Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Úvodní úlohy
Úloha 1 Určete cifru k tak, aby číslo 1k31k4 bylo dělitelné dvanácti, ale nebylo
dělitelné devíti.
Řešení: Odzkoušíme možnosti (je jich málo), nebo použijeme kritéria dělitelnosti
(tj. řešíme obecně). Oba postupy lze vhodně kombinovat.
Úloha 2 Kolik je uspořádaných dvojic přirozených čísel, jejichž součin je čtyřmístné
číslo zapsané stejnými číslicemi?
Řešení: Hledáme různé rozklady v součin číselS c = c·1111. Rozlišíme nejprve
9 možností. Pak určíme . . . typů čísel S c .
Úloha 3 Najděte všechna přirozená čísla, která není možno vyjádřit jako součet
dvou složených čísel.
Řešení: Rozlišíme sudá a lichá čísla.
Pomocné úlohy k úloze C-I-1
Úloha 1 Zjistěte všechny možné součty trojic dvojmístných čísel sestavených
pouze z cifer 1, 1, 1, 2, 2 a 2.
Úloha 2 Ze tří jedniček, tří dvojek a tří trojek sestavte tři navzájem různá pětimístná
čísla tak, aby jejich součet byl co největší.
Úloha 3 V daném pětimístném čísle N zmenšíme první cifru o jedna a druhou
cifru o jedna zvětšíme. Jak se číslo změní?
Pomocné úlohy k úloze C-I-5
Úloha 1 Rozhodněte, zda existují přirozená čísla m, n s následujícími vlastnostmi:
(a) v zápise čísla m jsou jen stejné číslice,
(b) n je dvojmístné,
(c) m + n je dvojmístné přirozené číslo, které získáme ze zápisu čísla n obrácením
pořadí cifer.
Řešení: Jde o existenční úlohu. Proto hledáme „příklad“!
61