uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

108 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
množica koeficientov c 0 ,c 1 ,c 2 ,...,c N , ki zadovoljuje sistem enačb:
∂ε
∂c 0
= ∂ε
∂c 1
= ∂ε
∂c 2
= ··· = ∂ε
∂c n
= 0 .
Postopek izračuna koeficientov je naslednji. Izračunajmo parcialni odvod po
koeficientu c k . Ker integracijski interval T ne vpliva na rezultat odvajanja,
ga zaradi krajšega pisanja izpustimo. Dobimo:
∂ε
= ∂ [
2
x(t)
∂c k ∂c k
−∑ N
c n φ n (t)]
dt
∫T
= ∂ x
∂c k
∫T
2 (t) dt
− ∂
∂c k
2x(t)∑ N
c n φ n (t) dt +
∫T
∂
∂c k
∫T
[ ] 2
∑N c n φ n (t) dt = 0 . (5.21)
Po parcialnem odvajanju po c k odpadejo vsi členi, ki ne vsebujejo koeficienta
c k , zato od leve strani (5.21) ostaneta le dva člena:
∫
−2
T
x(t)φ k (t) dt + 2c k
∫
φ 2 k (t) dt
T
} {{ }
=E φ =1
,
iz katerih je pot do enačbe za koeficient c k , ob upoštevanju definicije ortonormiranih
funkcij – glej (5.16), kratka:
∫
c k = x(t)φ k (t) dt . (5.22)
T
Vidimo, da se (5.19) in (5.22) ujemata. Iz tega sledi, da so koeficienti c k , ki
jih izračunamo na osnovi lastnosti ortonormiranih funkcij, optimalni v smislu
srednjega kvadratnega pogreška.
5.3.5 Parsevalova identiteta
Predpostavimo, da aproksimiramo signal x(t) z linearno kombinacijo N + 1
baznih funkcij φ n (t). Pogrešek med signalom x(t) in njegovo oceno ˆx(t)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315