Ani jeden matematicky´ talent nazmar

s čitatelem 1 a jmenovatelem postupně rostoucím od jedné do nekonečna. Ve
druhé řadě budou zlomky s čitatelem 2 a opět rostoucím jmenovatelem, ve třetí
řadě všechny zlomky s čitatelem 3 atd. Pokud by nám vadilo, že se velikosti
zlomků opakují (zlomky nejsou v základním tvaru), můžeme do tabulky zapisovat
jen zlomky v základním tvaru. Abychom dokázali vyřešit zadání, musíme ted’
najít způsob, jak zlomky v tabulce očíslovat. Stačí procházet tabulku „po úhlopříčkách“.
Začneme u zlomku 1/1, pokračujeme ke zlomku 1/2 a pak po úhlopříčce
ke zlomku 2/1. Vrátíme se zpět na horní řádek ke zlomku 1/3 a znovu pokračujeme
po úhlopříčce doleva dolů přes zlomky 2/2 a 3/1. Tímto způsobem můžeme
pokračovat libovolně daleko. Nalezli jsme tedy vzájemně jednoznačné zobrazení
množiny přirozených čísel a množiny kladných zlomků.
Podobně lze jednoduše ukázat, že přirozených čísel je stejně jako racionálních
čísel. (Jak víme z vysokoškolské matematiky, nekonečným množinám, které mají
stejně prvků jako množina přirozených čísel, říkáme spočetné.)
Pro množinu reálných čísel však lze dokázat, že prvků v ní je víc než přirozených
čísel, že je nespočetná, že reálných čísel je sice také nekonečně mnoho,
ale jedná se o jiné nekonečno než nekonečno přirozených čísel. (Důkaz také není
složitý, ale pro děti na základní škole je přece jen asi myšlenkově náročnější.)
I s tímto „větším“ nekonečnem můžeme řešit zajímavé úlohy.
4. úkol
Dokažte, že na dvou různě dlouhých úsečkách leží stejně bodů (stále používáme
slovo „stejně“ ve výše uvedeném smyslu).
Řešení 4. úkolu:
Narýsujte si obě úsečky na papír tak, aby byly rovnoběžné. Spojte dvěma
přímkami krajní body úseček. V místě, kde se přímky protnou, získáte bod (geometricky
střed stejnolehlosti). Povedete-li nyní přímku tímto bodem a libovolným
bodem jedné úsečky, protne tato přímka druhou úsečku v bodě, který je jednoznačným
„kamarádem“ bodu na první úsečce. Obě úsečky obsahují tedy stejně
bodů.
5. úkol
Dokažte, že půlkružnice bez krajních bodů obsahuje stejně bodů jako přímka.
Řešení 5. úkolu:
Narýsujte přímku a půlkružnici bez krajních bodů na ni „posad’te“ (jako misku
na stůl). Použijete-li promítání ze středu půlkružnice, najdete ke každému bodu
půlkružnice odpovídající bod přímky a naopak.
Metodický komentář k Problému nekonečna
189