b)
dx f X (x)
Zapisane relacije za pogojne porazdelitvene funkcije lahko enostavno razširimo
na večdimenzionalne naključne spremenljivke.
6.2 Statistična povprečja
Pri karakterizaciji rezultatov eksperimentov in pri naključnih spremenljivkah,
ki so definirane nad prostorom zbirke možnih spremenljivk, imajo povprečne
datoteka: signal_A