uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

124 6. Naključni signali in statistične metode
Lastnosti porazdelitvene funkcije
Porazdelitvena funkcija F X je osnova za splošni opis lastnosti naključnih pojavov,
zato si naštejmo njene lastnosti:
1. F X (−∞) = 0 (6.11a)
2. F X (∞) = 1 (6.11b)
3. 0 F X (x) 1 (6.11c)
4. F X (a) F X (b) če a < b (6.11d)
5. P(x 1 < X < x 2 ) = F X (x 2 ) − F X (x 1 ) (6.11e)
6. F X (x + ) = F X (x) kjer je F X (x + ) = lim F X (x + ε)
ε>0
ε→0
(6.11f)
Večina teh lastnosti je očitnih. Poglejmo. Lastnost 3 izhaja iz dejstva, da je
F X (x) verjetnost, ki lahko zavzame vrednost med 0 in 1. Iz tega sledi
F X (−∞) = P(X ∈ (−∞,−∞]) = P(∅) = 0
F X (∞) = P(X ∈ (−∞,∞]) = P(S x ) = 1 ,
kar pojasnuje tudi lastnosti 1 in 2.
Lastnost 5 določa verjetnost nahajanja vrednosti X v intervalu (a,b),a,b ∈
S x . Izračunali smo jo že z (6.5), sedaj pa jo izpeljimo še uporabo σ-algebre.
Izberimo intervala A = (−∞,x 1 ] in B = (−∞,x 2 ], za katera velja x 1 < x 2 in
B = A ∪ (x 1 ,x 2 ] ter A ∩ (x 1 ,x 2 ] = ∅. Z uporabo pravila verjetnosti pri uniji
dveh medsebojno neodvisnih dogodkov lahko zapišemo:
P(X ∈ B) = P(X ∈ A) + P(X ∈ (x 1 ,x 2 ])
F X (x 2 ) = F X (x 1 ) + P(x 1 < X < x 2 )
P(x 1 < X < x 2 ) = F X (x 1 ) − F X (x 2 ) > 0 , x 1 < x 2 .
Lastnost 4 pravi, da je F X (x) monotono nepadajoča funkcija. Izhaja iz lastnosti
5, saj lahko P(x 1 < X x 2 ) 0 z večanjem intervala [x 1 ,x 2 ] le narašča.
Zadnja našteta lastnost – vrednost F X (x) v diskontinuiteti je enaka desni
limiti F X (x) – izhaja iz definicije (6.7). Interval (−∞,x] je z desne zaprt in
iz (6.8), kjer smo skok F X (x) pri vrednosti x = a modelirali z zamaknjeno
enotsko stopnico
{
1 x a
u(x − a) =
. (6.12)
0 x < a
Vrednost 1 smo priredili x = a. Naredi enotsko stopnico zvezno na desni
strani in konsistentno s funkcijo porazdelitve porazdelitve verjetnosti (slika 6.9).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315