Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Problém č. 3: „Různě velká“ nekonečna
K řešení tohoto problému budete potřebovat pouze psací potřeby a velkou
dávku fantazie.
1. úkol
Nakreslete si několik koleček a několik čtverečků a rozmyslete si, jak malé
dítě, které ještě neumí počítat, může poznat, jestli je koleček stejně jako čtverečků.
Řešení 1. úkolu:
Dítě porovnává počet tak, že přiřazuje kolečkům čtverečky a zjišt’uje, jestli
něco zbude. Když může udělat dvojice a nic nezbude, prohlásí, že koleček je stejně
jako čtverečků.
V dalších úlohách budeme používat slovo stejně ve výše uvedeném smyslu.
Matematicky to vyjádříme tak, že můžeme-li udělat vzájemně jednoznačné přiřazení
prvků jedné množiny prvkům druhé množiny, řekneme, že mají stejný počet
prvků. Pokud se nám to žádným způsobem nepodaří, řekneme, že jedna množina
má více prvků než druhá.
2. úkol
Rozhodněte, zda má víc prvků množina přirozených čísel nebo množina
sudých přirozených čísel.
Řešení 2. úkolu:
Pokud napíšeme několik prvních členů řady přirozených čísel a pod ni začátek
řady sudých přirozených čísel (dvojnásobků čísel v horní řadě), zjistíme, že
můžeme každému číslu v horní řadě přiřadit číslo v dolní řadě a naopak. (Pro
děti: Každé číslo v jedné řadě má jednoznačného „kamaráda“ v druhé řadě.) Podle
výše uvedené dohody je tedy v obou řadách stejně čísel. (Poznámka: Pro žáky je
srozumitelnější používat méně přesný název „řada“ než korektní termín „posloupnost“.)
Stejným způsobem lze dokázat, že přirozených čísel je stejně jako násobků
deseti, sta či tisíce. Můžete uvažovat, jak byste dokázali, že přirozených čísel je
stejně jako celých čísel (stačí k tomu jen vhodně přeuspořádat množinu celých
čísel).
3. úkol
Pokuste se najít takové uspořádání množiny všech kladných zlomků, abyste
mohli dokázat, že i zlomků je stejně jako přirozených čísel.
Řešení 3. úkolu:
Začneme vytvářet tabulku všech zlomků tak, že v první řadě budou zlomky
188