uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 109
izračunajmo z (5.20):
ε 2 = 1 ∫ [
2
x(t) −∑
T
N
c n φ n (t)]
dt
T
[
= 1 ∫
]
∫
∫
x 2 (t) dt − 2∑
T
N
c n x(t)φ n (t) dt + ∑ N c2 nφn 2 (t) dt
T
T
T
} {{ }
=c n
[
= 1 ∫
]
∫
x 2 (t) dt − 2∑
T
N
c 2 n +∑ N
c 2 n φn 2 (t) dt
T
T
} {{ }
=1
= 1 [ ∫ ]
x 2 (t) dt −∑
T
N
c 2 n . (5.23)
T
V izračunu (5.23) smo upoštevali linearnost operacij seštevanja in integriranja
(zato smo zamenjali njuno zaporedje) ter ortogonalnost baznih funkcij.
Iz (5.23) jasno sledi, da se z večanjem členov v aproksimaciji signala manjša
srednji kvadratni pogrešek. V limitnem postopku, v katerem večamo N preko
vseh meja, postane srednji kvadratni pogrešek enak nič:
[ ∫ ]
1
lim
N→∞ ε2 = lim x 2 (t)dt −∑
N→∞ T
N
c 2 n = 0
T
oziroma:
∫
T
x 2 (t) dt =
∞
∑
n=−∞
c 2 n . (5.24)
V tem primeru je funkcija x(t) izražena z neskončnim zaporedjem ortonormiranih
funkcij; torej med oceno funkcije in funkcijo ni pogreška. Tako zaporedje
imenujemo polno ali kompletno zaporedje. Enačbo (5.24), ki povezuje
polno zaporedje ortonormiranih funkcij in originalni signal, imenujemo Parsevalova
identiteta.
Rečemo lahko, da je pogoj Parsevalove indentitete obstoj polnega zaporedja,
zato njen pomen poudarimo z naslednjim izrekom:
IZREK 5.1 (Polno zaporedje)
Zaporedje ortonormiranih baznih funkcij Φ je polno takrat in samo takrat, ko za vsak
x ∈ L 2 (a,b) velja (5.24). To pomeni, da ne obstaja neničelna funkcija φ(t), ki ni član
Φ in za katero velja pogoj ortogonalnosti.
Še kratek komentar k izreku. Če bi mogli najti tako funkcijo φ(t), tedaj bi bila
ta funkcija ortogonalna na vsak člen v zaporedju Φ in bi tudi sama pripadala
temu zaporedju.
datoteka: signal_A