Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Pomocné úlohy k úloze C-I-6
Nepolohové úlohy:
Úloha 1 Může v nějakém trojúhelníku ABC procházet těžnice AA ′
(a) středem kružnice trojúhelníku opsané,
(b) středem kružnice trojúhelníku vepsané,
a jaký je to trojúhelník?
Polohové úlohy:
Úloha 2 Je dána kružnice k a její bod M. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby k
byla kružnice trojúhelníku vepsaná, její střed O byl těžištěm trojúhelníka a M
byl střed strany AB.
Úloha 3 Je dána kružnice k(O, r) a přímka p. Sestrojte rovnostranný trojúhelník
KLM tak, aby mu k byla vepsána a M ležel na p. Proved’te diskusi řešitelnosti.
Poznámka: V obou úlohách lze „záměnou popisu“ získat další řešení.
Další úlohy na přemístění
Úloha 2 Sestrojte kružnici k, známe-li dvě její navzájem rovnoběžné tečny a jeden
její bod ležící uvnitř pásu určeného tečnami.
Složitější úlohy
Porovnáme obtížnosti polohových a nepolohových úloh. Jak si pomoci, je-li
polohová úloha příliš těžká?
Úloha 3 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno umístění těžnice BB ′ (její délka
je 5 cm) tak, aby b = 6 cm, β = 30 ◦ .
Řešení: Převedeme na polohovou úlohu, kterou řešíme umístěním strany AC.
Jinak: Nalézt střed S kružnice k trojúhelníku ABC opsané, známe-li
r = 3 : sin 30 ◦ a délku |B ′ S| = 3 cotg 30 ◦ .
Úloha 4 (Matematická olympiáda 2001/2002, C-I-5)
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC dané délky a, je-li
dán střed P strany AB a bod Q (Q různé odP ), který je patou výšky z vrcholu B.
64