Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Příspěvek se zabývá interpretací pojmů bodu, přímky, vektoru a komplexního
čísla v různých matematických oborech, ve kterých se pohled na tentýž pojem liší.
Tak například z hlediska analytické geometrie lze bod chápat jako uspořádanou
dvojici nebo jako vektor s koncovým bodem, jehož počáteční bod leží v počátku
pravoúhlého souřadnicového systému. Tentýž vektor z hlediska goniometrie lze
interpretovat rovněž směrnicí přímky. Přímku lze pak vyjádřit několika způsoby:
jako nekonečnou množinu bodů, ve směrnicovém tvaru pomocí tangenty jejího
směrového úhlu, v parametrickém tvaru bodem a vektorem a obecnou rovnicí s využitím
normálového vektoru. Na příkladu interpretace bodu a přímky je ukázána
spojitost různých matematických disciplín, které jsou vyučovány odděleně a také
studenty odděleně chápány.
Vektory jsou objekty, které tvoří prvky vektorového prostoru. V kartézské
soustavě souřadnic má každý vektor ⃗v(v 1 , v 2 ) své složky v 1 , v 2 .
Komplexní čísla lze zobrazit vzájemně jednoznačně na množinu bodů Gaussovy
roviny, která je určena osami reálných a imaginárních čísel. V takto definované
pravoúhlé soustavě souřadnic se komplexní číslo dané uspořádanou dvojicí
a(a 1 , a 2 ) vyjadřuje ve tvaru
a = a 1 + a 2 i.
Přitom velikost vektoru |⃗v| a absolutní hodnota komplexního čísla |a| se v obou
případech vypočítají obdobně ze stejného pravoúhlého trojúhelníku podle Pythagorovy
věty.
V tomtéž pravoúhlém trojúhelníku lze ukázat odvození vztahu mezi goniometrickými
funkcemi tg x = sin x
cos x ,
kde cos x je:
– první složka vektoru v 1
– první (reálná) část komplexního čísla a 1
– kosinus příslušného úhlu pravoúhlého trojúhelníku v jednotkové kružnici
– první souřadnice bodu A[a 1 , a 2 ] na jednotkové kružnici
a kde sin x je:
– druhá složka vektoru v 2
– druhá (imaginární) část komplexního čísla a 2
– sinus příslušného úhlu pravoúhlého trojúhelníku v jednotkové kružnici
– druhá souřadnice bodu A[a 1 , a 2 ] na jednotkové kružnici
Goniometrická funkce tg x zároveň vyjadřuje směrnici přímky OA. Přitom
délka úsečky |OA| udává velikost vektoru |⃗v|, ale také absolutní hodnotu komplexního
čísla |a|, viz obr. 1.
151