Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Simionescu, Akad. Moisil a Prof. Tiberiu Roman. Historicky 1. MMO, která se konala
v Bukurešti, se zúčastnilo 52 soutěžících ze 7 zemí Evropy. Počet soutěžících
a zúčastněných zemí však v posledních deseti letech narostl zhruba desetinásobně.
Pro zajímavost – v roce 2002 se uskutečnil ve Velké Británii, v Glasgowě, již
43. ročník této prestižní mezinárodní matematické soutěže (v roce 1980 se MMO
nekonala), kterého se zúčastnilo 473 soutěžících z 83 zemí světa.
Struktura soutěže se během téměř půl století existence nezměnila. Soutěžící
řeší v průběhu dvou dnů dvě trojice původních úloh, které vybírá mezinárodní
jury z došlých návrhů těsně před soutěží. Jejich náročnost má zejména v posledních
letech výrazně stoupající tendenci. O tom se můžete přesvědčit v posledních
ročenkách MO, příp. ve zprávách o průběhu jednotlivých ročníků MMO zveřejňovaných
pravidelně v časopisech MFI a ROZHLEDY M-F. O stoupající náročnosti
úloh na MMO se můžete sami přesvědčit i v následující ukázce dvojice úloh:
1. (1. úloha z 1. MMO - Bukurešt’, 1959)
Dokažte, že zlomek
21n + 4
14n + 3
nelze zkrátit pro žádné přirozené číslo n.
2. (6. úloha z 43. MMO - Glasgow, 2002)
V rovině jsou dány kružnice Γ 1 , Γ 2 , . . . , Γ n o poloměru 1, kde n ≥ 3. Jejich
středy označme po řadě O 1 , O 2 , . . . , O n . Předpokládejme, že žádná přímka
nemá společný bod s více než dvěma z daných kružnic. Dokažte, že platí
∑
1≤i