uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

112 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
Ostale bazne funkcije φ m lahko najdemo eno za drugo, če uporabimo pogoje
ortonormiranosti. Tukaj le preverimo, ali grafi funkcij na sliki 5.7 res pripadajo
ortonormalnim baznim funkcijam. Za φ 1 (t) velja:
∫ 1
0
φ 0 (t)φ 1 (t) dt = 0 ,
∫ 1
0
φ 2 1 (t) dt = 1 in φ 1 (t) =
{
1 0 ≤ t ≤ 1/2
−1 1/2 ≤ t ≤ 1
.
∫ 1
0
Bazna funkcija φ 2 (t) mora ustrezati enačbam:
φ 0 (t)φ 2 (t) dt = 0 ,
∫ 1
0
φ 1 (t)φ 2 (t) dt = 0
in
∫ 1
0
φ 2 2 (t) dt = 1 .
Funkcija φ 2 (t) na sliki 5.7 izpolnjuje vse te pogoje. Opisano pot lahko nadaljujemo
za vse ostale bazne funkcije. Pri tem vidimo, da moramo za bazno
funkcijo φ k (t) rešiti k + 1 enačb.
ZGLED 5.4.1
Ponazorimo signal x(t) = 6t,0 ≤ t ≤ 1 (slika 5.8) z Walshevimi funkcijami.
Slika 5.8
x ( t )
6
3
-1 0 1/2 1
t
REŠITEV: Za izračun optimalnih koeficientov c k uporabimo (5.22). Prvi koeficient je
c 0 in je enak:
∫ 1
c 0 = 6t(1)dt .
0
Drugi koeficient je c 1 :
∫ 1/2 ∫ 1
c 1 = 6t(1)dt + 6t(−1)dt = − 3
0
1/2
2 .
Po podobnem postopku določimo še ostale koeficiente. Dobimo:
c 2 = 0, c 3 = − 3 4 , c 4 = 0, c 5 = 0, c 6 = 0, c 7 = − 3 8 ···
Približek ˆx(t) funkcije x(z) izražen z osmimi zaporednimi baznimi funkcijami φ k (t)
(slika 5.9), je:
ˆx(t) = 3φ 0 (t) − 3 2 φ 1(t) − 3 4 φ 3(t) − ···
3
2 k φ 2 k −1 (t) ··· (5.25) ♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315