uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

102 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
5.2 Aproksimacija signalov
osnovnimi funkcijami
Za začetek rešimo preprost primer, ko želimo realni signal x(t) izraziti z realno
funkcijo φ(t). Signal in funkcija sta definirani v istem časovnem intervalu
T = b − a za vsak t ∈ (a,b). Seveda želimo, da je opis signala z bazno
funkcijo tak, da bo znotraj intervala T čim bolj veljalo:
x(t) ≈ ˆx(t) = cφ(t) za vsak t ∈ T . (5.7)
Funkcijo ˆx(t) imenujemo ocena, približek ali aproksimacija signala x(t). Na
izpolnitev (5.7) vplivamo z izbiro koeficienta c. Pri njegovi določitvi potrebujemo
merilo podobnosti med x(t) in ˆx(t). Najpogosteje se v ta namen
uporablja srednji kvadratni pogrešek ali srednje kvadratno odstopanje.
5.2.1 Srednji kvadratni pogrešek
Definicija srednjega kvadratnega pogreška je:
ε 2 = 1 T
∫
T
[x(t) − ˆx(t)] 2 dt = 1 T
∫
T
e 2 (t) dt . (5.8)
Srednji kvadratni pogrešek je vedno pozitiven. Iz (5.8) vidimo, da je definiran
kot (povprečna) moč signala e(t) = x(t)− ˆx(t). Ker je trenutna moč kvadratna
funkcija: p e (t) = e 2 , ima minimum (nič je takrat in samo takrat, ko je x(t) =
ˆx(t) in je zato e(t) = x(t) − ˆx(t) = 0).
Srednji kvadratni pogrešek je globalno merilo podobnosti med aproksimacijo
in signalom. Zato in zaradi opisane lastnosti, ga v teoriji signalov, pa
tudi drugje, zelo pogosto uporabljamo
5.2.2 Minimizacija srednjega kvadratnega pogreška
Naloga, ki si jo zastavljamo, je poiskati konstanto c tako, da bo srednji kvadratni
pogrešek med signalom in njegovo aproksimacijo čim manjši. Z drugimi
besedami, poiskati moramo tako konstanto c, da bo ε 2 minimalni:
∫
1
T
T
[x(t) − cφ(t)] 2 dt = ε 2 → min (5.9)
Potrebni pogoj za določitev minimuma je, da je prvi odvod pogreška enak
nič. Da je ekstrem, ki ga s tem izračunamo, tudi minimalni pogrešek, sledi
iz definicije kvadratnega pogreška. Seveda ga lahko preverimo s testom vrednosti
drugega odvoda pogreška. Ta je v tej točki vedno pozitiven.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315