Ani jeden matematicky´ talent nazmar

(cos α + i sin α) 2 = cos 2 α + 2i sin α cos α − sin 2 α = cos 2α + i sin 2α.
I některé výsledky, obvykle dokazované pomocí prostředků matematické analýzy,
lze názorně ověřit. Uved’me zde aspoň známou ilustraci věty:
Ze všech pravoúhelníků téhož obvodu má čtverec největší obsah.
Má-li mít obdélník stejný obvod jako čtverec, musí mít jednu stranu o x větší,
druhou o x menší, než je strana a čtverce. Takovéto dva pravoúhelníky můžeme
umístit do polohy podle obr. 7 (ABCD je čtverec se stranou a, AMNP je obdélník
se stranami c = a +x, d = a −x), z něhož je patrné, že obsah obdélníku AMNP
je o x 2 menší než obsah čtverce ABCD.
Jsem si vědom toho, že ve škole je málo času, přesto však jsem přesvědčen,
že zařadit občas úlohy, které poukazují na souvislosti různých oborů, je dobrou
příležitostí k pěstování matematické kultury.
Jazyky matematiky
Každý zkušený učitel matematiky patrně potvrdí, že problémy s řešením úloh
často začínají při porozumění textu úlohy, případně při jejím převádění do jazyka
aritmetiky nebo algebry. Jazyk aritmetiky poznávají děti od první třídy, přitom je
to jazyk, který „pracuje“. Transformací jeho znaků dostáváme fakta, která nebyla
z původní reality zřejmá. Podobně je tomu i u jazyka algebry. Tyto jazyky je nutno
žáky učit. Úpravy algebraických výrazů jsou důležitou složkou matematického
vzdělávání, které je nutno věnovat náležitou pozornost. Úlohy „jazykového“ typu
mohou být i zajímavé:
Příklad 9 Při různých příležitostech dávám studentům či absolventům střední
školy úlohu: Znázorněte v pravoúhlém systému souřadnic množinu všech dvojice
[x, y] reálných čísel, pro něž platí:
sin x · cos y ≧ 0 (8)
Ačkoliv jde při řešení úlohy o odpovědi na snadné otázky typu: Kdy je součin
dvou reálných čísel nezáporný? Pro která x je sin x ≧ 0, . . . , jen zřídkakdy dojdou
studenti ke správnému výsledku („nekonečné šachovnici“).
Nedostatek v porozumění matematickému textu souvisí patrně s celkovou
úrovní jazykové kultury našich škol. Zdá se mi, že její úroveň neustále klesá.
Dokumentujeme to několika příklady z přijímacích zkoušek na střední školy.
Příklad 10 V matematice bychom měli vést žáky k pečlivé interpretaci daného
textu. V přijímacích zkouškách na osmileté gymnázium byla zadána úloha:
98