uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 107
bo pogrešek med originalnim signalom in njegovim približkom, sestavljenim
iz zaporedja ortonormiranih funkcij, minimalen.
Najprej si bomo ogledali možnosti določanja koeficientov c n ob danih ortonormiranih
funkcijah, o izbiri ortonormiranih baznih funkcij pa bo govora
kasneje.
5.3.3 Določitev koeficientov c n
s pomočjo ortogonalnosti
Kako določiti koeficiente c n ∈ C? Recimo, da vrsta na desni strani (5.17)
konvergira k x(t) in da so bazne funkcije ortonormirane. Obe strani zgornje
enačbe pomnožimo s φ m (t) in ju nato integriramo:
∫
T
∫
x(t)φ m dt = ∑ N c nφ n (t)φ m (t) dt
T
∫
= ∑ N
c n φ n (t)φ m (t) dt .
T
(5.18)
Zaradi lastnosti ortogonalnosti, glej (5.16), je desna stran (5.18) različna od
nič le, ko je m = n. V vseh ostalih primerih je enaka nič. Zato:
∫
T
x(t)φ n (t) dt = c n
∫
T
φ n (t)φ n (t) dt .
Ker je baza ortonormirana, je E φn = 1 in koeficient c n je:
∫
c n = x(t)φ n (t) dt (5.19)
T
5.3.4 Določitev koeficientov c n
po metodi najmanjšega kvadratnega pogreška
V tem primeru izhajamo iz (5.8), kjer za ˆx upoštevamo (5.14):
∫
ε 2 = 1 T
= 1 ∫
T
T
T
[
2
x(t) − ˆx(t)]
dt
[
] 2
(5.20)
x(t) −∑ N
c n φ n (t) dt
V (5.20) na srednji kvadratni pogrešek vpliva množica koeficientov {c n }.
Zato iščemo minimum funkcije z več spremenljivkami.
Pri iskanju minimuma funkcije več spremenljivk je potreben (vendar ne
zadosten) pogoj, da je funkcija odvedljiva po vseh koeficientih in da obstaja
datoteka: signal_A