uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

5.2 Aproksimacija signalov z osnovnimi funkcijami 103
Prvi odvod ε 2 kot funkcijo c izračunamo s parcialnim odvajanjem (5.9)
po c:
∂ε
∂c = ∂ ∫
1
[x(t) − cφ(t) dt] 2 = 0
∂c T T
= 1 ∫
∂ [
x 2 (t) − 2x(t)cφ(t) + c 2 φ 2 (t) ] dt
T T ∂c
= 1 [ ∫
∫ ]
0 − 2 x(t)φ(t) dt + 2c φ 2 (t) dt = 0 ,
T
T
T
odkoder za koeficient c sledi:
∫
x(t)φ(t) dt
T
c = ∫
φ 2 (t) dt
T
. (5.10)
Izraz v imenovalcu (5.10) določa energijo osnovne funkcije φ(t). Ta je (po
definiciji) vedno realna in pozitivna. Če jo označimo z E φ , lahko koeficient c
izrazimo z:
c = 1 x(t)φ(t) dt . (5.11)
E φ
∫T
Izračunajmo še velikost srednjega kvadratnega pogreška. Najprej v (5.9)
izračunamo kvadrat oglatega oklepaja, potem pa za c upoštevamo (5.11). Dobimo:
∫
ε 2 = 1 T T
[
= 1 ∫
T T
[
x 2 (t) − 2x(t)cφ(t)t + c 2 φ 2 (t) ] dt
∫
x 2 (t) dt − 2c
∫
x(t)φ(t) dt +c 2 φ 2 (t) dt
T
} {{ }
T
} {{ }
=cE φ
= 1 [ ∫ ]
x 2 (t) dt − 2c 2 E φ + c 2 E φ
T T
=E φ
]
in srednji kvadratni pogrešek je:
ε 2 = 1 [ ∫ ]
x 2 (t) dt − c 2 E φ
T T
(5.12)
Tako vidimo, da je ε 2 realen, nenegativen in da je pri izbiri konstante c z
enačbo (5.10) minimalen.
datoteka: signal_A