Ani jeden matematicky´ talent nazmar
Ani jeden matematicky´ talent nazmar Ani jeden matematicky´ talent nazmar
Zavádění pojmů Ačkoliv všichni máme bohaté zkušenosti s tím, jak si postupně osvojujeme mnohé matematické pojmy, jako např. přirozené číslo, zlomek, trojúhelník, . . . , v průběhu setkávání se s nimi a při jejich užívání, ačkolivMilan Hejný kategoricky varuje „privčas povedená definícia je nejčastejším zárodkom pojmotvorných deformácií “ ([12], str. 32), zdá se, že někteří autoři učebnic a někteří učitelé jsou přesvědčeni, že pojmy se zavádějí definicemi. Definici chápeme jako vymezení pojmu v jistém jazyku. Poznávací proces není přirozeně bez rozvíjení jazyka disciplíny možný, přesto však se opírá především o zkušenosti s pojmem. Americký učitel John Holt vyjadřuje nebezpečí verbalismu velmi výstižně: „My učitelé, možná všechny lidské bytosti, jsme v zajetí pozoruhodné iluze. Myslíme si, že můžeme vzít obrázek, konstrukci, fungující představu čehosi vybudovanou v naší hlavě na základě dlouhé zkušenosti a znalosti a přeměnou této představy do posloupnosti slov ji přenést celou do hlavy někoho jiného.“ ([13], str. 159). Samozřejmě musíme vysvětlit pojem, popsat jeho vlastnosti, ale tímto vymezením zavedení pojmu nekončí, ba ani nezačíná. Formulace typu „vektor je uspořádaná dvojice reálných čísel“, „komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel“, ... představují podle mého názoru deformace obou pojmů, které mohou být definovány jen v rámci příslušné algebraické struktury. Uspořádané dvojice vektor nebo komplexní číslo pouze reprezentují např. při řešení úloh. Přitom podle úrovně studujících je účelné volit odpovídající úroveň přesnosti a přirozenou míru symboliky. Např. v učitelském vzdělání patrně stačí intuitivní zavedení pojmu uspořádané dvojice, místo někdy uváděné definice (a, b) = df {{a, }, {a, b}}, která má své teoretické oprávnění. Vektorový prostor je účelné chápat jako strukturu s dvěma operacemi a explicitně formulovanými vlastnostmi a nikoliv formálně jako strukturu [V ; ⊕; R +,·; ⊙], jejíž definice zaujímá téměř celou stránku. I při zavádění pojmů znamená respekt k matematické kultuře promýšlení smyslu a úrovně přesnosti. Nemyslím, že by formální definice relace jako libovolné podmnožiny kartézského součinu a funkce jako jednoznačné relace přispívaly k matematické kultuře studentů. Podobně pokládám za nevhodné např. snahy o definici rovnice, které připomenu dalším, dnes již historickým příkladem. 100
Příklad 14 V učebnici pro 1. ročník gymnázia z roku 1977 se nejdříve definovala rovnost dvou výrazů a pak pojem rovnice ([14], str. 120, 150): O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v množině M (společném definičním oboru) jedině v případě, kdy a) do obou lze na místa proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M, b) oba dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky. Rovnicí s proměnnou x ∈ R nazýváme každou výrokovou formu V (x), která je zápisem rovnosti dvou výrazů l(x), p(x) ve tvaru l(x) = p(x), (9) výraz l(x) nazýváme levou stranu rovnice, výraz p(x) pravou stranu rovnice. Řešit v množině R rovnici V (x) znamená určovat výčtem prvků její obor pravdivosti P v množině R. Prvky množiny P nazýváme kořeny rovnice, proměnnou v rovnici nazýváme neznámá. Chceme-li dojít k pojmu rovnice tak, jak ho intuitivně chápeme a jak ho potřebujeme zavést, je účelné dodat, že (9) představuje zápis rovnosti dvou výrazů, které se nerovnají. Zdá se mi, že snaha po takovéto precizaci pojmů ve vyučování nepřispívají k zvyšování matematické kultury. Rovněž výklad toho, co znamená řešit rovnici asi není formulován nejvhodněji. Definice ve školské matematice by měly podle mého názoru hrát podobnou roli jako v matematice. Měly by být zavedeny v okamžiku, kdy jsou pro další práci potřebné a na takové úrovni přesnosti, která je nutná. „K pochopení pojmu skrze definici dospějeme hledáním odpovědi na otázku, proč je takto definován. Častěji však porozumíme definici teprve na základě pochopení pojmu“ ([15], str. 62). Argumenty, dokazování a důkazy Známý český literát J. S. Machar (1864 – 1942) se přiznává: „Při měřictví dovedl jsem všechny důkazy o rovnosti úhlů při dvou rovnoběžkách prot’atých přímkou třetí, o shodnosti trojúhelníků a pod. – ale nikdy jsem tomu, co jsem dokázal, v nitru nevěřil. Nevěřil jsem trojčlenkám ani počtu řetězovému, algebře pak nejen že jsem nevěřil, ale vůbec ani nikdy nerozuměl“ ([16], str. 53). O podobné zkušenosti vyprávěla kdysi známá polská matematička Z. Krygowská. Po hodině se ptá žákyň sedmého ročníku co dělali při geometrii. Odpověd’ zněla: „Dokazovali jsme, že shodné trojúhelníky jsou shodné. Všichni jsme to viděli, jen paní učitelka ne a složitě to dokazovala.“ Otázka důkazů ve vyučování se často řeší bez ohledu na úroveň studentů. V roce 1986 vyšla v Moskvě Pogorelovova učebnice geometrie pro 6. – 10. ročník, která byla důsledně deduktivně koncipovaná ([17]). Měl jsem příležitost navštívit jednu moskevskou školu, kde 101
- Page 49 and 50: (a) pravidelné semináře nebo př
- Page 51 and 52: Co preferují nadprůměrní a co n
- Page 53 and 54: druhé. Významnou roli hraje konte
- Page 55 and 56: Nadprůměrní a soutěže a motiva
- Page 57 and 58: hodiny navíc (doučování). Jeho
- Page 59 and 60: Matematický kroužek na vyšším
- Page 61 and 62: Úvodní úlohy Úloha 1 Určete ci
- Page 63 and 64: Návodné úlohy na řešení B-I-1
- Page 65 and 66: 6. a 7. schůzka: Planimetrie, kons
- Page 67 and 68: Pomocné úlohy k úloze C-I-2 Úlo
- Page 69 and 70: Různé úlohy Úloha 1 Na tabuli j
- Page 71 and 72: a zveřejňovány vždy 24 měsíc
- Page 73 and 74: Dejte hlavy dohromady Týmová sout
- Page 75 and 76: 3. úlohy kombinatorického charakt
- Page 77 and 78: tělesa a pak ho slepte. Řešení
- Page 79 and 80: Přehled vybraných zdrojů informa
- Page 81 and 82: Matematické třídy na gymnáziu v
- Page 83 and 84: péči zájem, v rámci nepovinnýc
- Page 85 and 86: řešení zasílají přímo k nám
- Page 87 and 88: Úloha č. 2 Školní zahrada má t
- Page 89 and 90: v Hradci Králové jednoduchá „e
- Page 91 and 92: zavádí termín kompetencí (záva
- Page 93 and 94: Příklad 5 Odveze auto s nosností
- Page 95 and 96: mocninám jejich poměru podobnosti
- Page 97 and 98: S = 12r2 sin 30 o·cos 15 o 2 sin 7
- Page 99: Doplň do prázdného políčka č
- Page 103 and 104: 8. Složkou matematické kultury je
- Page 105 and 106: • Soutěž má zpětnou vazbu (so
- Page 107 and 108: Efekty očekávání a produkce vý
- Page 109 and 110: lem a Jacobsonem, americkými výzk
- Page 111 and 112: stalo, kdyby osobní očekávání
- Page 113 and 114: aj.) a spolupracovníků (např. z
- Page 115 and 116: Úloha Česká rep. (%) Polsko (%)
- Page 117 and 118: Často je využívána též strate
- Page 119 and 120: [4 ] Molnár, J., Voglová, P., Z h
- Page 121 and 122: ozměry 4 x 5 čtverců. Hlavolam b
- Page 123 and 124: a nešt’astnou shodou okolností
- Page 125 and 126: △SXY . Hledané kružnice bazénk
- Page 127 and 128: Název: KoS Severák Kategorie: Jun
- Page 129 and 130: Zadané téma koresponduje se čtvr
- Page 131 and 132: 1. Všichni žáci netěží stejn
- Page 133 and 134: cago: The University of Chicago Pre
- Page 135 and 136: kursu, v němž dotyčnému autorov
- Page 137 and 138: šest úloh. Na každou navazuje ko
- Page 139 and 140: 4. O velké přestávce hráli Jose
- Page 141 and 142: Jaroslav Švrček 1 Abstrakt: V př
- Page 143 and 144: Simionescu, Akad. Moisil a Prof. Ti
- Page 145 and 146: V roce 1984 vznikla z podnětu Aust
- Page 147 and 148: Po roce 1984 byla sít’těchto š
- Page 149 and 150: části pokrývalo náklady spojen
Zavádění pojmů<br />
Ačkoliv všichni máme bohaté zkušenosti s tím, jak si postupně osvojujeme<br />
mnohé matematické pojmy, jako např. přirozené číslo, zlomek, trojúhelník, . . . ,<br />
v průběhu setkávání se s nimi a při jejich užívání, ačkolivMilan Hejný kategoricky<br />
varuje „privčas povedená definícia je nejčastejším zárodkom pojmotvorných deformácií<br />
“ ([12], str. 32), zdá se, že někteří autoři učebnic a někteří učitelé jsou přesvědčeni,<br />
že pojmy se zavádějí definicemi. Definici chápeme jako vymezení pojmu<br />
v jistém jazyku. Poznávací proces není přirozeně bez rozvíjení jazyka disciplíny<br />
možný, přesto však se opírá především o zkušenosti s pojmem. Americký učitel<br />
John Holt vyjadřuje nebezpečí verbalismu velmi výstižně: „My učitelé, možná<br />
všechny lidské bytosti, jsme v zajetí pozoruhodné iluze. Myslíme si, že můžeme<br />
vzít obrázek, konstrukci, fungující představu čehosi vybudovanou v naší hlavě na<br />
základě dlouhé zkušenosti a znalosti a přeměnou této představy do posloupnosti<br />
slov ji přenést celou do hlavy někoho jiného.“ ([13], str. 159). Samozřejmě musíme<br />
vysvětlit pojem, popsat jeho vlastnosti, ale tímto vymezením zavedení pojmu<br />
nekončí, ba ani nezačíná. Formulace typu „vektor je uspořádaná dvojice reálných<br />
čísel“, „komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel“, ... představují podle<br />
mého názoru deformace obou pojmů, které mohou být definovány jen v rámci příslušné<br />
algebraické struktury. Uspořádané dvojice vektor nebo komplexní číslo<br />
pouze reprezentují např. při řešení úloh. Přitom podle úrovně studujících je účelné<br />
volit odpovídající úroveň přesnosti a přirozenou míru symboliky. Např. v učitelském<br />
vzdělání patrně stačí intuitivní zavedení pojmu uspořádané dvojice, místo<br />
někdy uváděné definice<br />
(a, b) = df {{a, }, {a, b}},<br />
která má své teoretické oprávnění. Vektorový prostor je účelné chápat jako strukturu<br />
s dvěma operacemi a explicitně formulovanými vlastnostmi a nikoliv formálně<br />
jako strukturu<br />
[V ; ⊕; R +,·; ⊙],<br />
jejíž definice zaujímá téměř celou stránku.<br />
I při zavádění pojmů znamená respekt k matematické kultuře promýšlení<br />
smyslu a úrovně přesnosti.<br />
Nemyslím, že by formální definice relace jako libovolné podmnožiny kartézského<br />
součinu a funkce jako jednoznačné relace přispívaly k matematické kultuře<br />
studentů.<br />
Podobně pokládám za nevhodné např. snahy o definici rovnice, které připomenu<br />
dalším, dnes již historickým příkladem.<br />
100