Ani jeden matematicky´ talent nazmar

a nešt’astnou shodou okolností zapomínáni. Úlohy jsou označeny následujícím
způsobem: kategorie J/S-ročník-série-číslo úlohy.
Zadání J-I-1-5
Sešli se opět odpoledne. „Když nám to tak šlo před obědem, říkal jsem si, že
si zasloužíte ještě jeden příběh,“ uvítal je Kos. Zde je ten příběh:
Když byl Thales malý, bydlel s rodiči a sourozenci v Milétu nedaleko řeky
a také nedaleko fíkové aleje. Každý všední den chodil do školy a cestou zpět se
zastavil pro nějaký ten fík. Pak ještě nabral u řeky vodu pro maminku a hned běžel
domů. Jak to tak u matematiků bývá, chtěl si co nejvíce zkrátit cestu. Dokážete, tak
jako malý Thales, najít nejkratší cestu mezi školou a domem tak, že vede nejdříve
k fíkové aleji a poté k řece?
Úloha je zaměřena na vlastnosti osové souměrnosti.
Obr. 1 Obr. 2
Řešení J-I-1-5
Nejprve je nutné uvědomit si, že nejkratší spojnicí mezi dvěma body je přímka.
My ale dva body nemůže spojit přímo. Musíme se nejprve dotknout dané přímky.
Využijeme vlastností osové souměrnosti. Nejkratší spojnici dvou libovolných
bodů, která se dotýká dané přímky, najdeme s pomocí obrazu jednoho z nich
v osové souměrnosti podle této přímky, jak je naznačeno na obr. 1.
Úkolem v podstatě je určit polohu bodu X.
Tohoto principu nyní využijeme dvakrát. Zobrazme bod S podle osy o 1 (alej),
dostáváme bod S ′ . Dále zobrazme bod D podle osy o 2 (řeka) na bod D ′ . Body,
které hledáme na těchto osách si označme M a N. Nevíme, kde bod M leží, ale
víme, že body M, N a S ′ musí ležet na jedné přímce. To samé musí platit o bodech
D ′ , M, N. Z toho plyne, že oba body M i N musí ležet na přímce D ′ S ′ .
123