Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Pomocné úlohy k úloze C-I-2
Úloha 1 Je dána úsečka AB o délce c. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby těžnice
t a měla délku 0, 75c a výška v c měla délku 0, 5c.
Úloha 2 Trojúhelníky ASC a SBD takové, že S je střed úsečky AB, mají společnou
střední příčku KL. Dokažte, že jsou rovnoploché.
Jiné úlohy na přímý důkaz
Přímé důkazy se v matematice užívají většinou pro důkazy jednoduchých
tvrzení. Úspěch totiž závisí na vhodné volbě známých tvrzení, ze kterých chceme
nové tvrzení odvodit (cesta k dokazovanému tvrzení nemůže být příliš dlouhá).
Úloha 1 Dokažte, že v každém čtyřúhelníku středy stran určují rovnoběžník.
Úloha 2 Dokažte, že pro každý bod M rovnostranného trojúhelníka ABC platí,
že součet jeho vzdáleností od stran trojúhelníka je konstantní.
Řešení: Důkaz typu pyramida.
Úloha 3 Předchozí tvrzení dokažte jen pro vnitřní body rovnostranného trojúhelníka.
Řešení: Vyjádříme obsah trojúhelníka ABC jako součet obsahů trojúhelníků
ABM, BCM, CAM.
13. a 14. schůzka: Grafy funkcí, grafické řešení rovnic, diskuse rovnic
s parametry
Příprava na
B-I-6 V kartézské soustavě souřadnic Ouv znázorněte množinu všech bodů [u, v],
kde u > 0, pro něž má rovnice |x 2 − ux| + vx − 1 = 0 s neznámou x právě tři
různá řešení.
Úvodní úlohy
Úloha 1 Řešte graficky rovnici |x| − x = t s reálným parametrem t.
Úloha 2 V kartézské soustavě souřadnic Ouv znázorněte množinu všech bodů
[u, v], kde u > 0, pro něž má rovnice |u − |x|| = vx + u s neznámou x
(a) nekonečně mnoho řešení,
(b) právě jedno řešení.
67