uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

116 6. Naključni signali in statistične metode
6.1 Naključne spremenljivke
Naključno spremenljivko si lahko predstavljamo preprosto kot numerično
ovrednotenje naključnega dogodka. Mnogo je dogodkov, ki po svoji naravi
dajo določeno število, na primer pri metanju kocke z oštevilčenimi stranicami.
So pa tudi dogodki, kot je primer pri metanju kovanca, kjer je vzorčni
prostor S = {glava,ci f ra} = {g,c}. Tudi tem dogodkom lahko pripišemo
številčno vrednost, na primer {g,c} ↦→ {0,1}. Strnimo zapisano v definicijo:
DEFINICIJA 6.1.1 (naključna spremenljivka)
Naključna spremenljivka X(s) – pogosto označena le z X – je funkcija, ki preslika vse
elemente iz vzorčnega prostora S s σ-algebro dogodkov A v realna števila x tako, da
velja:
1. množica {s : X(s) x} ∈ A je dogodek za vsako realno število x,
2. P{s : X(s) = −∞} = 0 in P{s : X(s) ∞} = 1.
Zapisano definicijo lahko pojasnimo s primerom opisa naključnih pojavov
v nekem fizikalnem sistemu. Pri tem ponavadi izhajamo iz meritve izbrane
spremenljivke. Bodi to spremenljivka X, za katero lahko pri ponavljanju meritve
(pod enakimi pogoji) izmerimo različne vrednosti. Te vrednosti označimo
z x. Kaj pa merimo? “Velikost” elementov vzorčnega prostora S , iz
katerega jih naključni pojav v fizikalnem sistemu zajema. Zato lahko zapišemo:
X(s) = x .
Ta predpis določa funkcijo, ki priredi vsakemu elementu iz S numerično
vrednost (slika 6.1). Predpis je smiseln, če vsakemu elementu vzorčnega
prostora X(s) priredi eno samo vrednost x.
Slika 6.1
Naključna spremenljivka
X(s) je preslikava elementov
S na realno os.
S
s
x = X( s)
S x
Definicijsko območje X(s) je celotni vzorčni prostor S . Množico vrednosti,
kamor se dogodki iz S preslikajo z X(s), imenujemo zaloga vrednosti
funkcije ali tudi fazni prostor:
S x : {x : x = X(s),s ∈ S } ⊂ (−∞,∞) .
Izmero vrednosti x iz podmnožice A x (slika 6.2) lahko obravnavamo kot urešarko
ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315