Ani jeden matematicky´ talent nazmar

Příklad 14 V učebnici pro 1. ročník gymnázia z roku 1977 se nejdříve definovala
rovnost dvou výrazů a pak pojem rovnice ([14], str. 120, 150):
O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v množině M
(společném definičním oboru) jedině v případě, kdy a) do obou lze na místa
proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M, b) oba dávají pro stejné
hodnoty proměnných stejné výsledky.
Rovnicí s proměnnou x ∈ R nazýváme každou výrokovou formu V (x), která
je zápisem rovnosti dvou výrazů l(x), p(x) ve tvaru
l(x) = p(x), (9)
výraz l(x) nazýváme levou stranu rovnice, výraz p(x) pravou stranu rovnice.
Řešit v množině R rovnici V (x) znamená určovat výčtem prvků její obor pravdivosti
P v množině R. Prvky množiny P nazýváme kořeny rovnice, proměnnou
v rovnici nazýváme neznámá.
Chceme-li dojít k pojmu rovnice tak, jak ho intuitivně chápeme a jak ho
potřebujeme zavést, je účelné dodat, že (9) představuje zápis rovnosti dvou výrazů,
které se nerovnají. Zdá se mi, že snaha po takovéto precizaci pojmů ve vyučování
nepřispívají k zvyšování matematické kultury. Rovněž výklad toho, co znamená
řešit rovnici asi není formulován nejvhodněji.
Definice ve školské matematice by měly podle mého názoru hrát podobnou
roli jako v matematice. Měly by být zavedeny v okamžiku, kdy jsou pro další práci
potřebné a na takové úrovni přesnosti, která je nutná. „K pochopení pojmu skrze
definici dospějeme hledáním odpovědi na otázku, proč je takto definován. Častěji
však porozumíme definici teprve na základě pochopení pojmu“ ([15], str. 62).
Argumenty, dokazování a důkazy
Známý český literát J. S. Machar (1864 – 1942) se přiznává: „Při měřictví
dovedl jsem všechny důkazy o rovnosti úhlů při dvou rovnoběžkách prot’atých
přímkou třetí, o shodnosti trojúhelníků a pod. – ale nikdy jsem tomu, co jsem
dokázal, v nitru nevěřil. Nevěřil jsem trojčlenkám ani počtu řetězovému, algebře
pak nejen že jsem nevěřil, ale vůbec ani nikdy nerozuměl“ ([16], str. 53).
O podobné zkušenosti vyprávěla kdysi známá polská matematička Z. Krygowská.
Po hodině se ptá žákyň sedmého ročníku co dělali při geometrii. Odpověd’
zněla: „Dokazovali jsme, že shodné trojúhelníky jsou shodné. Všichni jsme to
viděli, jen paní učitelka ne a složitě to dokazovala.“ Otázka důkazů ve vyučování
se často řeší bez ohledu na úroveň studentů. V roce 1986 vyšla v Moskvě Pogorelovova
učebnice geometrie pro 6. – 10. ročník, která byla důsledně deduktivně
koncipovaná ([17]). Měl jsem příležitost navštívit jednu moskevskou školu, kde
101