Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Různé úlohy
Úloha 1 Na tabuli je napsáno několik po sobě jdoucích přirozených čísel. Spočítejte
jejich součet s, víte-li
– umažeme-li první a poslední číslo, zmenší se s o 21,
– jestliže mazání ještě jednou zopakujeme, bude součet poloviční.
Řešení: Šikovné označení a zapsání umožní nalezení zákonitosti, která umožní
snadné řešení úsudkem.
Jinak (složitěji) řešení soustavy rovnic je při použití znalostí o aritmetické
posloupnosti.
Úloha 2 Dokažte, že číslo N = 2 2n + 1 končí číslicí 7 pro každé n ≥ 2.
Řešení: Rekurentní předpis pro N(k + 1).
Modifikování tvrzení (mocnina končí číslicí 6) a jeho důkaz úsudkem nebo
matematickou indukcí.
Úloha 3 Dokažte, že zlomek (4n + 3)/(3n + 2) nelze krátit pro žádné přirozené
číslo n.
Řešení: Užijeme nepřímý postup.
Dirichletův princip
Úloha 4 Uvnitř čtverce s délkou strany 5 cm leží 130 bodů. Dokažte, že existuje
jednotkový čtverec, ve kterém leží alespoň 6 z uvažovaných bodů.
Úloha 5 (a) Dokažte, že mezi 101 náhodně zvolenými trojcifernými čísly lze najít
(alespoň) 12 čísel, které začínají stejnou číslicí, a 11 čísel, která stejnou číslicí
končí.
(b) Kolik mezi těmito zvolenými čísly najdeme nejméně, respektive nejvíce
takových, že se shodují v první číslici (např. a) i v poslední číslici (např. b)?
Literatura
[1 ] Kuřina, F., Deset pohledů na geometrii. MÚ AV ČR, Praha 1996, ISBN 80-
85823-21-7.
[2 ] Kuřina, F., Umění vidět v matematice. 9. kapitola. SPN, Praha 1989, ISBN
80-04-23753-3.
69