uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 105
5.2.3 Aproksimacija signalov
z linearno kombinacijo osnovnih funkcij
Predpostavimo, da imamo na voljo množico osnovnih funkcij Φ:
Φ = {φ 0 (t),φ 1 (t),φ 2 (t),...,φ N (t)} ,
kjer je lahko indeks N v določenih primerih tudi neskončen. V tem primeru
lahko signal x(t) aproksimiramo s približkom ˆx(t), za katerega velja:
ˆx(t) = c 0 φ 0 (t) + c 1 φ 1 (t) + c 2 φ 2 (t) + ··· + c N φ N (t)
=
N
∑
n=0
c n φ n (t) . (5.14)
Od tako skonstruirane aproksimacije pričakujemo, da vsak člen v linearni
kombinaciji ali vrsti zmanjša srednje kvadratni pogrešek ε 2 . Problem, ki smo
ga zastavili, je določiti koeficiente c 0 ,c 1 ,c 2 ,...,c N , ki so praviloma elementi
C in izbrati najprimernejšo množico osnovnih funkcij Φ.
Ta problem v splošnem ni rešen. Ena od lastnosti, ki je ponavadi zelo
zaželena, je neodvisnost osnovnih funkcij. Ta lastnost omogoča, da lahko
določimo posamezne člene vsote v (5.14) oziroma njihove koeficiente c i , čeprav
ne poznamo nobenega drugega koeficienta. Povedano drugače, če lahko
linearni kombinaciji, ki določa približek signala, dodamo člene, ne da bi morali
že znane spreminjati, potem so členi v linearni kombinaciji (medsebojno)
neodvisni.
5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami
Členi s c n so neodvisni, če je množica osnovnih funkcij φ(t) ∈ Φ ortogonalna
na celotnem časovnem intervalu aproksimacije funkcije x(t). S terminom
ortogonalna množica povemo, da za vse elemente množice Φ velja:
φ m ⊥ φ n ,
kjer znak ⊥ pomeni ”pravokotno“, oziroma da je skalarni produkt poljubnih
dve osnovnih funkcij enak nič:
〈φ m ,φ n 〉 = 0 ,
oziroma:
∫
〈φ m ,φ n 〉 = φ m (t)φn ∗ (t) dt ,
T
ki lahko v primeru ortogonalnih funkcij zavzame le eno od dveh vrednosti:
datoteka: signal_A