uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

130 6. Naključni signali in statistične metode
Lastnosti gostote vektorske porazdelitvene funkcije
Osnovne lastnosti funkcije gostote povezane porazdelitvene funkcije so:
1. f XY (x,y) 0 (6.28a)
2.
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
f XY (x,y) dx dy = 1
3. F XY (x,y) =
4. f x (x) =
f y (y) =
5. P(a 1 < X a 2 ,b 1 < Y b 2 ) =
∫ x
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
∫ y
−∞
−∞
∫ a2
∫ b2
a 1
f XY (x,y) dx dy
f XY (x,y) dy
f XY (x,y) dx
(6.28b)
(6.28c)
(6.28d)
(6.28e)
b 1
f XY (x,y) dx dy (6.28f)
Funkcija gostote povezane porazdelitve je lahko večja od 1, ker pa smo jo
definirali kot odvod monotono nepadajoče funkcije (povezane porazdelitve),
mora biti enaka ali večja od nič.
Z lastnostjo 5 v splošnem lahko bolj enostavno izračunamo povezano porazdelitev
kot s to lastnostjo pri funkciji povezane porazdelitve.
Zaradi lastnosti 4 ob upoštevanju pravila 3 ter pravila odvajanja integralov
lahko izpeljemo obrazca za izračun robne funkcije gostote povezane porazdelitve:
ki se glasita:
dF XY (x)
dx
= d ∫ x ∫ ∞
f XY (x,y) dy ,
dx −∞ −∞
f X (x) = dF XY (x)
dx
f Y (y) = dF XY (y)
dy
= dF XY (x,∞)
dx
= dF XY (y,∞)
dy
ZGLED 6.1.6 (Gostota povezane porazdelitve)
Določimo gostoto povezane porazdelitve iz zgleda 6.1.5!
(6.29a)
. (6.29b)
REŠITEV:
V zgledu 6.1.5 je povezana porazdelitev
[en. (6.27)] F XY (x,y) =
4 1u(x − 1) + 4 1u(y − 1) + 2 1 u(x − 1)u(y − 1) .
Iz nje porazdelitev gostote verjetnosti izračunamo z (6.21). Dobimo:
f XY (x,y) = ∂ 2 F XY (xy)
∂x∂y
= 1 4 δ(x − 1)δ(x) + 4 1δ(y)δ(y − 1) + 1 2δ(x − 1)δ(y − 1) ,
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315