Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Hledanou nejkratší cestou je tedy lomená čára SMND (obr. 2).
Zadání J-I-5-2
Na horách si Bára a Matěj udělali výlet na blízkou zříceninu. Jeden z nich jel na
kole, druhý šel pěšky. Vyrazili současně. V jistém okamžiku nastala tato situace:
Kdyby byla Bára urazila dvakrát méně, měla by zdolat ještě třikrát více. A zároveň,
když by Matěj dosud zdolal dvakrát více, měl by urazit ještě třikrát méně. Jak se
jmenoval cyklista? (Předpokládáme, že se oba pohybovali rovnoměrnou rychlostí
a že cyklista byl rychlejší.)
Úloha je zaměřena na zápis vztahů uvedených v textu, práci se zlomky a jejich
porovnávání.
Řešení J-I-5-2
Jde o to zjistit, který z nich dosud překonal delší cestu (byl by to v tom případě
cyklista). Označme si délku trasy, kterou ujela doposud Bára, jako x. Délku trasy,
kterou překonal Matěj, jako y. Délku celé cesty na zříceninu si označme s.
Pak pro Báru platí s = 1 2 x + 3 · 1
2 x = 2x, tj. x = 1 2 s.
Bára je tedy v polovině cesty. Pro Matěje dostaneme s = 2y + 2 3 y = 8 3y, tj.
x = 3 8 s.
Matěj je tudíž ve 3 8 cesty. Protože 1 2 s > 3 8s, je x > y a na kole jela Bára.
Zadání J-I-5-3
Ve městečku pod zříceninou měli zajímavou kašnu.
Měla kruhový tvar s poloměrem přibližně 5m. Uvnitř
bylo 5 stejně velkých bazénků s vodotryskem, které
se dotýkaly obvodu kašny a také sebe navzájem podle
obr. 3. Matěj a Bára si chtěli nakreslit plánek takové
kašny, ale hned zjistili, že to není jednoduchý úkol.
Obr. 3
Napadlo je, že je to báječný úkol pro Kosa. Zkuste
také narýsovat plánek kašny. (Tloušt’ku stěn bazénku
zanedbejte, nezapomeňte na popis konstrukce a zdůvodnění svého postupu.)
Úloha využívá znalostí o pravidelných mnohoúhelnících a o kružnici vepsané
trojúhelníku. V úloze S-I-5-3 je totožné zadání doplněné otázkou velikosti poloměru
jednotlivých bazénků. K řešení je využito sinové věty.
Řešení J/S-I-5-3
Rozdělme si danou kružnici k na pět stejných výsečí s úhlem 72 ◦ . Můžeme
zkonstruovat pravidelný pětiúhelník, který je kružnici k opsán (obr. 4). Tento
pětiúhelník je tvořen pěti shodnými trojúhelníky, jedním z nich je
124