EiM - repetitorij [2009] (2.4 MB) - Katedra - Fsb
EiM - repetitorij [2009] (2.4 MB) - Katedra - Fsb
EiM - repetitorij [2009] (2.4 MB) - Katedra - Fsb
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Digitalni udžbenik<br />
M. Essert, J. Grilec<br />
ELEKTRICITET i MAGNETIZAM<br />
- fizikalne osnove -<br />
<strong>Katedra</strong> za strojarsku automatiku<br />
Fakulteta strojarstva i brodogradnje<br />
Zagreb, <strong>2009</strong>.
Predgovor<br />
Ovaj udžbenik iz područja elektrotehnike, želi pomoći studentima obnoviti srednjoškolsko<br />
znanje elektrotehnike, koja se uči u fizici, kako bi lakše svladali predmet<br />
ELEKTROTEHNIKA na studiju. Namijenjen je ponajprije studentima Fakulteta<br />
strojarstva i brodogradnje, ali može korisno poslužiti i drugima.<br />
Pojam elektrotehnika, uključuje u sebi dva pojma. Prvi je upoznavanje osnovnih<br />
fizikalnih zakona o elektricitetu i magnetizmu, a drugi njihovu primjenu u tehničkoj<br />
praksi. Upoznati fizikalni zakon najčešće znači opisati posljedice njegova djelovanja,<br />
dok nam uzrok i bit zakona ostaju skriveni. Matematički aparat kojim se u<br />
teoriji služimo i instrumenti kojima mjerimo ovise dakako o dubini naših proučavanja.<br />
Gradivo izneseno u ovom udžbeniku koristi matematički aparat primjeren<br />
srednjoškolskoj matematici.<br />
Elektrotehnika i strojarstvo dva su vrlo bliska znanstvena područja, čije se discipline<br />
znatno isprepleću, od mjeriteljstva do automatskog vo ¯denja proizvodnih<br />
procesa. Budući da su mnoge tehnologije u strojarstvu usko vezane uz elektrotehniku,<br />
ovaj udžbenik može poslužiti i strojarskim stručnjacima u njihovoj svakodnevnoj<br />
praksi.<br />
Gradivo je podijeljeno u pet poglavlja koji obuhvaćaju osnovna elektrotehnička<br />
područja:<br />
1. elektrostatika<br />
2. istosmjerna struja<br />
3. magnetizam<br />
4. prijelazne pojave<br />
5. izmjenične struje<br />
Udžbenik koristi većinu gradiva obra ¯denog u rasprodanom izdanju udžbenika<br />
M. Essert, Z. Valter: "Osnove elektrotehnike", SNL Liber 1991. god., a praktičnu orjentaciju<br />
interaktivnim applet-ima na CD-u zahvaljuje diplomskom radu Valentine<br />
Franković, prof. fizike. Svako poglavlje uključuje i niz zadataka s rješenjima, za<br />
provjeru naučenog gradiva.<br />
Kvalitetan prijenos znanja traži danas i nove alate. Oni su prisutni ponajviše<br />
zahvaljujući računalima i različitim edukacijskim programima. Temeljna značajka<br />
takvih programa je interaktivnost i usmjerenost na fizikalne modele. Računala i<br />
i
PREDGOVOR<br />
programi omogućuju da korisnik više razmišlja o tomu ’što’ i ’zašto’, nego o ’kako’.<br />
Sam izračun - dobivanje numeričkog ili grafičkog rezultata, u takvim je metodama,<br />
programima, manje značajan. Java applet-i su popularni programi koji nude sve<br />
nabrojeno i danas su zahvaljujući Internetu dostupni na mnogim sveučilištima i<br />
školama. Pisani su u besplatnom Java okruženju pa su već od samih početaka (oko<br />
1995.) postali osnovna nastavna pomagala.<br />
Iako postoje applet-i za mnoga područja fizike (i ne samo nje), u ovom radu<br />
pokušalo se prikupiti najbolje uzorke za područje fizikalnih osnova elektrotehnike.<br />
Poštujući autorska prava, svi prikupljeni applet-i prilago ¯deni su našim prilikama<br />
(za slučaj da u nastavi nema mogućnosti korištenja Interneta i/ili da korisnici ne<br />
znaju engleski). Direktni linkovi na pojedinačne Java applete navedeni su u dodatku,<br />
a obra ¯deni i prilago ¯deni appleti za ovaj udžbenik mogu se dohvatiti na adresi:<br />
http://scriptrunner4.fsb.hr/EIM.<br />
Na istom stroju, pod Scriptrunner sustavom nalazi se i digitalni oblik ovog udžbenika.<br />
Kako se s ovim sustavom provodi cjelokupna nastava iz nekoliko kolegija<br />
na našem Fakultetu (od predavanja i vježbi, modeliranja, rada na daljinu, interaktivnog<br />
čitanja nastavnog sadržaja, domaćih zadaća, preko kolokvija i ispita, do<br />
’studentskog kartona’) zamišljeno je da ovo bude prvi od triju udžbenika iz elektrotehnike.<br />
Iduća dva odnose se na gradivo iz kolegija "Elektrotehnika" - prvi za<br />
predavanja, a drugi za auditorne vježbe.<br />
Prednost ovakve realizacije je mogućnost dodavanja interaktivnog sadržaja (’živi’-<br />
PDF udžbenici, zahvaljujući Scriptrunner-u), smanjeni troškovi objavljivanja, besplatno<br />
dohvaćanje s web-a, ljepši višebojni izgled i na koncu, zaštita okoliša (manje<br />
papira, više šuma). Nadamo se da će studenti biti zadovoljni ovakvim pogledam i<br />
još više ga podupirati. To nam pak, s druge strane, omogućuje trajno poboljšavanje<br />
objavljenog materijala, kako u ispravljanju eventualnih pogrešaka, tako i dodovanju<br />
novog, kvalitetnijeg sadržaja.<br />
Električne sheme i slike izradio je student Matija Kovačić i to u TikZ/PGF grafičkom<br />
paketu koji je dio LATEX programskog alata s kojim je složen ovaj udžbenik.<br />
Njemu, a tako ¯der i svim kolegama s Katedre za strojarsku automatiku Fakulteta<br />
strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu, koji su pogledali i komentirali rukopis,<br />
najsrdačnije se zahvaljujemo.<br />
Autori<br />
ii
Sadržaj<br />
Predgovor<br />
Sadržaj<br />
Popis slika<br />
i<br />
iii<br />
vii<br />
1 ELEKTROSTATIKA 1<br />
1.1 Struktura materije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.1.1 Elementarni naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.2 Električna svojstva tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2 Električno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2.1 Polarizacija i influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.2.2 Gustoća električnog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2.3 Coulombov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.3 Električni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4 Električni kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.5 Kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.5.1 Spojevi kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.5.2 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.5.3 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.6 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
1.6.1 Električno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
1.6.2 Test naboj u električnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.6.3 Elektroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.6.4 Kapacitet pločastog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
1.6.5 Applet - prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
1.7 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
2 ISTOSMJERNA STRUJA 31<br />
2.1 Električni napon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
2.2 Električni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
2.3 Električna struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
<strong>2.4</strong> Električni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
<strong>2.4</strong>.1 Promjena otpora s temperaturom . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
2.5 Ohm-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
iii
SADRŽAJ<br />
2.6 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
2.6.1 I. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2.6.2 II. Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
2.7 Električni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
2.7.1 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
2.7.2 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
2.8 Električna struja u ioniziranom plinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
2.9 Elektrokemijske pojave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
2.9.1 Faraday-evi zakoni elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
2.9.2 Primarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
2.9.3 Sekundarni elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
2.10 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
2.11 Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.12 Realni naponski izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
2.12.1 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
2.12.2 Spojevi električnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
2.13 Mjerenje struje, napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
2.13.1 Mjerni instrumenti: voltmetar, ampermetar, ommetar . . . . 62<br />
2.14 Rad i snaga istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
2.15 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
2.15.1 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
2.15.2 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
2.15.3 Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu . . . . . . 69<br />
2.15.4 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
2.15.5 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
2.15.6 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
2.15.7 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
2.16 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3 MAGNETIZAM 77<br />
3.1 Magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
3.2 Zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
3.2.1 Magnetsko polje ravnog vodiča . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
3.3 Magnetske veličine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.4 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
3.5 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
3.6 Djelovanje magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
3.6.1 Sila na gibljivi naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
3.6.2 Sila na vodič kojim teče struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
3.6.3 Sila izme ¯du dva vodiča kojima teku struje . . . . . . . . . . . 94<br />
3.7 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
3.7.1 Lenz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
3.7.2 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
3.8 Me ¯duindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
3.9 Energija magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
3.9.1 Izmjenično magnetiziranje željeza . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
iv
3.9.2 Privlačna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
3.10 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
3.10.1 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
3.10.2 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
3.10.3 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
3.10.4 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
3.11 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
4 PRIJELAZNE POJAVE 111<br />
4.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
4.1.1 Energija nabijenog kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
4.1.2 Energija na otporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
4.1.3 Nabijanje (punjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
4.1.4 Izbijanje (pražnjenje) kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
4.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
4.2.1 Energija zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
4.2.2 Ukapčanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
4.2.3 Iskapčanje RL - kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
4.3 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
4.4 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
4.5 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
4.5.1 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
4.5.2 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
4.5.3 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
4.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
5 IZMJENIČNE STRUJE 125<br />
5.1 Harmonički oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
5.1.1 Frekvencija i kružna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />
5.1.2 Srednja i efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
5.1.3 Faza i razlika faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
5.2 Predočivanje izmjeničnih veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
5.2.1 Prikazivanje rotirajućim dužinama i vektorima . . . . . . . . 135<br />
5.2.2 Fazni pomak u vektorskom prikazu . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
5.3 Jednostavni krug izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
5.3.1 Otpor u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
5.3.2 Kapacitet u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . 140<br />
5.3.3 Induktivitet u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . 142<br />
5.4 Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . 144<br />
5.4.1 Serijski RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
5.4.2 Serijski RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
5.4.3 Serijski RLC -krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
5.4.4 Paralelni RL - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
5.4.5 Paralelni RC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150<br />
5.4.6 Paralelni RLC - krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
5.5 Rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152<br />
v
SADRŽAJ<br />
5.6 Snaga i faktor snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154<br />
5.6.1 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
5.7 Trofazni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
5.7.1 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
5.7.2 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158<br />
5.7.3 Snaga trofaznog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />
5.8 Appleti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />
5.8.1 Električni elementi u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . 159<br />
5.8.2 Složeni R, L i C strujni krugovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
5.9 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
A WEB-adrese applet-a 165<br />
Literatura 167<br />
Indeks 169<br />
vi
Popis slika<br />
1.1 Sastav atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron) . . . . . . 3<br />
1.3 Ionizacija atoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.4 Elektična sila u okolišu nabijenog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.5 Električno polje jednog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.6 Električno polje dvaju naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.7 Homogeno električno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.8 Polarizacija dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.9 Električna influencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.10 Sila na naboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.11 Ekvipotencijalne linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.12 Električno polje i potencijal kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.13 Simboli kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.14 Serijski spoj triju kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.15 Paralelni spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
1.16 Mješoviti spoj kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.17 Nabijanje kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.18 Prirodni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
1.19 Applet - električno polje naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
1.20 Test naboj u električnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.21 Elektroskop - oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
1.22 Model elektroskopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
1.23 Pločasti kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
2.1 Istosmjerni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.2 Označavanje naponskih i strujnih veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
2.3 Simbol i oznaka električnog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
<strong>2.4</strong> Ovisnost otpora i temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.5 I=f(V) u metalnom vodiču . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
2.6 I Kirchhoff-ov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
2.7 Serijski spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
2.8 Paralelni spoj otpornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
2.9 (V,I) karakteristika električne struje u zraku . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
2.10 Proces elektrolize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
vii
POPIS SLIKA<br />
2.11 Leclanché-ov element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
2.12 Element baterije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
2.13 Olovni akumulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
2.14 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
2.15 Vanjska karakteristika realnog izvora napona . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.16 Realni jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.17 Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji električne mreže . . . 55<br />
2.18 Složeni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
2.19 Realni naponski izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
2.20 Vanjska karakteristika realnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
2.21 Serijski spoj realnih električnih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.22 Paralelni spoj realnih naponskih izvora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
2.23 Pojedinačno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu . . . . . . . . . . 61<br />
2.24 Istodobno mjerenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
2.25 Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom . . . . . . 63<br />
2.26 Proširenje mjernog područja voltmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
2.27 Proširenje mjernog područja ampermetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
2.28 Nadomjesna shema ommmetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
2.29 Skala ommetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
2.30 Ommetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
2.31 Jednostavni strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
2.32 Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem . . . . . . . . . . 69<br />
2.33 Mjerenje napona, struje i snage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
2.34 Multimetar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
2.35 Serijski spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
2.36 Paralelni spoj otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
2.37 Kirchhoff-ovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
3.1 Magnetsko polje oko vodiča kojim teče struja . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
3.2 Primjer uz zakon protjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
3.3 Magnetsko polje ravnog vodiča kroz koji teče struja . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.4 Ovisnost H=f(r) ravnog vodiča kroz koji teče struja . . . . . . . . . . . . . 81<br />
3.5 Magnetsko polje ravnog vodiča . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
3.6 Magnetsko polje zavojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
3.7 Magnetiziranje željeza s pomoću indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
3.8 Magnetsko polje ravnog vodiča, prstena i okvira . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
3.9 Magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
3.10 Magnetska histereza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
3.11 Petlja histereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
3.12 Magnetski materijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
3.13 Magnetski krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
3.14 Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem . . 90<br />
3.15 Magnetsko polje naboja u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
3.16 Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
3.17 Sila na vodič kojim teče struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
3.18 Dijelovi galvanometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
viii
3.19 Galvanometar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
3.20 Sila izme ¯du dva vodiča protjecana strujom . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
3.21 Definicija jedinice amper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
3.22 Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
3.23 Elektromagnetska indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
3.24 Gibanje vodiča po metalnom okviru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
3.25 Samoindukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
3.26 Me ¯duinduktivna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
3.27 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
3.28 Izmjenično magnetiziranje feromagnetskog materijala . . . . . . . . . . 103<br />
3.29 Razmagnetiziranje jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
3.30 Privlačna sila magneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
3.31 Naboj u magnetskom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
3.32 Lorentz-ova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
3.33 Faraday-ev zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
3.34 Lennz-ovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
4.1 RC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
4.2 v=f(t) u RC krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
4.3 RL krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
4.4 i=f(t) za uključenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
4.5 i=f(t) za isključenje RL kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
4.6 LC oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
4.7 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
4.8 RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
4.9 RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
4.10 Elektromagnetski oscilirajući krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />
5.1 Istosmjerne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
5.2 Izmjenična struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
5.3 Periodičke struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
5.4 Periodička struja sa I s r ≈ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
5.5 Harmonička struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
5.6 Referentni smjer struje i pripadajući polaritet napona izvora . . . . . . . 128<br />
5.7 Shematizirani prikazi generatora izmjenične struje . . . . . . . . . . . . 128<br />
5.8 Srednje vrijednosti struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />
5.9 Odre ¯divanje efektivne vrijednosti struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br />
5.10 Izmjenična struja i njezina efektivna vrijednost . . . . . . . . . . . . . . . 132<br />
5.11 Fazni pomaci napona i struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
5.12 Dobivanje sinusoide pomoću rotirajuće dužine . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
5.13 Prikaz sinusoida rotirajućim dužinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
5.14 Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
5.15 Vektorski prikaz napona i struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />
5.16 Zbroj dviju struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
5.17 Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu . . . . . . . . . . . . . 138<br />
5.18 Radni otpor u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br />
ix
POPIS SLIKA<br />
5.19 Napon i struja kroz radni otpor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br />
5.20 Kapacitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
5.21 Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br />
5.22 Induktivitet u strujnom krugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br />
5.23 Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L . . . . . . . . . . . . . . . . 144<br />
5.24 Serijski RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
5.25 Vektorski dijagram serijskog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
5.26 Trokuti napona i otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
5.27 Serijski RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
5.28 Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
5.29 Serijski RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
5.30 Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />
5.31 Trokut otpora serijskog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />
5.32 Paralelni RL-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
5.33 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
5.34 Paralelni RC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150<br />
5.35 Dijagrami paralelnog RL-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
5.36 Paralelni RLC-krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
5.37 Dijagrami paralelnog RLC-kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152<br />
5.38 Trokuti otpora i snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
5.39 Trokut snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156<br />
5.40 Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
5.41 Naponi i struje u spoju zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158<br />
5.42 Naponi i struje u spoju trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158<br />
5.43 Električni elementi u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
5.44 Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
x
1<br />
POGLAVLJE<br />
ELEKTROSTATIKA<br />
Elektrotehnika kao znanost i ljudska djelatnost bavi se izučavanjem i primjenom<br />
električnih i magnetskih pojava. Dio koji se bavi izučavanjemodvo pripada prirodnim<br />
znanostima i čini njezinu fizikalnu osnovu, a dio koji se bavi primjenom čini<br />
nadgradnju i pripada tehničkim znanostima.<br />
U tumačenju električnih i magnetskih pojava polazi se od poznavanja strukture<br />
materije i njezinih električnih svojstava. Ta se svojstva pripisuju postojanju<br />
električnih naboja u osnovnoj strukturi svake tvari. Električni naboji mogu se smatrati<br />
svojevrsnim elementarnim česticama, djelićima materije i nosiocima njezinih<br />
električnih svojstava. Spoznat ih se može preko njihovih vanjskih manifestacija, a<br />
to su električne i magnetske sile. Djelovanje električnih naboja ovisi i o značajkama<br />
prostora oko njih.<br />
Električni naboji mogu u prostoru mirovati ili biti u pokretu. Naboji u mirovanju<br />
nazivaju se statički naboji. Naboji u gibanju mogu imati različite smjerove, a oni u<br />
usmjerenom gibanju čine električnu struju.<br />
Elektrostatika opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko mirujućih<br />
električnih naboja. Djelovanje naboja u prostoru tumači se električnim poljem,<br />
posebnim stanjem prostora, koje svaki naboj stvara u svom okolišu.<br />
U prostoru oko statičkih naboja zbivaju se električne pojave, pa se to stanje<br />
prostora naziva električnim poljem. U prostoru oko naboja u gibanju odvijaju se<br />
uz električne i magnetske pojave. U njemu se pored električnog javlja i magnetsko<br />
polje, a zajednički se naziva elektromagnetskim poljem.<br />
1.1 STRUKTURA MATERIJE<br />
Poznato je da se materija sastoji od tvari u čistom stanju i od onih u obliku smjesa.<br />
Čiste tvari mogu biti jednostavne i složene. Jednostavne se nazivaju kemijskim<br />
elementima, jer se nikakvim kemijskim postupkom ne daju razložiti na jednostavnije.<br />
Složene pak tvari nastaju spajanjem elemenata, imaju potpuno nova<br />
svojstva i nazivaju se spojevi. Smjese su sastavljene od različitih elemenata i spojeva.<br />
1
1. ELEKTROSTATIKA<br />
Najsitnije su čestice elementa koje još predstavljaju element atomi. Danas je<br />
poznato 105 elemenata, a time i 105 različitih vrsta atoma. Najmanji me ¯du njima<br />
je atom vodika i može ga se zamisliti kao kuglicu promjera 2 · 10 −10 m, a najveći je<br />
atom cezija, promjera 5,3·10 −10 m. Veličina svih ostalih atoma kreće se u spomenutim<br />
granicama.<br />
Svi atomi izgra ¯deni su od elementarnih čestica, a njihovu gra ¯du utvrdili su fizičari<br />
E. Rutherford i N. Bohr. Svaki atom sastavljen je od jezgre i omotača (slika<br />
1.1). U središtu atoma na vrlo malom prostoru zgusnute su elementarne čestice<br />
koje čine njegovu jezgru. To su protoni, neutroni i ostale čestice. Oko jezgre atoma<br />
kreću se velikim brzinama elektroni tako da čine omotač oko nje.<br />
Elektroni su elementarne čestice koje posjeduju negativni električni naboj. Masa<br />
elektrona je oko 1836 puta manja od jedinice atomske mase, odnosno mase koju<br />
ima najmanji atom, atom vodika.<br />
Protoni su elementarne čestice koje posjeduju naboj jednak po veličini naboju<br />
elektrona, ali suprotnog predznaka. Masa protona približno je jednaka jedinici<br />
atomske mase.<br />
omotač<br />
elektroni (+ naboj)<br />
atom<br />
protoni (- naboj)<br />
jezgra<br />
neutroni<br />
ostale čestice<br />
SLIKA 1.1: Sastav atoma<br />
Količina naboja koju posjeduju elektron i proton naziva se elementarni naboj,<br />
jer ga u prirodi nema manjeg.<br />
Neutroni nemaju električnog naboja, a masa im je približno jednaka masi protona,<br />
odnosno jedinici atomske mase. Ostale čestice u jezgri kao npr. pozitron,<br />
mezon, neutrino i hiperon pojavljuju se samo povremeno i brzo se raspadaju. Pri<br />
raspadanju pretvaraju se jedne u druge i bez značenja su za električne pojave.<br />
U normalnim uvjetima broj elektrona u omotaču jednak je broju protona u jezgri,<br />
što znači da svaki atom sadrži jednaku količinu pozitivnog i negativnog naboja<br />
i promatrano izvana električki je neutralan.<br />
Dimenzije elektrona i protona nije moguće pouzdano odrediti, jer te čestice nemaju<br />
oštre granice. Nije ih moguće ni vidjeti, već je moguće u odre ¯denim uvjetima<br />
vidjeti i snimiti tragove koje ostavljaju pri prolazu kroz odre ¯dena sredstva. Iz tih<br />
tragova moguće je odrediti njihovu brzinu, energiju, masu i naboj.<br />
Izme ¯du protona, neutrona i ostalih čestica u jezgri djeluju vrlo jake sile koje ih<br />
drže na okupu. To su nuklearne sile. Izme ¯du protona i elektrona, me ¯dutim, postoje<br />
električne sile koje zajedno s nuklearnim drže atom jednom cjelinom.<br />
Gibanje elektrona u atomu ima složen karakter, jer oni pored gibanja u omotaču<br />
istovremeno rotiraju i oko vlastite osi. Ta rotacija naziva se elektronski spin. Uz to<br />
2
Struktura materije<br />
se mijenja i položaj omotača u odnosu na jezgru.<br />
Atomi različitih elemenata me ¯dusobno se razlikuju po broju protona u jezgri i<br />
broju elektrona u omotaču. Tako atom vodika kao najjednostavniji ima jedan proton<br />
u jezgri i jedan elektron u omotaču. Atom helija ima dva protona i dva elektrona,<br />
litija tri protona i tri elektrona itd.<br />
Atomi istog elementa mogu se me ¯dusobno razlikovati samo po broju neutrona.<br />
Pritom imaju isti atomski broj jer posjeduju isti broj protona, ali se razlikuju u masi<br />
zbog različitog broja neutrona. Takvi atomi se nazivaju izotopi. Najsloženiji atom je<br />
izotop urana U koji ima 146 neutrona, 92 protona i 92 elektrona. Neke jednostavnije<br />
primjere modela atoma prikazuje slika 1.2.<br />
Jedino je jezgra atoma običnog vodika bez neutrona, dok jezgre svih ostalih<br />
atoma pored protona sadrže i neutrone.<br />
Svi elektroni u omotaču nemaju jednaku energiju. S obzirom na sadržaj energije<br />
pojedinih elektrona u atomu, elektroni se mogu u omotaču raspodjeliti u 7 ljusaka<br />
ili ovojnica.<br />
e<br />
e<br />
p<br />
L<br />
K<br />
p<br />
n<br />
p<br />
n<br />
e<br />
vodik 1 1 H<br />
helij He<br />
litij Li<br />
SLIKA 1.2: Modeli jednostavnih atoma (e-elektron, p-proton, n-neutron)<br />
Te se ljuske prema svojem redoslijedu označavaju slovima K , L, M, N , O, P i<br />
Q, pri čemu se ljuska najbliža jezgri označava s K , a najudaljenija s Q. Elektroni u<br />
ljuskama bližim jezgri imaju energiju manju od onih u udaljenijim ljuskama. Vanjska<br />
ljuska sadrži najviše do 8 elektrona, a unutrašnje do 2 · n 2 , gdje je n broj ljuske<br />
računajući od jezgre. Na slici 1.2 prva dva atoma imaju jednu, a treći dvije ljuske.<br />
1.1.1 ELEMENTARNI NABOJ<br />
U prirodi, dakle, postoje dvije vrste elementarnih naboja, jednima je dogovorno<br />
pridodan naziv ’pozitivni’ (kod protona), a drugima ’negativni’ (kod elektrona).<br />
Iako je masa protona veća od mase elektrona, njihov naboj je po apsolutnom iznosu<br />
jednak i iznosi:<br />
Q 0 = 1,6 · 10 −19 As<br />
3
1. ELEKTROSTATIKA<br />
Veličinu elementarnog naboja utvrdio je 1917. god. fizičar R. A. Millikan, a<br />
izražava se u ampersekundama [As] ili kulonima [C ].<br />
Proton je čvrsto vezan u jezgri i pojavljuje se slobodan samo u reakcijama me ¯du<br />
jezgrama, nuklearnim reakcijama. U tim reakcijama dolazi do promjene sadržaja<br />
jezgre, a traju vrlo kratko.<br />
Elektron u normalnim uvjetima postoji i slobodan, jer se u procesu ionizacije<br />
atoma može osloboditi veze s jezgrom. Njegovo sudjelovanje u električnim pojavama<br />
je stoga aktivnije.<br />
Elektroni u atomu mogu posjedovati samo odre ¯denu konačnu količinu energije<br />
i gibati se putanjama odre ¯denim njihovom energijom. Oni nastoje zaposjesti putanje<br />
koje odgovaraju najnižoj energetskoj razini i popunjavaju ljuske bliže atomskoj jezgri.<br />
Takav se atom nalazi u normalnom stanju.<br />
Dovo ¯denjem energije atomu u obliku npr. topline ili svjetlosti, postiže se njegovo<br />
uzbu ¯deno stanje, pri čemu elektroni mogu primiti toliko energije da mogu<br />
promijeniti ljusku i prijeći u ljuske udaljenije od atomske jezgre.<br />
Mogu se čak i osloboditi veze s jezgrom i napustiti atom. Obratno, elektroni<br />
mogu izvana biti ubačeni u putanje oko jezgre. Postupak koji vodi do promjene<br />
broja elektrona naziva se ionizacijom.<br />
Ako elektron napusti atom, narušava se nabojska ravnoteža atoma, jer ukupni<br />
pozitivni naboj protona postane veći od ukupnog negativnog naboja preostalih<br />
elektrona. Atom izvana više nije neutralan, a zbog prevladavanja pozitivnih naboja<br />
postaje pozitivni ion. Ako me ¯dutim u atom u ¯de jedan elektron i time ukupni negativni<br />
naboj elektrona postane veći od ukupnog pozitivnog naboja protona, atom<br />
postaje negativni ion (slika 1.3).<br />
atom<br />
e<br />
e<br />
atom<br />
pozitivni ion<br />
negativni ion<br />
SLIKA 1.3: Ionizacija atoma<br />
Svaka kemijska veza temelji se na razmjeni elektrona me ¯du atomima. U skupini<br />
atoma elektroni mogu istovremeno i u jednakoj mjeri pripadati svim atomima u<br />
njoj. Kako i skupina atoma može biti izvrgnuta procesu ionizacije, ionima se smatraju<br />
električki nabijeni atomi ili njihove skupine.<br />
Dok negativni naboj u normalnim uvjetima može biti prisutan ili kao naboj<br />
elektrona ili kao naboj negativnih iona, pozitivni naboj prisutan je samo kao naboj<br />
pozitivnih iona.<br />
4<br />
1.1.2 ELEKTRIČNA SVOJSTVA TVARI
Električno polje naboja<br />
Pokretljivost i gustoća naboja nastalih ionizacijom, utječe na osnovno električno<br />
svojstvo tvari - električnu vodljivost.<br />
Tvari koje se odlikuju velikom električnom vodljivošću nazivaju se vodičima. U<br />
njih se ponajprije ubrajaju metali i njihove legure. To su tvari s kristalnom strukturom,<br />
kojih se atomi me ¯dusobno povezuju metalnom vezom. Pri tom vezivanju<br />
javlja se veliki broj slobodnih elektrona koji se lako stavljaju u gibanje i pritom<br />
nailaze na razmjerno mali otpor u kristalnoj rešeci. To su kruti vodiči.<br />
Vodičima tako ¯der pripadaju elektroliti i vodljivi plinovi. Elektroliti su soli odnosno<br />
krute tvari kristalne strukture s ionskom vezom me ¯du atomima, te kiseline i lužine<br />
otopljene u vodi. Pri tom otapanju javlja se odre ¯deni broj suprotno nabijenih iona.<br />
Slično se stanje javlja i kod nekih plinova.<br />
Elektrolite i vodljive plinove za razliku od metala odlikuje istovremena pokretljivost<br />
i iona i elektrona. Pri gibanju iona javlja se i gibanje materije, čega pri gibanju<br />
elektrona nema. Oni se stoga za razliku od krutih nazivaju ionskim vodičima.<br />
Uz vodiče postoje i tvari koje se odlikuju vrlo malom ili gotovo nikakvom električnom<br />
vodljivošću. Te se tvari nazivaju izolatorima ili dielektricima. U njih se<br />
ubrajaju krute tvari s kristalnom strukturom, kojih se atomi me ¯dusobno povezuju<br />
kovalentnom vezom. U toj vezi elektroni su čvrsto vezani uz jezgre fiksirane u<br />
kristalnoj rešeci. Pored krutih tvari s kristalnom strukturom u izolatore se ubrajaju<br />
i neke tvari nekristalne strukture kao npr. guma, papir, staklo, mineralna ulja,<br />
čista voda i nevodljivi plinovi, te vakuum.<br />
Me ¯du tvarima s kristalnom strukturom nalaze se i tvari u kojih veza me ¯du atomima<br />
može biti bliska i kovalentnoj i ionskoj vezi. Te se tvari odlikuju znatno manjom<br />
vodljivošću nego što je imaju vodiči, ali većom od one izolatora, pa se nazivaju<br />
poluvodičima. Vodljivost im je jako ovisna o vanjskim fizičkim i kemijskim utjecajima.<br />
Tu se ubrajaju npr. olovni sulfid i neki spojevi silicija, germanija i selena.<br />
Slobodni elektroni u krutim vodičima gibaju se u prostoru izme ¯du atoma kaotično,<br />
bez rezultatntnog smjera, što podsjeća na gibanje molekula plina. Pritom je njihov<br />
statistički raspored takav da je vodič, izvana promatrano, električki neutralan.<br />
Usmjereno gibanje slobodnih elektrona javlja se u vodiču tek pod vanjskim utjecajem,<br />
kojim se elektronu dodaje usmjerena komponenta. Srednja brzina kaotičnog<br />
gibanja elektrona u vodiču reda je veličine 10 6 m/s, a brzina njihova usmjerenog<br />
gibanja 10 −2 m/s.<br />
Pri prolazu struje kroz pojedine tvari mogu se ostvariti toplinski, magnetski,<br />
kemijski, svjetlosni i fiziološki učinci. Oni se mogu vrlo uspješno koristiti i njima se<br />
bavi tehnički dio elektrotehnike. Toplinski učinci koriste se u elektrotermiji, magnetski<br />
kod električnih strojeva, kemijski u elektrolizi, a fiziološki u djelovanju električne<br />
struje na žive organizme.<br />
1.2 ELEKTRIČNO POLJE NABOJA<br />
Proučavanje elektriciteta povijesno se bilo započelo proučavanjem sila koje se uočavaju<br />
izme ¯du nabijenih, elektriziranih tijela. Najpoznatiji način elektriziranja (odvo-<br />
5
1. ELEKTROSTATIKA<br />
¯denja ili dovo ¯denja naboja nekom tijelu) bio je trenjem. Analiza uočenih sila dovela<br />
je do zaključka da u električnim pojavama postoje dvije električne veličine: naboj i<br />
polje. Električni naboj javlja se kao svojstvo čestica, a električno polje se zamjećuje<br />
kao polje sila oko nabijenih čestica, oko naboja.<br />
A. Coulomb je još 1785. godine uočio i formulirao osnovni zakon o sili izme ¯du<br />
električki nabijenih tijela. Coulombova sila oblikom se izraza podudara s Newtonovom<br />
gravitacijskom silom, samo što u njoj umjesto masa dolaze električni naboji,<br />
a s obzirom da mogu biti i pozitivni i negativni, slijedi da se elektrizirana tijela mogu<br />
i odbijati, a ne samo privlačiti.<br />
Zakon se može eksperimentalno potvrditi samo za silu izme ¯du vrlo malih električnih<br />
tijela, koja se mogu smatrati matematičkim točkama (tzv. točkasti naboj ili<br />
test-naboj; eksperimentalno: nabijena kuglica). Isto tako prilike postaju jednostavne<br />
za proučavanje i mjerenje kad se točkasti naboj na ¯de u okolišu velikog, na<br />
primjer metalnog, nabijenog tijela (slika 1.4). Neka se pretpostavi da su i tijelo i<br />
kuglica nabijeni pozitivnim električnim nabojem. Pokusom se opaža da je sila na<br />
nabijenu kuglicu to veća što je veći iznos Q naboja kojim je nabijena i to u bilo kojoj<br />
točki prostora.<br />
P 2<br />
+<br />
P 3<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+ +<br />
+<br />
P 1<br />
+ +<br />
SLIKA 1.4: Elektična sila u okolišu nabijenog tijela<br />
Ako se pak, uz neizmjenjen naboj kuglice, mijenja njezin položaj oko metalnog<br />
tijela (P 1 , P 2 , P 3 ,. . . ) sila na kuglicu imat će općenito različitu veličinu i smjer.<br />
Sila ovisi dakle i o fizikalnoj veličini stvorenoj prisutnošću nabijenog tijela. Ta<br />
se veličina zove električno polje nabijenog tijela i njen iznos označuje se s E. Sila na<br />
točkasti naboj može se prema tome izraziti umnoškom dviju nezavisnih veličina:<br />
gdje su:<br />
Q - naboj [As]<br />
E - jakost električnog polja [V/m]<br />
F = Q · E [N ] (1.1)<br />
Električno polje zamjećuje se dakle, kao polje sila oko nabijenih čestica. Kad<br />
se u okolišu nekog naboja nalazi više drugih naboja, tada se ukupna sila na taj<br />
6
Električno polje naboja<br />
naboj može dobiti superpozicijom, tj. dodavanjem pojedinih sila svakog od okolnih<br />
naboja po smjeru i po iznosu (vektorski zbroj). Električno polje je rezultat djelovanja<br />
svih naboja koji se nalaze u nekom prostoru (unošenjem dodatnog naboja u<br />
taj prostor mijenja se i polje).<br />
Jakost električnog polja E, u nekoj točki jednaka je omjeru sile F na naboj (postavljen<br />
u tu točku) i veličine naboja Q, a smjer polja jednak je smjeru koji bi imala<br />
električna sila na pozitivni naboj postavljen u tu točku. J<br />
Jakost polja u odre ¯denoj točki prostora može se odrediti, poznavajući silu F na<br />
naboj Q (doveden u tu točku) s pomoću jednadžbe<br />
E = F Q<br />
[V /m]<br />
Jedinica za jakost električnog polja je volt po metru (V /m).<br />
Silnice električnog polja su linije po kojima bi se, pod djelovanjem električne<br />
sile u polju, gibao pozitivni naboj. Silnice izlaze (izviru) iz pozitivnih naboja i usmjerene<br />
su prema negativnim nabojima u kojima završavaju (poniru). Gustoća silnica<br />
razmjerna je gustoći električnog polja.<br />
Obično se pod pojmom ’električno polje’ misli na ’jakost električnog polja’, tj.<br />
na iznos vektora. Budući da se sila u svakoj točki općenito mijenja (po smjeru i/ili<br />
iznosu), znači da se i polje mijenja. Odredi li se polje u svakoj točki prostora, može<br />
se izravno iz izraza (1.1) izračunati sila na bilo koji električni naboj koji se dovede u<br />
bilo koju točku tog prostora. Odavde se razabire praktična korist električnih polja,<br />
koja se zbog toga i grafički predočuju.<br />
Električno polje nije rezultat samo nabijenog tijela, nego i svakog naboja posebno.<br />
Budući da predstavlja polje sila, dakle vektorsko polje, može se predočiti linijama<br />
polja ili silnicama. Smjer električnog polja jednak je smjeru djelovanja električne<br />
sile na pozitivan naboj (slika 1.5), pa je u okolišu pozitivnog naboja suprotan<br />
od onog u okolišu negativnog naboja. To se vidi po vektoru sile na test naboj koji je<br />
doveden u njihov okoliš.<br />
a) električno polje pozitivnog naboja b) električno polje negativnog naboja<br />
SLIKA 1.5: Električno polje jednog naboja<br />
7
1. ELEKTROSTATIKA<br />
Električno polje dvaju naboja prikazuje slika 1.6. Tu je polje u svakoj točki vektorski<br />
zbroj polja iz slike 1.5. Tangenta u svakoj točki silnice pokazuje pravac djelovanja<br />
sile. I ovdje se ta sila zorno uočava kao vektor sile test naboja.<br />
Dugo vremena su polja bila shvaćana kao matematičke konstrukcije kojima su<br />
se pregledno mogle prikazati sile u okolišu električnih naboja. Realnim su smatrane<br />
samo sile i naboji. Zahvaljujući Maxwell-u i Faraday-u, polja dobivaju realna obilježja,<br />
ništa manje stvarna nego su vidljivi mehanički predmeti koji nas okružuju.<br />
Dokaze o opstojanju takvih polja iznijeli su proučavanjem elektromagnetskih valova.<br />
a) naboji suprotnog polariteta<br />
b) naboji istog polariteta<br />
SLIKA 1.6: Električno polje dvaju naboja<br />
Tu naboji nemaju više svoja primarna značenja, već polje. Naboji postaju samo<br />
mjesta u prostoru u kojima izviru ili poniru električne silnice. Za pozitivan naboj<br />
kaže se da je izvor, a za negativan da je ponor električnog polja (slika 1.6).<br />
Za električno polje veli se da je homogeno ako u svakoj točki ima jakost jednakog<br />
inteziteta i smjera. Sila na dovedeni pozitivni naboj +Q u homogeno električno<br />
polje (slika 1.7) je u smjeru polja, a sila na negativni naboj −Q suprotna je smjeru<br />
polja. Budući da i dovedeni električni naboj stvara vlastito električno polje, redovito<br />
se pretpostavlja da je iznos tog naboja malen, pa je njegovo djelovanje zanemarivo.<br />
Polje oko elektroda, vodljivih tijela izoliranih od okoline, počinje na pozitivnim i<br />
završava na negativnim nabojima smještenim na površini. Budući da se naboji kojim<br />
je elektroda nabijena (zbog istog polariteta) me ¯dusobno odbijaju, sav se naboj<br />
rasporedi po površini, pa u unutrašnjosti elektrode nema električnog polja. Svojstvo<br />
električnih polja da završavaju na površinama vodiča koristi se kod zaštite tijela<br />
od djelovanja električnih polja zastorima od metalnih limova ili metalnih mreža.<br />
To je načelo tzv. Faraday-evog kaveza.<br />
8<br />
1.2.1 POLARIZACIJA I INFLUENCIJA
Električno polje naboja<br />
+<br />
+<br />
F,+Q<br />
+ +<br />
+<br />
⃗E<br />
−<br />
−<br />
−<br />
F,−Q<br />
− −<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
SLIKA 1.7: Homogeno električno polje<br />
Kao neposredni rezultat djelovanja sile u električnom polju uočavaju se dvije važne<br />
pojave: polarizacija dielektrika u izolatoru i influencijski učinci u vodljivim tijelima.<br />
Statička električna polja pri mirujućim nabojima moguća su samo u električki<br />
nevodljivim sredstvima, tj. izolatorima. Izolatori se stoga nazivaju i dielektrici<br />
(grčki: dia - kroz), jer kroz njih djeluju električne sile.<br />
U njima normalno nema slobodnih naboja. Ako se dielektrici unesu u električno<br />
polje, u njima može doći samo do odre ¯denog razmještanja naboja u atomima<br />
i molekulama: pozitivni naboji se malo pomaknu u smjeru polja, negativni u<br />
suprotnom, stvarajući tako dipole. Ta je pojava nazvana polarizacija (slika 1.8).<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
⃗E<br />
−+ −+ −+ ... −+<br />
−+ −+ −+ ... −+<br />
......<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−+ −+ −+ ... −+<br />
−<br />
−<br />
SLIKA 1.8: Polarizacija dielektrika<br />
S druge pak strane, djelovanje polja na vodiče, koji imaju slobodne naboje, manifestirat<br />
će se u razdvajanju naboja suprotnog predznaka.<br />
Ta se pojava zove influencija (slika 1.9). Količina influenciranog naboja (razdvo-<br />
9
1. ELEKTROSTATIKA<br />
jenog) jednaka je količini naboja koje je influenciju izazvalo (slučaj a).<br />
+<br />
⃗E<br />
−<br />
+<br />
⃗E<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
a) pod 90 o +<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
α<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
b) pod 45 o<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
SLIKA 1.9: Električna influencija<br />
Može se pokazati da količina influenciranog naboja ovisi i o površini na koju<br />
je polje djelovalo. Metalne pločice postavljene u homogeno polje na slici 1.9 b)<br />
pod kutem od 45 0 , zatim razdvojene u polju, pa izvučene iz polja, primit će svaka<br />
otprilike 71% naboja u odnosu na pokus a).<br />
1.2.2 GUSTOĆA ELEKTRIČNOG TOKA<br />
Sve silnice koje izlaze iz nekog naboja Q, čine u prostoru oko naboja električni tok<br />
Φ. Radi lakšeg proučavanja pojava u polju pri različitim dielektricima uvodi se nova<br />
vektorska veličina D. Istog je smjera kao i jakost polja, a iznos joj je jednak plošnoj<br />
gustoći influenciranog naboja koji bi se na vodiču u toj točki električnog polja izdvojio,<br />
inducirao. Naziv tog vektora je gustoća električnog toka, dielektrični pomak,<br />
ili električna indukcija.<br />
Gustoća električnog toka D u nekoj točki prostora razmjerna je jakosti polja E:<br />
D = ε · E (1.2)<br />
Faktor razmjernosti ε, naziva se dielektričnost (ili dielektrična konstanta) i značajka<br />
je tvari u kojoj se električno polje nalazi. Dielektričnost vakuma je ε 0 = 8,85 ·<br />
10 −12 [As/V m].<br />
Dielektričnost tvari iskazuje se pomoću dielektričnosti vakuma i relativne dielektričnosti<br />
ε r :<br />
ε = ε 0 · ε r<br />
10
Električno polje naboja<br />
Relativna dielektričnost ε r je značajka pojedine tvari koja pokazuje koliko puta<br />
je veća gustoća električnog toka u toj tvari, nego što bi, uz istu jakost polja, bila u<br />
vakumu. Relativna dielektričnost ε r je bezdimenzijski broj i za većinu materijala<br />
manji je od 10 (3 za gumu, 6 za porculan, 2 − 4 za staklo), u nekim keramičkim<br />
masama do 100, a najveće vijednosti idu čak i do 10000.<br />
Poznavanjem naboja, geometrije tijela i materijala u prostoru električno je polje<br />
u svakoj točki potpuno odre ¯deno.<br />
Primjerice, uz naboj na jednoj ploči Q i površinu ploče A, za gustoću električnog<br />
toka D u homogenom polju, prema slici 1.7 vrijedi:<br />
D = Q A<br />
U slučaju kugle polumjera R 0 nabijene nabojem Q površinska gustoća naboja<br />
je iz razloga simetrije istog iznosa u svakoj točki površine:<br />
D =<br />
Q<br />
4R 2 0 π<br />
[ C<br />
m 2 ]<br />
(1.3)<br />
1.2.3 COULO<strong>MB</strong>OV ZAKON<br />
Sila F kojom električno polje jakosti E stvoreno od naboja Q djeluje na točkasti<br />
naboj Q ′ (u točki A, slika 1.10 a) jednaka je:<br />
1<br />
gdje je k =<br />
konstanta.<br />
4π · ε 0 · ε r<br />
F = Q ′ · E = Q ′ Q ·<br />
4πεr 2 = k · Q ·Q′<br />
r 2 [N ] (1.4)<br />
Izraz (1.4) zove se Coulombov zakon, a dobiven je povezivanjem izraza (1.1),<br />
(1.2) i (1.3).<br />
+Q<br />
r<br />
+Q’<br />
A<br />
⃗E,⃗F<br />
-Q 3<br />
⃗E 3<br />
+Q 2<br />
+Q 1<br />
⃗E 1<br />
⃗ E r ez<br />
A ⃗E 2<br />
⃗ E 1,2<br />
SLIKA 1.10: Sila na naboj<br />
11
1. ELEKTROSTATIKA<br />
Budući da je ε u nazivniku izraza (1.4), očevidno je da se sila izme ¯du dvaju<br />
naboja smanjuje, ako se izolator zamijeni s nekim veće dielektričnosti. Ovisnost<br />
električnih sila o prisutnosti materije jedan je od osnovnih utjecaja materije izolatora<br />
na prilike u električnom polju.<br />
Ako se u prostoru nalazi više točkastih naboja, kao na primjer +Q 1 , +Q 2 i −Q 3<br />
na slici 1.10, jakost polja u nekoj točki A odre ¯duje se vektorskom superpozicijom<br />
jakosti polja svakog pojedinog naboja. Sila na neki naboj Q A u točki A imala bi<br />
iznos i smjer prema (1.4) jednak F = Q A · E r ez .<br />
1.3 ELEKTRIČNI POTENCIJAL<br />
Odre ¯divanje jakosti polja u nekoj točki kao rezultat djelovanja više polja pojedinačnih<br />
naboja, na primjer naboja na elektrodama, zahtijeva duži račun zbog vektorske<br />
prirode polja. Očevidna je potreba za jednostavnijom, lako mjerljivom skalarnom<br />
veličinom, koja bi ipak pružala bitne informacije o prilikama u električnom<br />
polju. Tu potrebu, osobito u pogledu energetskih odnosa, zadovoljava električni<br />
potencijal.<br />
Kad se naboj na ¯de u električnom polju jakosti E, na njega djeluje sila F prema<br />
(1.1). Ako se naboj giba po putanji s, sila će na putu d s obavljati rad:<br />
dW = F · d s · cos(α) = Q · E · d s · cos(α) (1.5)<br />
gdje je α kut izme ¯du putanje naboja i smjera polja (silnice) u promatranoj točki.<br />
Ako se naboj giba po silnici, kut α = 0. Naboj se giba dok na njega djeluje sila, tj.<br />
dok se nalazi pod djelovanjem polja. Sila iščezava i naboj se prestaje gibati tek u ∞,<br />
gdje i polje poprima iznos 0. Ukupni rad kojeg naboj obavi gibajući se iz neke točke<br />
polja A do ∞ iznosi:<br />
W =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
Q · E · d s · cos(α)<br />
Rad koji naboj Q može obaviti krećući se do ∞ očevidno je važna značajka te<br />
točke. Ako se taj rad podijeli s nabojem Q, dobiveni omjer ne ovisi o naboju, nego<br />
predstavlja energetski potencijal neke točke polja i naziva se električni potencijal.<br />
ϕ = W ∫ ∞<br />
Q = E · d s · cos(α) = −<br />
A<br />
∫ A<br />
∞<br />
∫<br />
E · d s · cos(α) =<br />
Granice integracije ispuštaju se, jer A može biti bilo koja točka.<br />
Jedinica za potencijal je volt [V ], a važne značajke potencijala su:<br />
E · d s · cos(α) (1.6)<br />
• dvije su točke na istom potencijalu ako izraz (1.5) daje za svaku isti iznos.<br />
Takve točke zovu se ekvipotencijalne točke.<br />
• oblik putanje s od točke polja A do ∞ ne utječe na iznos (1.6) potencijala<br />
12
Električni potencijal<br />
• ako putanja ima istu početnu i završnu točku, onda je obavljeni rad jednak<br />
nuli, tj.<br />
∮<br />
E · d s = 0<br />
,<br />
• rad potreban za gibanje naboja po točkama istog potencijala jednak je nuli<br />
(α = 90 0 ) (slika 1.11),<br />
• linije (plohe) koje čine točke istog potencijala okomite su na silnice (smjer<br />
polja),<br />
• potencijalna energija koju ima naboj u nekoj točki polja iz (1.6) iznosi jednostavno<br />
W = Q · ϕ = 0<br />
• poznavajući potencijale bliskih točaka moguće je iz (1.6) izračunati jakost<br />
polja:<br />
dϕ<br />
E = −<br />
d s · cos(α) = − dϕ<br />
dl<br />
gdje je dl element silnica u smjeru polja<br />
• polje je uvijek usmjereno od točke višeg potencijala prema točki nižeg potencijala.<br />
Analogne prilike postoje i u mehanici. Tijelima na istoj razini pripisuje se jednaka<br />
"potencijalna energija". Ako se tijelo spusti pod utjecajem gravitacijske sile,<br />
na novoj razini pripisuje mu se energija niža za onoliko koliko se rada dobije kod<br />
tog spuštanja. Pomaci tijela po putu okomitom na smjer djelovanja sile ne mijenjaju<br />
razinu i ne daju rad.<br />
Slično se i naboju u električnom polju, a i samim točkama u kojima se naboj<br />
može naći, mogu pripisati različite potencijalne energije, odnosno energetske razine.<br />
Opravdano je početni nivo potencijalne energije uzeti u beskonačnosti. Tamo je<br />
jakost električnog polja E jednaka 0 i nema sile na naboj, pa niti promjene energije<br />
pri pomicanju. Ako se pozitivni naboj Q dovede iz beskonačnosti u neku točku<br />
električnog polja izvršeni rad jednak je elektrostatskoj potencijalnoj energiji u toj<br />
točki. Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake okomite na smjer polja.<br />
Ako bi pak pozitivan naboj pod utjecajem polja bio odveden u beskonačnost, na<br />
tom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad. Omjer izme ¯du rada potrebnog da se naboj<br />
Q iz bskonačnosti dovede u neku točku polja i naboja Q na kome je rad izvršen zove<br />
se električni potencijal te točke.<br />
ϕ = W Q = ∫ ∞<br />
A<br />
Q · E · cos(α) · d s = − −Q ∫ ∞<br />
A<br />
E · cos(α) · d s ∫<br />
= −<br />
Q<br />
E · cos(α) · d s (1.7)<br />
Potencijalna energija naboja Q u nekoj točki električnog polja lako se izražava<br />
pomoću potencijala ϕ te točke i iznosa naboja:<br />
W = Q · ϕ<br />
[J]<br />
13
1. ELEKTROSTATIKA<br />
Prema tomu, ako se kod pomaka dl u smjeru djelovanja polja od bilo koje točke<br />
potencijala ϕ do bilo koje točke potencijala ϕ 1 , potencijal promijeni za<br />
ϕ 1 − ϕ = −dϕ = E · dl (1.8)<br />
onda iz gornjih izraza (1.7) i (1.8) slijedi i osnovni izraz za jakost polja izražen s<br />
pomoću potencijala:<br />
E = − dϕ<br />
dl<br />
(1.9)<br />
Razlika potencijala dviju točaka u električnom polju zove se napon i označuje se<br />
s V (američka varijanta) ili s U (njemačka varijanta). Napon je jedan od najvažnijih<br />
pojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se mjeri.<br />
Treba uočiti da bi rad izme ¯du dviju točaka u električnom polju E bio isti bez<br />
obzira na krivulju s po kojoj bi se naboj gibao. Drugim riječima, to znači da rad<br />
ovisi samo o razlici potencijala, tj. naponu:<br />
∫ ∫<br />
E s · d s = E s · d s = ... = ϕ − ϕ 1 = V<br />
(s)<br />
(s 1 )<br />
U posebnom slučaju, kad su izvorišna i odredišna točka iste, tj. kad je krivulja<br />
puta zatvorena, krivuljni integral vektora E po bilo kakvoj zatvorenoj krivulji imat<br />
će vrijednost nula:<br />
∮<br />
E s · d s = 0 (1.10)<br />
Isto tako, ako se gibanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika potencijala<br />
izme ¯du dviju točaka jednaka nuli), ne troši se (niti dobiva) rad. Linije istog<br />
potencijala prema latinskom zovu se ekvipotencijalne linije,(slika 1.11).<br />
a) jedan naboj b) dva istovrsna naboja c) dva različita naboja<br />
SLIKA 1.11: Ekvipotencijalne linije<br />
S obzirom da je u realnosti prostiranje električnog polja trodimenzionalano,<br />
govori se o ekvipotencijalnim plohama. Budući da za gibanje naboja po ekvipoten-<br />
14
Električni kapacitet<br />
cijalnoj plohi nije potreban rad, vektori jakosti električnog polja (električne silnice)<br />
okomiti su na ekvipotencijalne plohe.<br />
Ako primjerice u električnom polju, zbog jednostavnosti homogenom, točka A<br />
ima potencijal ϕ A , a točka B potenijal ϕ B i neka je ϕ A > ϕ B , polje E bit će u smjeru<br />
A → B. Razlika potencijala iznosi<br />
ϕ A − ϕ B = −<br />
= −<br />
= −<br />
∫ A<br />
∞<br />
∫ B<br />
∞<br />
∫ A<br />
B<br />
E · dl +<br />
E · dl −<br />
E · dl<br />
= V AB [V ]<br />
∫ B<br />
∞<br />
∫ A<br />
B<br />
E · dl<br />
E · dl +<br />
∫ B<br />
∞<br />
E · dl<br />
Napon V AB je potencijal točke A u odnosu na referentnu točku B, a V B A je potencijal<br />
točke B u odnosu na referentnu točku A. Očevidno vrijedi:<br />
V B A = −V AB<br />
Pozitivni naboj Q koji prolazi razliku potencijala V AB krećući se od A prema B<br />
obavlja rad<br />
W = Q ·V AB (1.11)<br />
Ako se naboj kreće od točke B prema A, giba se nasuprot polju i rad se treba<br />
uložiti.<br />
Napon se kao razlika potencijala dostupnih točaka mnogo koristi i lako se mjeri<br />
voltmetrima.<br />
1.4 ELEKTRIČNI KAPACITET<br />
Priključe li se pločaste elektrode na električki izvor (npr. na bateriju ili akumulator),<br />
na njima će se pod utjecajem napona izvora V razdvojiti jednake količine<br />
naboja suprotnog predznaka Q, koji će u dielektriku me ¯du pločama stvoriti električno<br />
polje stalne jakosti E (slika 1.12).<br />
Ako se za referentnu točku izabere negativna elektroda s potencijalom 0, točka<br />
udaljena l od referentne imat će potencijal<br />
∫<br />
ϕ = −<br />
∫<br />
E · dl = − (−E) · dl = E · l (1.12)<br />
dakle, potencijal linearno raste. Za l = d razlika potencijala jednaka je priključenom<br />
naponu ϕ = V , te slijedi<br />
V = E · d i l i E = V d<br />
15
1. ELEKTROSTATIKA<br />
Izraz (1.12) je u suglasju s (1.9) i omogućuje lako nalaženje iznosa polja E.<br />
U homogenom polju homogena je i električna influencija D = εE s iznosom<br />
jednakim plošnoj gustoći naboja D = Q A<br />
. Naboj Q koji se izdvojio na elektrodama<br />
jednak je<br />
Q = A · D = A · εE = Aε · V<br />
d = εA ·V = C ·V<br />
d<br />
Faktor C sadrži značajke materijalaa i geometrije izme ¯du ploča i naziva se kapacitet.<br />
Kapacitet pokazuje sposobnost sustava elektroda da kod priključenog naboja<br />
pohranjuje naboj. Ako se djelovanjem napona u nekom sustavu pohranjuje razmjeran<br />
naboj, onda taj sustav posjeduje kapacitet<br />
C = Q V<br />
(1.13)<br />
Oznaka za kapacitet je C , a jedinica farad (F ).<br />
Vrijedi uočiti da se nabijene elektrode mogu i odvojiti od izvora, a da se ništa<br />
ne mijenja: ostaje naboj na elektrodama i napon me ¯du njima, te električno polje u<br />
dielektriku.<br />
Ovdje se može pokazati korist potencijala pri računanju energije (rada). Ako<br />
se (slika 1.12) pozitivni naboj Q pomiče iz točke M 1 u točku M 2 , utrošit će se rad<br />
jednak razlici potencijalnih energija<br />
W = Q · ϕ 1 −Q · ϕ 2 = Q(ϕ 1 − ϕ 2 ) = Q ·V 12<br />
Kako je ϕ 1 < ϕ 2 , tj. V 12 < 0 i rad je negativan, jer je utrošen na pomicanje naboja<br />
suprotno silama polja.<br />
1.5 KONDENZATOR<br />
Električni element koji e namijenjen ostvarivanju kapaciteta i kome je glavno svojstvo<br />
kapacitet naziva se kondenzator. Tvore ga pločaste elektrode izme ¯du kojih se<br />
nalazi dielektrik. Izvedbe kondenzatora razlikuju se s obzirom na oblik elektroda<br />
(pločasti, cilindrični, kuglasti...) i vrstu izolatora (zračni, keramički, elektrolitski,<br />
. . . ).<br />
Ako se nabijeni kondenzator priključi na izvor napona V , naboj iz izvora strujat<br />
će prema elektrodama dok se izme ¯du njih ne uspostavi isti napon. Taj proces<br />
naziva se nabijanje kondenzatora. Na svakoj elektrodi naći će se jednaka količina<br />
naboja, samo suprotnog predznaka. Izolator izme ¯du elektroda spriječava da se<br />
naboji ponište.<br />
Kapacitet se mjeri u faradima F [As/V], a realne izvedbe kondenzatora imaju<br />
kapacitete u iznosima µ F (10 −6 F), nF (10 −9 F) i pF (10 −12 F).<br />
S obzirom na stalnost kapaciteta razlikuju se nepromjenljivi i promjenljivi kondenzatori.<br />
Simboli kondenzatora prikazani su na slici (1.13).<br />
Osnovna obilježja kondenzatora su:<br />
16
Kondenzator<br />
−<br />
−<br />
d<br />
⃗E<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
Q<br />
−Q +<br />
+Q<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
V<br />
V 2<br />
V 1<br />
M 1<br />
M 2<br />
l<br />
SLIKA 1.12: Električno polje i potencijal kondenzatora<br />
a) stalnog kapaciteta b) promjenljivog kapaciteta c) elektrolitski<br />
SLIKA 1.13: Simboli kondenzatora<br />
• nazivni kapacitet C n u [F ],<br />
• tolerancija (dopušteno odstupanje od C n ) u postocima,<br />
• dopušteno temperaturno područje u 0 C ,<br />
• nazivni radni napon [V ] i napon proboja<br />
Vrijednosti kapaciteta standardizirane su u nizove.<br />
Napon proboja proizlazi iz najvećeg iznosa jakosti polja koji dielektrik može<br />
podnijeti. Kod previsokih iznosa polja dolazi u dielektriku do lavinske ionizacije<br />
popraćene lokalno ekstremnim temperaturama. Pojava traje kratke i zbog prom-<br />
17
1. ELEKTROSTATIKA<br />
jena u dielektriku redovito dovodi do neupotrebljivosti kondenzatora. Kvalitetniji<br />
dielektrici posjeduju više iznose probojnih polja.<br />
1.5.1 SPOJEVI KONDENZATORA<br />
Ako su u praksi potrebni kapaciteti čija vrijednost se ne nalazi u nizu raspoloživih,<br />
moguće je različitim spajanjem više kondenzatora postići željenu vrijednost kapaciteta.<br />
Spajanje dvaju kondenzatora moguće je na dva osnovna načina: serijski i<br />
paralelno. Složeni ili mješoviti spojevi dobiju se kombinacijom osnovnih načina s<br />
tri i više kondenzatora.<br />
Serijski spoj postiže se spajanjem kondenztora u niz, tako da je svaki kondenzator<br />
povezan sa susjednim s pomoću jedne svoje elektrode. Početna elektroda prvog<br />
i završna zadnjeg serijski spojenog kondenzatora nemaju susjedni konedenzator i<br />
predstavljaju izvode serijskog spoja.<br />
U paralelnom spoju jedna elektroda svakog kondenzatora spaja se u jednu zajedničku<br />
točku, a druga u drugu zajedničku točku. Zajedničke točke predstavljaju<br />
izvode paralelnog spoja.<br />
1.5.1.1 Serijski spoj<br />
Priključi li se serijski spoj triju kondenzatora na izvor napona V (slika 1.14), lijeva<br />
ploča kondenzatora C 1 i desna ploča kondenzatora C 3 nabit će se u kratkom vremenu<br />
nabojima istog iznosa i suprotnog predznaka.<br />
Influencijom će se i na desnoj ploči kondenzatora C 1 , kao i na lijevoj ploči kondenzatora<br />
C 3 , pojaviti jednak naboj, dakako suprotnog predznaka. Lijeva ploča<br />
kondenzatora C 2 osiromašena odlaskom negativnog naboja na desnu ploču C 1 postaje<br />
pozitivna, a njegova druga ploča s istog razloga negativna. Tako se nakon nabijanja<br />
(prijelaznog procesa strujanja naboja) na svakom kondenzatoru nalazi jednak<br />
iznos naboja, i to je ujedno ukupni naboj Q s serijskog spoja doveden iz izvora<br />
napona V :<br />
C 1−<br />
V 2<br />
+<br />
C 2− 3−<br />
+<br />
+C<br />
V 3<br />
V 1<br />
+ −<br />
V<br />
SLIKA 1.14: Serijski spoj triju kondenzatora<br />
Q 1 = Q 2 = Q 3 = Q s (1.14)<br />
18
Kondenzator<br />
Onaj ekvivalentni C s koji bi pod djelovanjem istog napona V s pohranio isti naboj<br />
Q s je:<br />
V = V s = Q s<br />
C s<br />
(1.15)<br />
očevidno je identičan u nabojskom pogledu serijskom spoju. C s se naziva kapacitet<br />
serijskog spoja kondenzatora.<br />
Ukupna razlika potencijala jednaka je zbroju pojedinačnih:<br />
Iz (1.14) mora i za svaki kondenzator vrijediti:<br />
V = V 1 = V 1 +V 2 +V 3 (1.16)<br />
V 1 = Q 1<br />
C 1<br />
V 2 = Q 2<br />
C 2<br />
V 3 = Q 3<br />
C 3<br />
što zajedno s (1.15) i (1.16) daje za spoj na slici (1.14):<br />
odnosno općenito:<br />
1<br />
= 1 + 1 + 1<br />
C s C 1 C 2 C 3<br />
1<br />
C s<br />
= ∑ n<br />
1<br />
C n<br />
(1.17)<br />
Kapacitet serijskog spoja dva kondenzatora prema (1.17) iznosi tako:<br />
a za n jednakih kondenzatora C 1 :<br />
C s = C 1 ·C 2<br />
C 1 +C 2<br />
C s = C 1<br />
n<br />
Kapacitet serijskog spoja C s manji je od najmanjeg kapaciteta serijsko spojenih<br />
kondenzatora. Serijski se spoj često primjenjuje tamo gdje je dopušteni napon<br />
jednog kondenzatora manji od napona izvora V s .<br />
1.5.1.2 Paralelni spoj<br />
Priključe li se dva ili više kondenzatora paralelno spojena na izvor napona V , kao<br />
na slici (1.15), na svakom će od njih postojati isti napon:<br />
V = V 1 = V 1 = V 2 = V 3 (1.18)<br />
a naboj na pojedinom kondenzatoru ovisit će od veličine njegova kapaciteta. Za<br />
pojedine kondenzatore vrijedi:<br />
Q 1 = C 1 ·V 1 Q 2 = C 2 ·V 2 Q 3 = C 3 ·V 3 (1.19)<br />
19
1. ELEKTROSTATIKA<br />
V<br />
+<br />
−<br />
+<br />
C 1<br />
+<br />
C 2<br />
+<br />
C 3<br />
SLIKA 1.15: Paralelni spoj kondenzatora<br />
Paralelni spoj kondenzatora bit će nabojski ekvivalentan kondenzatoru kapaciteta<br />
C p ako vrijedi:<br />
gdje je:<br />
Q p = C p ·V (1.20)<br />
Q p = Q 1 +Q 2 +Q 3<br />
Iz izraza (1.18), (1.19) i (1.20) slijedi da ekvivalentni kapacitet C p paralelno spojenih<br />
kondenzatora jednak:<br />
odnosno općenito:<br />
C p = C 1 +C 2 +C 3<br />
C p = ∑ n<br />
C n<br />
je:<br />
Za paralelni spoj n kondenzatora jednakog kapaciteta C, ekvivalentni Cp jednak<br />
C p = n ·C n<br />
Kondenzatori se spajaju paralelno kad je kapacitet pojedinačnog nedostatan.<br />
Kapacitet paralelnog spoja veći je od kapaciteta najvećeg paralelnog kondenzatora.<br />
1.5.1.3 Mješoviti spoj<br />
Paralelnim spajanjem povećava se ukupni kapacitet spoja, a serijskim smanjuje.<br />
Kod serijskog spoja ukupni priključeni napon dijeli se na pojedine kondenzatore, a<br />
kod paralelnog spoja je napon na svim kondenzatorima isti. Ponekad je potrebno<br />
realizirati kapacitet čija vrijednost nije u standardiziranom nizu. U tu svrhu koriste<br />
se različiti mješoviti spojevi, od kojih jedan prikazuje slika (1.16).<br />
Mogu se ostvariti različite kombinacije. Ukupni kapacitet mješovitog spoja izračunava<br />
se postupnim odre ¯divanjem kapaciteta pojedinih paralelnih i serijskih grupa.<br />
On može biti manji ili veći od kapaciteta pojedinog kondenzatora ili pojedine skupine<br />
kondenzatora, već prema tome da li prevladava utjecaj serijskih ili paralelnih skupina.<br />
20
Kondenzator<br />
C 1<br />
C 2 C 3<br />
C 4 C 5<br />
+−<br />
V<br />
C 23 = C 2 C 3<br />
C 2 +C 3<br />
C 1<br />
C 23<br />
C 45<br />
+ −<br />
V<br />
C 45 = C 4 C 5<br />
C 4 +C 5<br />
C 1<br />
C P<br />
C<br />
+−<br />
V<br />
+−<br />
V<br />
C p = C 23 +C 45<br />
C = C 1 C p<br />
C 1 +C p<br />
SLIKA 1.16: Mješoviti spoj kondenzatora<br />
1.5.2 ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA<br />
Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona V , kao na slici (1.17), kondenzatoru<br />
se dovodi naboj i time povećava razlika potencijala V me ¯du pločama. Nakon<br />
odre ¯denog kratkog vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C · V i poprimi<br />
napon izvora V .<br />
Tijekom nabijanja kondenzatora porast naboja za d q uzrokuje porast napona<br />
za d v, prema:<br />
d q = C · d v<br />
Malim slovima označuju se trenutne vrijednosti pojedinih veličina. Kod gibanja<br />
naboja d q, električno polje prema izrazu (1.11) obavlja rad:<br />
dW = v · d q = v ·C d v = C · v · d v<br />
21
1. ELEKTROSTATIKA<br />
i<br />
Q C<br />
+ −<br />
+ −<br />
V<br />
SLIKA 1.17: Nabijanje kondenzatora<br />
Ovaj je rad utrošen u stvaranje polja u dielektriku i povećanju energije kondenzatora.<br />
Kondenzator se nabija na napon V , te je pohranjena energija:<br />
∫ V<br />
dW = C v · d v = C ·V 2<br />
0<br />
2<br />
S pomoću izraza (1.13) slijede još dva ekvivalentna izraza za energiju nabijenog<br />
kondenzatora:<br />
W = C ·V 2<br />
2<br />
= Q ·V<br />
2<br />
= Q2<br />
2 ·C<br />
[J]<br />
(1.21)<br />
Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izme ¯du ploča (elektroda),<br />
kao energija električnog polja. Kod izbijanja kondenzatora, električno polje<br />
u izolatoru se razgra ¯duje. Ta se energija osloba ¯da i može se pretvoriti u neki drugi<br />
oblik energije: toplinsku, svjetlosnu ili opet u električnu. Pritom se nabijeni kondenzator<br />
može izbiti u dužem ili kraćem vremenu. Srednja snaga kod izbijanja,<br />
ako se odvija u kratkom vremenu, može biti velika. To se koristi kod elektronskih<br />
bljeskalica, za paljenje stroboskopskih cijevi i sl. Kod pražnjenja u zraku ili izolacijskoj<br />
tekućini mogu nastati iskre, pa se na tome zasniva i načelo elektroerozijske<br />
obrade metala.<br />
Da je energija u kondenzatoru lokalizirana u izolatoru kao energija električnog<br />
polja, lako se vidi povezujući izraze (1.21) i (1.11):<br />
W = C ·V 2 A<br />
= ε ·<br />
2 2 · d ·V 2 A<br />
= ε ·<br />
2 · d · E 2 · d 2 = ε · E 2<br />
· A · d = ε · E 2<br />
2<br />
2<br />
gdje je:<br />
V ol - volumen kondenzatora.<br />
·V ol<br />
1.5.3 PRIRODNI KONDENZATOR<br />
Oblaci i zemlja se mogu usporediti s velikim kondenzatorom. Proces isparavanja i<br />
kondenziranja vode u unutrašnjosti oblaka uzrokuje sudare izme ¯du kapljica vode i<br />
22
Appleti<br />
različitih čestica u oblacima (prašina, ioni, fotoni). U tim sudarima elektroni izbijeni<br />
iz čestica čine negativan naboj, koji se nakuplja u podnožju oblaka. Tako se<br />
podnožje oblaka može usporediti s negativnom pločom kondenzatora. Taj naboj<br />
uzrokuje nakupljanje pozitivnog naboja na zemlji, koja se zbog toga može usporediti<br />
s pozitivnom pločom kondenzatora.<br />
SLIKA 1.18: Prirodni kondenzator<br />
Zrak izme ¯du oblaka i zemlje postaje dielektrik prirodnog kondenzatora. Električno<br />
polje izme ¯du oblaka i zemlje može proizvesti ione i slobodne elektrone u<br />
zraku. Razlika potencijala izme ¯du oblaka i zemlje može postati tako velika i polje<br />
tako jako da se ostvari ionizacija u lavinskom obliku; kaže se da je došlo do proboja<br />
zračnog dielektrika. Ioni i slobodni elektroni ostvaruju svojim gibanjem struju izme-<br />
¯du oblaka i zemlje, što je popraćeno optičkom i akustičnom pojavom (munja, grom).<br />
Pritom se nastali prirodni kondenzator ispraznio (atmosfersko pražnjenje).<br />
1.6 APPLETI<br />
1.6.1 ELEKTRIČNO POLJE NABOJA<br />
Ovaj applet omogućuje promatranje električnog polja dobivenog različitim kombinacijama<br />
pozitivnih i negativnih naboja. Žuti krug predstavlja pozitivni naboj, a<br />
plavi krug negativni naboj. Bijele krivulje oko njih su ekvipotencijalne linije (linije<br />
istog potencijala). Zelene strelice pokazuju vektore električnog polja. Naboje<br />
možemo pomicati po ekranu pomoću miša.<br />
Slijedi opis padajućeg izbornika:<br />
SETUP - pruža mnogo mogućnosti, od kojih je ovog časa zanimljivo samo električno<br />
polje naboja (pozitivnih i negativnih):<br />
• SINGLE CHARGE - jedan pozitivan naboj<br />
23
1. ELEKTROSTATIKA<br />
SLIKA 1.19: Applet - električno polje naboja<br />
• DOUBLE CHARGE - dva pozitivna naboja<br />
• DIPOLE CHARGE - jedan pozitivan i jedan negativan naboj<br />
MOUSE - odre ¯duje što će se doga ¯dati lijevim click-om miša:<br />
• MOVE OBJECT - vuku se objekti po zaslonu<br />
• DELETE OBJECT - brišu se objekti po zaslonu<br />
• ADD + DRAGGABLE CHARGE - dodaju se pozitivni naboji na zaslon<br />
• ADD − DRAGGABLE CHARGE - dodaju se negativni naboji na zaslon<br />
• CLEAR SQUARE - brišemo pozadinu<br />
SHOW - odre ¯duje što će biti prikazano na ekranu:<br />
• SHOW ELECTRIC FIELD (E) - bit će prikazano električno polje pomoću strelica.<br />
Strelice idu od tamno zelenih do svijetlozelenih, zatim postaju bijele,<br />
kako polje postaje jače.<br />
• SHOW E LINES - bit će prikazane linije električnog polja. Boja linija ide od<br />
tamno zelene do svijetlo zelene, zatim postaje bijela kako polje postaje jače.<br />
Gustoća linija se skoro ne mijenja, pa ako nas zanima jačina polja trebamo<br />
gledati boju linija, a ne njihovu gustoću.<br />
• ACCURACY - odre ¯duje se točnost prikazivanja polja<br />
Lijevim click-om na gumb CLEAR ALL briše se cijeli zaslon.<br />
• STOP CALCULATION - zaustavlja se izračun polja<br />
24
Appleti<br />
• ENABLE CURRENT - prikazuje se tok struje<br />
• DRAW EQUIPOTENTIALS - prikazuju se ekvipotencijalne linije<br />
S pomoću klizača:<br />
• RESOLUTION - namješta se rezolucija<br />
• BRIGHTNESS - namješta se osvjetljenje<br />
• EQUIPOTENTIAL COUNT - namješta se broj ekvipotencijalnih linija bez obzira<br />
na osvjetljenje<br />
1.6.2 TEST NABOJ U ELEKTRIČNOM POLJU<br />
Ovaj applet na slici 1.20 omogućuje promatranje djelovanja električnog polja na<br />
test naboj. Električno polja može se stvoriti s jedinim ili dva naboja u različitim<br />
kombinacijama polariteta i iznosa. Mogu se prikazati ekvipotencijalne plohe, silnice<br />
i vektori polja. Click-om na restart/play započinje djelovanje polja, animacija,<br />
na test naboj. Naboji se tako ¯der mogu pomicati po ravnini.<br />
SLIKA 1.20: Test naboj u električnom polju<br />
1.6.3 ELEKTROSKOP<br />
Za model elektroskopa (1.22) sastavljenog od dvije kuglice jednakih masa m i naboja<br />
q, obješenih na klatno duljine L vrijede jednadžbe:<br />
25
1. ELEKTROSTATIKA<br />
L<br />
Θ<br />
T<br />
m, q<br />
mg<br />
SLIKA 1.21: Elektroskop - oznake<br />
T · cos(θ) = m · g<br />
T · si n(θ) = F e = k · q2<br />
r 2<br />
r = 2L · si n(θ)<br />
točno:<br />
t an(θ) · si n 2 (θ) =<br />
k · q2<br />
4m · g · L 2<br />
ili približno:<br />
θ 3 =<br />
k · q2<br />
4m · g · L 2<br />
Ovaj applet (slika 1.22) omogućuje animaciju elektroskopa za različite m, q i L.<br />
1.6.4 KAPACITET PLOČASTOG KONDENZATORA<br />
• DIELECTRIC (dielektrik) - bira se dielektrik izme ¯du ploča kondenzatora<br />
• PLATE AREA (površina ploča) - bira se površina ploča<br />
• DISTANCE (udaljenost) - bira se udaljenost izme ¯du ploča<br />
Za odabrane vrijednosti ε (dielektričnost), A (površina ploča) i d (udaljenost<br />
ploča), izračunava se vrijednost kapaciteta kondenzatora (engl. capacitance).<br />
Može se zaključiti sljedeće:<br />
• povećanjem površine ploča, povećava se i kapacitet,<br />
• ako se poveća udaljenost me ¯du pločama, kapacitet se smanjuje,<br />
26
Appleti<br />
SLIKA 1.22: Model elektroskopa<br />
SLIKA 1.23: Pločasti kondenzator<br />
• dielektrik veće dielektričnosti uzrokovat će i veći kapacitet.<br />
To znači da je kapacitet proporcionalan dielektričnosti i površini ploča, a obrnuto<br />
proporcionalan razmaku izme ¯du ploča.<br />
1.6.5 APPLET - PRIRODNI KONDENZATOR<br />
Skupljanjem (gomilanjem) pozitivnog naboja na zemlji i negativnog u oblacima<br />
(atmosferi) dolazi do prirodnog izbijanja naboja (munje), što se može vidjeti u prirodi<br />
ili na applet-u, slika 1.18.<br />
27
1. ELEKTROSTATIKA<br />
1.7 ZADACI<br />
1.1 Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da im<br />
se površine dodiruju. Pošto smo ih nabili nabojem 5·10 −9 C, one su se otklonile tako<br />
da me ¯dusobno zatvaraju kut 40 0 . Kolika je masa svake kuglice ako je udaljenost od<br />
mjesta gdje je nit obješena do središta kuglice 20 cm?<br />
Rješenje: 3,364 · 10 −6 kg<br />
1.2 Atom vodika ima jedan proton u jezgri i jedan elektron koji kruži oko jezgre.<br />
Uz pretpostavku daje staza elektrona kružna, na ¯dite:<br />
a) silu kojom me ¯dusobno djeluju proton i elektron ako je razmak izme ¯du<br />
tih dviju čestica 5,3 · 10 −11 m,<br />
b) linearnu brzinu elektrona.<br />
Rješenje: a) 8,202 · 10 −8 N<br />
b) 2,1844 · 10 6 m/s<br />
1.3 Koliki rad moramo utrošiti da u električnom polju premjestimo naboj 10 −9<br />
C iz jedne točke polja u drugu ako je razlika potencijala izme ¯du tih točaka 200 V?<br />
Rješenje: 2 · 10 −7 J<br />
1.4 Dva naboja Q 1 = 1,5 · 10 −9 C i Q 2 = 6 · 10 −8 C nalaze se u zraku i udaljeni su<br />
me ¯dusobno za r = 70 cm. Kolika je jakost električnog polja u sredini izme ¯du njih?<br />
Rješenje: 4298 N/C<br />
1.5 Dvije paralelne nabijene ploče svaka s površinom 1 m 2 nalaze se u vakumu<br />
udaljene 2 cm. Izme ¯du točaka A i B postoji razlika potencijala 5 V.<br />
a) koliki je napon izme ¯du ploča<br />
b) koliki je iznos plošne gustoće na pločama<br />
c) koliki je iznos vektora električne indukcije u točki A, a koliki u točki B i<br />
kojeg je smjera<br />
d) koliki je iznos energije po jedinici volumena me ¯du pločama<br />
e) ako naboj negativne ploče čine elektroni, a naboj pozitivne se sastoji u<br />
manjku elektrona, kolika je razlika u broju elektrona na pločama.<br />
Rješenje: a) 10 V b) 4,427 · 10 −9 C/m 2 c) D je neovisan o točki, iznosa D, smjer<br />
A → B d) 1,101 · 10 −6 J/m 3 e) 5,534 · 10 10 [elektrona]<br />
28
Zadaci<br />
1.6 U homogeno električno polje jakosti 4000 V/m uleti okomito na silnice<br />
polja elektron brzinom 5,7 · 10 3 km/s.<br />
a) Koliko će elektron skrenuti od svojega početnog smjera pošto u polju prije<br />
¯de put od 8 cm?<br />
b) Kakav oblik imastaza elektrona?<br />
Rješenje: a) 6.88 cm<br />
b) parabola (horizontalni hitac)<br />
1.7 Na istosmjerni izvor stalnog napona E serijski su spojeni kondenzatori C 1 =<br />
1 F i C 2 = 3 F.<br />
a) koliki je napon na C 1 ako je na C 2 napon V 2 = 50 V,<br />
b) koliki je napon izvora E,<br />
c) kolika je energija pohranjena u spoju,<br />
d) ako se paralelno kondenzatoru C 1 doda još jedan istog kapaciteta, koliki<br />
će napon biti na njemu,<br />
e) koliki naboj sadrži tada C 1 ?<br />
Rješenje: a)150 V b) 200 V c) 15 mJ d) 120 V e) 1,2 · 10 −4 C<br />
1.8 Kondenzator kapaciteta C 1 = 0,6 µF nabijemo na napon 200 V i zatim ga<br />
isključimo s izvora napona. Zatim paralelno kondenzatoru priključimo drugi kondenzator<br />
kapaciteta C 2 = 0,4 uF. Odredite toplinske gubitke koji nastaju (energiju<br />
iskre koja preskoči pri spajanju kondenzatora).<br />
Rješenje: 4,8 mJ<br />
29
2<br />
POGLAVLJE<br />
ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Električnom strujom naziva se usmjereno gibanje električnih naboja. Da bi gibanje<br />
bilo moguće, nužna su dva uvjeta: postojanje slobodnog (pokretnog) naboja i postojanje<br />
električnog polja.<br />
Slobodan naboj je za različite tvari različit: u metalima i njihovim legurama slobodni<br />
naboj čine elektroni, u elektrolitskim otopinama to su pozitivni i negativni<br />
ioni, kod poluvodiča elektroni i šupljine, a kod plinova elektroni i ioni. Zbog jednostavnosti<br />
prikaza i tumačenja promatrat će se u nastavku djelovanje električnog<br />
polja na metalne vodiče, a struji u elektrolitskim otopinama i plinovima posvetit će<br />
se posebna potpoglavlja.<br />
Električno polje je vektor, pa osim inteziteta (sile na naboj) ima i smjer. Ako se<br />
smjer električnog polja ne mijenja, ne mijenja se ni smjer gibanja naboja u vodiču,<br />
pa odatle naziv istosmjerna struja. Ako se uz to ni jakost polja ne mijenja, onda je<br />
struja stalna ili konstantna istosmjerna struja.<br />
U praktičnoj primjeni izvori konstantnog električnog polja najčešće su elektrokemijski<br />
izvori (ili galvanski elementi), tj. različite vrste baterija i akumulatora.<br />
Takvi izvori pretvaraju kemijsku energiju u električnu i pritom na svojim stezaljkama<br />
osiguravaju stalnu razliku potencijala. Svi slobodni elektroni unutar metalnog vodiča<br />
konstantnog presjeka spojenog na takav izvor bit će izloženi djelovanju sile<br />
iste jakosti i smjera, pa će kroz sve paralelne presjeke vodiča istodobno prolaziti<br />
isti broj elektrona. Brzina gibanja pojedinačnog naboja mnogo je manja od brzine<br />
širenja električnog efekta: iako žarulja u New Yorku spojena preko transatlanskog<br />
kabela zasvijetli gotovo istodobno s uključenjem izvora u Zagrebu, elektroni kroz<br />
to vrijeme pro ¯du neznatan put.<br />
Smjer istosmjerne struje jednak je smjeru električnog polja, dakle suprotan je<br />
smjeru gibanja elektrona.<br />
Gibanje naboja ima za posljedicu nekoliko različitih učinaka: zagrijavanje vodiča<br />
(Jouleov efekt), stvaranje magnetskog polja u njegovu okolišu, prijenos tvari u elektrolitičkim<br />
otopinama, te emitiranje zračenja pri vo ¯denju u plinu. Ponekad štetne,<br />
sve te pojave praktično se koriste u velikom broju trošila, ure ¯daja i procesa.<br />
2.1 ELEKTRIČNI NAPON 31
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Energija koju naboj ima u električnom polju naziva se električna potencijalna energija<br />
[W ]. Omjer te energije i veličine naboja u nekoj točki je stalan i predstavlja<br />
svojstvo pojedine točke električnog polja, koje se zove električni potencijal.<br />
Električni potencijal (prema izrazu (2.1)) označuje se sa ϕ, a jedinica mu je volt<br />
[V ].<br />
ϕ = W Q<br />
(2.1)<br />
Razlika potencijala izme ¯du dvije točke naziva se napon. Napon izme ¯du točaka<br />
B i A, V B A , je pozitivan ako je točka B na većem potencijalu od točke A, a negativan<br />
je ako je obrnuto. Za uspostavljanje električnog napona treba razdvojiti<br />
raznoimene naboje, a za to je potrebno uložiti rad, tj. utrošiti energiju.<br />
Pozitivni i negativni naboji razdvajaju se u izvorima električnog napona na račun<br />
neke uložene energije (kemijske, mehaničke, . . . ). Zbog toga se priključnice izvora<br />
označuju sa ’+’ i ’−’ i nazivaju se polovi naponskog izvora. Instrument za mjerenje<br />
napona zove se voltmetar.<br />
Postoje istosmjerni i izmjenični naponi. Istosmjerni napon stalnog je polariteta,<br />
a kod izmjeničnog, polaritet se izmjenično mijenja.<br />
2.2 ELEKTRIČNI IZVORI<br />
Električni izvor je ure ¯daj koji na svojim stezaljkama trajno održava razliku potencijala<br />
kako bi mogao davati struju priključenom trošilu.!<br />
Trošilo će u načelu obavljati neki koristan rad. Izvor ima zadatak pretvoriti<br />
jedan oblik energije (mehaničku, kemijsku, toplinsku i sl.) u električnu, dok trošilo<br />
radi obrnut postupak. S obzirom na vrstu i način pretvorbe jednog oblika energije<br />
u drugi, najvažniji tipovi električnih izvora su :<br />
Kemijski električni izvori: pretvaraju kemijsku energiju u električnu. Takav izvor<br />
se (nazvan galvanski element u čast L. Galvaniu) sastoji unačelu od dviju<br />
elektroda i elektrolita. Na elektrodama se pojavljuje napon kao posljedica<br />
kemijskog procesa u kojem sudjeluju tvari od kojih su elektrode napravljene<br />
i elektrolitska otopina u koju su uronjene. Razlikuju se primarni i sekundarni<br />
elementi. Za razliku od primarnih, u sekundarnima je kemijski proces reverzibilan,<br />
što znači da se električna energija dovedena iz drugog izvora može u<br />
izvoru koji je "ispražnjen" opet povratiti u kemijsku. Kemijski izvori su uvijek<br />
istosmjerni.<br />
Fotonaponski elementi: izvori koji djelovanjem vidljivog svjetla stvaraju električni<br />
napon. Na temelju ponašanja poluvodiča kao osnovni materijal koristi se<br />
silicij i galijev arsenid. Vrlo efikasnim smatraju se silicijevi fotonaponski elementi,<br />
koji danas pretvaraju do 20% dobivene svjetlosne energije u električnu.<br />
Napon takvog fotoelementa iznosi do 0,6 V, a maksimalna postiziva<br />
struja ovisi o materijalu, površini i tehnologiji. Solarni silicijevi elementi daju<br />
i do 180 W/m 2 ovisno o svjetlosnom zračenju.<br />
32
Električni izvori<br />
Termoelementi: izvori koji daju napon pretvorbom toplinske energije. U načelu<br />
se za tu svrhu uzmu dvije žice različitog materijala i na jednom kraju me ¯dusobno<br />
spoje. Ako se spojno mjesto izloži višoj temperaturi, onda se na hladnijim<br />
krajevima javlja istosmjerni napon. Veličina tog napona ovisi o razlici<br />
temperatura i vrsti upotrijebljenih materijala. Primjerice, kod para željezokonstantan<br />
dobiva se prosječno 52µV/ 0 C.<br />
Generatori: strojevi koji mehaničku energiju (rotacija rotora) magnetskim putem<br />
(indukcija) pretvaraju u (izmjenični) napon. Daleko najveći dio u svijetu korištene<br />
električne energije dobiva se danas putem generatora. Istosmjerni se<br />
napon lako dobiva iz izmjeničnog s pomoću ispravljača.<br />
Nuklearni izvori: atomska se energija složenim postupkom preko toplinske i mehaničke<br />
putem generatora (atomske centrale) pretvara u električnu energiju.<br />
Ekonomični i neopasni izvori s izravnim pretvaranjem nuklearne energije u<br />
električnu još se očekuju.<br />
Električni izvori dijele se na naponske i strujne. Zadatak naponskog izvora je da<br />
na svojim stezaljkama (vanjskim priključnicama) daje konstantan napon, a strujnog<br />
izvora da daje konstantnu struju, neovisno o opterećenju. Zbog uobičajene<br />
upotrebe ovdje se promatra samo ponašanje realnog naponskog izvora.<br />
Istosmjerni naponski i strujni izvori u električnim shemama obilježavaju se simbolom<br />
kao na slici (2.1. Elektroda na višem potencijalu označuje se oznakom ’+’.<br />
E +<br />
I<br />
+<br />
a) naponski<br />
b) strujni<br />
SLIKA 2.1: Istosmjerni izvori<br />
Označi li se u spojnoj električnoj shemi, prema slici (2.2), jedna točka s oznakom<br />
’a’, a druga s oznakom ’b’ (to mogu biti i elektrode, tzv. stezaljke izvora), onda je<br />
napon izme ¯du točaka ’a’ i ’b’ jednak razlici potencijala ’a’ i ’b’, pa se dogovorno<br />
označuje indeksima:<br />
V ab = V a −V b<br />
Ako je algebarski iznos V ab pozitivan, onda je točka koja odgovara prvom indeksu<br />
’a’ pozitivna, odnosno, nalazi se na višem potencijalu od točke drugog indeksa<br />
’b’. Za slučaj negativnog iznosa V točka ’b’ ima viši potencijal od točke ’a’.<br />
Dobro je uočiti da je V ab = −V ba .<br />
Uvedenim označivanjem potencijala odre ¯den je i smjer struje koja u strujnom<br />
krugu s takvim izvorom teče izvan izvora. Smjer struje izvan izvora poklapa se s<br />
33
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
a, +<br />
a<br />
V ab > 0<br />
I<br />
V ab < 0<br />
I<br />
b<br />
b, +<br />
SLIKA 2.2: Označavanje naponskih i strujnih veličina<br />
orijentacijom od točke višeg prema točki nižeg potencijala i u spojnim shemama<br />
najčešće se označuje strelicom (slika 2.2).<br />
2.3 ELEKTRIČNA STRUJA<br />
Me ¯du raznoimenim nabojima, razdvojenim na priključnicama izvora, vlada privlačna<br />
sila. Ako se priključnice izvora vodljivo spoje, izme ¯du naboja se uspostavi<br />
vodljivi put, kroz koji nastaje usmjereno gibanje naboja, koje se zove električna<br />
struja.<br />
Uzrok struje je električno polje, a smjer struje jednak je smjeru polja, dakle<br />
smjeru kojim bi se gibali pozitivni naboji. Glavna značajka električne struje je njena<br />
jakost. Jakost struje jednaka je omjeru količine naboja koja pro ¯de presjekom vodiča<br />
u nekom vremenu i tog vremena.<br />
i = dQ<br />
d t<br />
(2.2)<br />
gdje je dQ diferencijal (djelić) naboja, a d t diferencijal vremena. Mjerna jedinica<br />
jakosti struje je amper [A]. Za stalnu istosmjernu struju izraz (2.2) postaje:<br />
I = Q t<br />
Instrument za mjerenje jakosti struje zove se ampermetar. Kao i naponi, struje<br />
mogu biti istosmjerne i izmjenične. Istosmjerna struja teče stalno istim smjerom,<br />
dok se kod izmjenične struje smjer s vremenom mijenja.<br />
Gustoća struje definirana je kao kvocijent iznosa struje i površine okomitog presjeka<br />
kroz koji teče:<br />
J = I A<br />
[A/m 2 ]<br />
<strong>2.4</strong> ELEKTRIČNI OTPOR<br />
34
Električni otpor<br />
Pri toku struje kroz metalnu žicu (vodič) slobodni elektroni nailaze na atome, koji<br />
zbog topline titraju oko svojih ravnotežnih položaja u kristalnoj rešetki metala. Može<br />
se zamisliti da atomi tako priječe slobodni put elektronima, što se očituje kao opiranje<br />
tvari protoku električne struje.<br />
Općenito, naboji pri strujanju nailaze na otporna djelovanja, koja se nazivaju<br />
električni radni otpor (kraće električni otpor ili samo otpor). Oznaka za električni<br />
otpor je R, a jedinica Ω.<br />
Otpor vodiča razmjeran je duljini vodiča l , a obrnuto razmjeran njegovu presjeku<br />
A. Faktor razmjernosti različit je za pojedini materijal i naziva se otpornost (ili<br />
specifični otpor) i označava sa ϱ .<br />
Prema tomu, otpor vodiča računa se prema:<br />
R = ϱ l A<br />
(2.3)<br />
Recipročna vrijednost otpora zove se vodljivost i označuje s G:<br />
gdje je specifična vodljivost:<br />
G = 1 R = 1 ϱ · A<br />
l = γ · A<br />
l<br />
(<strong>2.4</strong>)<br />
γ = 1 ϱ<br />
[S/m]<br />
Specifični otpor ϱ ima jedinicu Ωm, a zbog čestog izražavanja presjeka vodiča u<br />
mm 2 i duljine u m koristi se i Ωmm 2 /m.<br />
Jedinica električnog otpora je om (Ω), a električne vodljivosti simens (S). Simbol<br />
i oznaka električnog otpora prikazuje slika (2.3).<br />
R<br />
SLIKA 2.3: Simbol i oznaka električnog otpora<br />
<strong>2.4</strong>.1 PROMJENA OTPORA S TEMPERATUROM<br />
Povećanje temperature metalnih vodiča izaziva veću amplitudu titranja kristalne<br />
rešetke. To uvjetuje povećanje broja sudara slobodnih elektrona, smanjenje njihove<br />
rezultantne brzine i smanjenje gustoće struje. Pad jakosti struje uz isti napon<br />
odgovara povećanju otpora . Dakle, otpor vodiča se kod većine materijala povećanjem<br />
temperature povećava:<br />
gdje su:<br />
R ϑ = R 20 + ∆R (2.5)<br />
35
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
R 20<br />
- vrijednost otpora kod sobne temperature (20 ◦ C),<br />
∆R - povećanje otpora s porastom temperature,<br />
R ϑ - vrijednost otpora na temperaturi ϑ.<br />
Prirast otpora ovisi o materijalu (temperaturni koeficijent otpora α [1/ 0 C], prirastu<br />
temperature (∆ϑ = ϑ − 20 ◦ C) i početnoj vrijednosti otpora R 20 :<br />
∆R = α · ∆ϑ · R 20 (2.6)<br />
Uvrsti li se izraz (2.6) u izraz (2.5) dobiva se linarni model:<br />
R ϑ = R 20 (1 + α · ∆ϑ) = ϱ · l<br />
A<br />
· [1 + α(ϑ − 20)] (2.7)<br />
Lako se iz ovog izraza vidi da se kod pozitivnog a smanjivanjem temerature kod<br />
istog materijala smanjuje i njegov otpor, tj. da je za temperature manje od 20 ◦ C<br />
otpor R manji od R 20 .<br />
TABLICA 2.1: Električna svojstva metalnih vodiča<br />
Naziv Oznaka ϱ[Ωmm 2 /m] γ[Sm/mm 2 ] α[1/ 0 C ]<br />
Aluminij Al 0,0270 37 0,0040<br />
Bakar (mek) Cu 0,0172 58 0,0039<br />
Bronca Bc 0,0278 35,8 0,004<br />
Kositar Sn 0,115 8,6 0,0042<br />
Mjed Mj 0,075 13,3 0,0016<br />
Nikal Ni 0,09 11 0,006<br />
Olovo Pb 0,208 4,8 0,0043<br />
Srebro Ag 0,0163 61,4 0,0041<br />
Željezo Fe 0,098 10,1 0,0065<br />
Živa Hg 0,958 1,04 0,0009<br />
Cekas 1,11 0,93 0,00019<br />
Kanthal 1,45 0,7 0,000032<br />
Manganin 0,48 2,14 0,000015<br />
Konstantan 0,49 2,1 0,00005<br />
Tablica 2.1 pokazuje metale i metalne legure s njihovim specifičnim otporom,<br />
specifičnom vodljivosti i temperaturnim koeficijentima. Treba napomenuti da je<br />
temperaturni koeficijent α konstantan samo za uski temperaturni opseg. Za točniju<br />
temperaturnu ovisnost linearni model nije dovoljan, pa se proširuje s kvadratičnim<br />
koeficijetnom β i početak izraza (2.7) postaje:<br />
R ϑ = R 20 (1 + α · ∆ϑ + β · [∆ϑ] 2 )<br />
Zanimljivo bi bilo izračunati kod koje temperature otpor vodiča postaje jednak<br />
nuli. Iz izraza (2.7) uz pretpostavku konstantnog α slijedi:<br />
36
Ohm-ov zakon<br />
pa je<br />
R ϑ = R 20 · [1 + α(ϑ − 20)] = 0<br />
( ) 1<br />
ϑ = −<br />
α − 20<br />
(2.8)<br />
Primjer: Za bakar (α = 0,00392) iz izraza (2.8) slijedi ϑ = −235,14 0 C . Me ¯dutim,<br />
mjerenja pokazuju da bezotporno stanje, tzv. supravodljivost, nastaje tek na temperaturama<br />
oko apsolutne nule (0K = −273,15 0 C ). To ujedno potvr ¯duje da ovisnost<br />
R = f (ϑ) nije linearna.<br />
Veza otpora i temperature može se prikazati dijagramom prema slici <strong>2.4</strong>. Pri<br />
stanovitoj kritičnoj temperaturi ϑ K (koja je, na primjer, za živu 4,12K , aluminij<br />
1,14K , cink 0,79K ) otpor naglo pada i približno je jednak nuli.<br />
R<br />
θ K<br />
θ<br />
SLIKA <strong>2.4</strong>: Ovisnost otpora i temperature<br />
Pojava supravodljivosti za buduću elektrotehniku je od izuzetnog značenja. Usmjereno<br />
gibanje naboja u takvoj okolini ne nailazi na prepreke, pa nema toplinskih<br />
gubitaka.<br />
2.5 OHM-OV ZAKON<br />
Jakost struje kroz vodič ovisi samo o naponu na vodiču i otporu vodiča: raste s porastom<br />
napona V, a opada s porastom otpora R. To je Ohm-ov zakon , koji napisan<br />
u obliku jednadžbe izgleda ovako:<br />
I = V R<br />
(2.9)<br />
Iz grafičkog prikaza tog zakona (slika 2.5) predočena linearnost izme ¯du napona,<br />
kao uzroka pojave, i njegove posljedice, električne struje znači da je otpor R konstantan.<br />
Električni otpor R predočuje kut α nacrtanog pravca i jednak je kotangensu<br />
tog kuta. Za veći otpor (pravac b) uz isti napon teče manja struja (I 2 < I 1 ). Otpor<br />
vodiča može se povećati izraz (2.3) smanjenjem presjeka, povećanjem duljine<br />
37
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
I<br />
a<br />
I 1<br />
I 2<br />
α<br />
b<br />
−V<br />
V<br />
−I<br />
SLIKA 2.5: I=f(V) u metalnom vodiču<br />
vodiča ili uporabom materijala većeg specifičnog otpora. Jednakovrijedan grafički<br />
prikaz dobiva se me ¯dusobnom zamjenom koordinatnih osi.<br />
Ohmov zakon nije ograničen materijalom. S obzirom na njihov specifični otpor,<br />
materijale dijelimo na vodiče (srebro, bakar, aluminij, željezo, konstantan i dr.),<br />
poluvodiče (germanij, silicij) i izolatore (staklo, teflon, kvarc i dr.).<br />
2.6 KIRCHHOFF-OVI ZAKONI<br />
Spajanjem dvaju ili više električnih elemenata dobiva se električna mreža. Teorijsko<br />
proučavanje električnih mreža temelji se na teoriji grafova, jer se svaka realna<br />
električna mreža može predočiti grafom. Osnovni elementi grafa su grane i čvorišta.<br />
Svaka grana ima dva čvorišta. Realni električni elementi koji se ovdje spominju (otpornik,<br />
kondenzator, zavojnica, izvor) imaju po dvije stezaljke ili priključnice. Realnim<br />
stezaljkama odgovaraju apstraktna čvorišta grafa, a realni elementi označuju<br />
se odgovarajućim simbolima u granama (teorijski: oznakom grane).<br />
Jednostavni strujni krug, npr. kondenzator spojen na naponski izvor, je tako ¯der<br />
električna mreža, i to s dvije grane i dva čvorišta. U jednoj grani je simbol naponskog<br />
izvora, a u drugoj, paralelno spojenoj, simbol kondenzatora.<br />
U električnim mrežama vrijede tri temeljna zakona. Prva dva su Kirchhoff -ovi<br />
zakoni i izriču strujno-naponske prilike u mreži. Pritom je bitno samo kako su<br />
elementi me ¯dusobno spojeni (topologija mreže), a nije bitan karakter (vrsta) elemenata.<br />
Treći zakon definira odnos struje i napona u pojedinoj grani, što dakako<br />
ovisi o vrsti realnog elementa koji predstavlja tu granu. Za otpor, predstavljen otpornikom,<br />
ovaj je odnos već izrečen u obliku Ohm-ova zakona.<br />
2.6.1 I. KIRCHHOFF-OV ZAKON<br />
38
Kirchhoff-ovi zakoni<br />
Budući da je električna mreža izoliran sustav, iz zakona o očuvanju materije može<br />
se zaključiti, a eksperimentalno potvrditi, da je zbroj jakosti struja koji u bilo koje<br />
čvorište ulaze jednak zbroju jakosti struja koje iz tog čvorišta izlaze. Struje koje<br />
ulaze u čvorište imaju suprotan predznak od onih koje izlaze iz čvorišta. Prvi Kirchhoff<br />
-ov zakon govori kako u električnoj mreži ne postoji čvorište u kojem bi se<br />
naboj gomilao, stvarao ili nestajao.<br />
Općenito vrijedi: zbroj struja koje ulaze u čvorište mreže jednak je zbroju struja<br />
koje iz te točke (čvorišta) izlaze.<br />
Prvi Kirchhoff -ov zakon izražen jednadžbom, za bilo koje čvorište mreže, dakle<br />
glasi:<br />
n∑<br />
I i = 0 (2.10)<br />
i=1<br />
gdje je n broj grana spojenih u promatrano čvorište.<br />
Ako postoji neko čvorište u koje ulazi struja I , a iz tog čvorišta izlaze struje I 1 , I 2<br />
i I 3 , onda vrijedi:<br />
I = I 1 + I 2 + I 3<br />
Prebace li sve struje na lijevu stranu gornje jednadžbe, dobiva se sljedeći izraz:<br />
I − I 1 − I 2 − I 3 = 0<br />
S lijeva strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) sve struje iz promatranog<br />
čvorišta. Pozitivan predznak pritom imaju struje koje ulaze u čvorište, a<br />
negativan predznak koje iz čvorišta izlaze.<br />
To vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo<br />
koje čvorište s bilo kojim brojem grana. Kad se algebarski zbroje pojedine struje I i<br />
u svim granama promatranog čvorišta (ulazne s pozitivnim, a izlazne s negativnim<br />
predznakom, ili obratno), rezultat mora biti nula.<br />
Ovo je lako objasniti imajući u vidu da električna struja pretstavlja protok naboja<br />
u vremenu. Koliko naboja u ¯de u neku točku, toliko mora iz nje i izaći.<br />
Primjer:<br />
Za čvor na slici 2.6. po I. Kirchhoff -ovom zakonu vrijedi:<br />
I 1 + I 2 + I 3 = I 4 + I 5<br />
I 1 + I 2 + I 3 − I 4 − I 5 = 0<br />
Ako je mjerenjem utvr ¯deno da su I 1 = I 2 = I 3 = 2A, a I 4 = 1A, onda se sigurno<br />
zna (nesigurni neka provjere :), da je I 5 = 5A.<br />
Ako je uz iste vrijednosti struja I 1 , I 2 i I 3 izmjereno I 4 = 10A, znači da je I 5 = 4A,<br />
ali ovog puta suprotnog smjera (struja I 5 utječe u čvorište).<br />
39
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
I 4<br />
I 2<br />
I 1<br />
I 3<br />
I 5<br />
SLIKA 2.6: I Kirchhoff-ov zakon<br />
2.6.2 II. KIRCHHOFF-OV ZAKON<br />
Drugi Kirchhoff -ov zakon odnosi se na naponske prilike u mreži. Put po mreži<br />
kojim se iz bilo kojeg čvorišta, idući po uvijek novim granama mreže, do ¯de u isto<br />
čvorište, zove se petlja.<br />
Drugi Kirchhoff -ov zakon izriče da je zbroj napona u bilo kojoj petlji u električnoj<br />
mreži jednak nuli. Budući da je napon u svakoj grani mreže razlika potencijala<br />
dvaju njezinih čvorišta, taj zakon primjenjuje poznati izraz (1.10) iz elektrostatike<br />
na prilike u električnoj mreži. Zakon se obično formulira u sljedećem obliku:<br />
gdje je:<br />
n∑ m∑<br />
E i = I i · R i (2.11)<br />
i=1 i=1<br />
n - broj električnih izvora u promatranoj petlji<br />
m - broj otpora u ostalim granama iste petlje<br />
Primjerice, ako se mreža sastoji od izvora napona E i dva serijski spojena otpora<br />
na kojima postoje naponi V 1 i V 2 , za obilazak petlje po II. Kirchhoff -ovom zakonu<br />
vrijedi:<br />
E = V 1 +V 2 (2.12)<br />
Prebace li se svi naponi na jednu stranu jednadžbe (2.12), dobiva se:<br />
E −V 1 −V 2 = 0<br />
S lijeve strane jednadžbe nalaze se (s različitim predznacima) svi naponi iz promatrane<br />
petlje, što potvr ¯duje opći oblik da je algebarski zbroj napona uzduž (zatvorene)<br />
petlje električnog kruga jednak nuli, tj.<br />
40
Električni otpor u strujnom krugu<br />
n∑ m∑<br />
E i − V i = 0<br />
i=1<br />
i=1<br />
Ovo vrijedi za bilo kako složeni električni krug u kojem možemo odabrati bilo<br />
koju zatvorenu putanju (petlju) i obići je zbrajajući algebarski pojedine napone V i<br />
svakog električnog elementa na tom putu. Rezultat uvijek mora biti nula.<br />
To je lako objasniti gleda li se napon kao razlika potencijala: iz koje god točke<br />
kruga započeli obilazak, na kraju se vratimo na istu točku, a to znači na isti potencijal.<br />
2.7 ELEKTRIČNI OTPOR U STRUJNOM KRUGU<br />
U bilo kojem dijelu strujnog kruga dva otpornika mogu biti me ¯dusobno spojena<br />
na dva načina: serijski ili paralelno. Kombinacijom tih načina dobivaju se različite<br />
složene sheme. Pri rješavanju odnosa u strujnim krugovima česta je potreba da se<br />
spoj s više otpora zamijeni ili izrazi ekvivalentnim otporom. Sljedeći primjeri, osim<br />
rješavanja tog zadatka, pokazuju i tehniku rješavanja električnih mreža, koristeći<br />
Ohm-ov zakon i Kirchhoff -ove zakone.<br />
2.7.1 SERIJSKI SPOJ OTPORNIKA<br />
Neka se spoje serijski dva otpornika u strujni krug, kao što prikazuje slika 2.7. Po I<br />
Kirchhoff-ovom zakonu vrijedi da je struja kroz oba otpora ista (slika 2.7 a):<br />
I + R 1<br />
1 I2<br />
R 2 +<br />
I<br />
+ R S<br />
I<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
V<br />
a) dva serijski spojena otpornika<br />
V<br />
b) ekvivalentan spoj<br />
SLIKA 2.7: Serijski spoj otpornika<br />
a po II. Kirchhoff-ovom i Ohm-ovom zakonu da je:<br />
I 1 = I 2 = I (2.13)<br />
V = V 1 +V 2 = I 1 · R 1 + I 2 · R 2 (2.14)<br />
41
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Za ekvivalentni strujni krug (slika 2.7 b) u kojem pod djelovanjem istog napona<br />
teče ista struja I kao u a) slučaju, vrijedi:<br />
Povežu li se sva tri izraza: (2.13), (2.14) i (2.15) dobiva se:<br />
V = I · R s (2.15)<br />
odnosno:<br />
I · R s = I · R 1 + I · R 2<br />
R s = R 1 + R 2<br />
Za više serijski spojenih otpora, razmatranje bi bilo analogno, pa se može zaključiti:<br />
ekvivalentni otpor serijski spojenih otpora jednak je njihovu zbroju:<br />
R s =<br />
n∑<br />
R i (2.16)<br />
i=1<br />
Kroz serijski spojene elemente teče ista struja. Zbog toga se intrument za mjerenje<br />
struje - ampermetar, uvijek spaja serijski. Općenito, za serijski spoj raznih otpora iz<br />
uvjeta jednakosti struja dobiva se omjer napona:<br />
I = I 1 = I 2<br />
iz čega proizlazi:<br />
V 1<br />
R 1<br />
= V 2<br />
R 2<br />
V 1<br />
V 2<br />
= R 1<br />
R 2<br />
(2.17)<br />
Na serijskom spoju otpora napon se dijeli u omjeru veličina otpora.<br />
Ako se mijenjaju serijski spojeni otpori u strujnom krugu, zbroj napona na otporima<br />
ne mijenja se i bit će uvijek jednak ukupnom naponu izvora.<br />
Kod serijskog spoja n jednakih otpora, ukupni otpor je n puta veći od pojedinog<br />
otpora. Priključak serijskog spoja otpora na izvor opterećuje izvor isto kao jedan<br />
otpor jednak ukupnom otporu tog serijskog spoja.<br />
2.7.2 PARALELNI SPOJ OTPORA<br />
Paralelno spojeni otpori imaju isti napon, jer imaju zajednička čvorišta.<br />
Ako su u strujnom krugu paralelno spojeni otpori R 1 i R 2 , naponi na njima V 1 i<br />
V 2 , bit će jednaki<br />
V 1 = V 2<br />
42
Električni otpor u strujnom krugu<br />
I<br />
I<br />
V +<br />
I 1 I 2<br />
+<br />
+<br />
R 1 R 2<br />
V<br />
+<br />
+<br />
R p<br />
a) dva paralelno spojena otpornika<br />
b) ekvivalentan spoj<br />
SLIKA 2.8: Paralelni spoj otpornika<br />
Nakon primjene Ohm-ovog zakona (2.9)slijedi:<br />
I 1 · R 1 = I 2 · R 2<br />
Iz ovoga proizlazi sljedeći odnos struja kroz paralelno spojene otpore:<br />
I 1<br />
I 2<br />
= R 2<br />
R 1<br />
= G 1<br />
G 2<br />
gdje su G 1 i G 2 vodljivosti.<br />
Struja se dijeli na paralelne grane električnog kruga tako da se jakosti struja u<br />
granama odnose obrnuto razmjerno otporima grana, a upravo razmjerno vodljivostima<br />
grana.<br />
Ovo znači da u paralelnom spoju otpora jača struja teče kroz manji otpor.<br />
U krajnjem slučaju, ako bi u jednoj paralelnoj grani otpor bio jednak nuli, onda<br />
bi sva struja paralelnog spoja tekla kroz kratki spoj.<br />
Ako se strujni krug sastoji od izvora napona V i dva paralelno spojena otpora R 1<br />
i R 2 , vrijedi Kirchhoff-ova jednadžba za struje (2.10):<br />
I = I 1 + I 2<br />
Dijeljenjem obje strane jednadžbe s naponom izvora dobiva se:<br />
I 1<br />
V = I 1<br />
V + I 2<br />
V<br />
Omjer struje i napona jednak je recipročnoj vrijednosti otpora ili električnoj<br />
vodljivosti G.<br />
Na desnoj strani jednadžbe su vodljivosti pojedinih paralelnih grana, dok lijeva<br />
strana (omjer struje i napona izvora) pretstavlja ukupnu vodljivost kruga, što se<br />
može napisati kao:<br />
G p = G 1 +G 2<br />
Ukupna vodljivost paralelnog spoja otpora jednaka je zbroju vodljivosti paralelnih<br />
grana.<br />
43
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Za više paralelno spojenih otpora razmatranje bi bilo analogno, pa se može zaključiti:<br />
ekvivalentna vodljivost (vidi (<strong>2.4</strong>)) paralelno spojenih otpornika jednaka je<br />
zbroju njihovih pojedinačnih vodljivosti:<br />
odnosno<br />
n∑<br />
G p = G i (2.18)<br />
i=1<br />
ili:<br />
i=1<br />
1 n∑ 1<br />
=<br />
R p<br />
i=1<br />
R i<br />
(<br />
1 n∑ 1<br />
= + 1 + ... + 1 )<br />
R p R 1 R 2 R n<br />
(2.19)<br />
Na temelju ove jednadžbe (2.19), otpor dvaju paralelno spojenih otpora R 1 i R 2<br />
iznosi:<br />
R p = R 1 · R 2<br />
R 1 + R 2<br />
Iz jednadžbe za vodljivost (2.18) vidi se da povećanjem broja paralelno spojenih<br />
otpora raste ukupna vodljivost, tj. smanjuje se ukupni otpor spoja R p .<br />
Otpor paralelnog spoja n jednakih otpora R, n puta je manji od pojedinog otpora,<br />
tj.<br />
R p = R n<br />
2.8 ELEKTRIČNA STRUJA U IONIZIRANOM PLINU<br />
Dok je u metalnim vodičima struja moguća pod djelovanjem polja zahvaljujući<br />
utvr ¯denom postojanju slobodnih elektrona, unaprijed nije sigurno ima li u plinovima<br />
slobodnih naboja. Na prvi pogled nisu jasne okolnosti pod kojima struja nastaje<br />
i održava se u plinu. Tako ¯der je problematično da li struja može teći u vakuumu<br />
(plinu pri tlaku 0) ili ne. Intenzivno eksperimentiranje strujom u plinu, već od sredine<br />
19. stoljeća, dovelo je do spoznaja koje se mogu sažeti u nekoliko točaka:<br />
1. Struja u plinu znači naboj u gibanju, za što su neophodni dakako naboji i<br />
polje. Polje se održava vanjskim izvorom priključenim na granice prostora s<br />
plinom (elektrode).<br />
2. Naboji mogu biti različitog porijekla. U prvom slučaju jedna od elektroda<br />
(katoda) žarenjem isijava elektrone u plin (katodne zrake), a druga elektroda<br />
(anoda) ih skuplja, a u drugom slučaju (hladna katoda), naboj se stvara ionizacijom<br />
atoma plina pomoću stranog zračenja i/ili djelovanjem polja.<br />
44
Električna struja u ioniziranom plinu<br />
3. Na jakost struje u plinu, osim jakosti električnog polja utječe i vrsta korištenog<br />
plina (helij, neon, argon, živine i litijeve pare itd.) i njegov tlak. Plin vodi<br />
struju kod normalnog tlaka (oko 100kPa), pri razrije ¯denom plinu (izme ¯du<br />
100 i 1000Pa), te uz tehnički vakuum (izme ¯du 1 i 100mPa). Idealni vakuum<br />
predstavlja savršen izolator, koji to prestaje biti kada se u njega ubace naboji,<br />
na primjer, elektroni.<br />
4. Povećanjem napona izme ¯du elektroda raste brzina slobodnih naboja u plinu.<br />
Oni sudarom s drugim česticama plina generiraju nove slobodne ione i taj se<br />
učinak može razviti poput lavine.<br />
Na slici 2.9 prikazana je (V, I ) karakteristika zraka za normalni tlak uz razmak<br />
elektroda od 1 mm. Pojedina su područja:<br />
0 - A : vrijedi približno Ohmov zakon - povećanjem napona struja raste, premda<br />
izuzetno male jakosti. Me ¯du 27 · 10 18 molekula po cm 3 zraka postoji samo<br />
100 do 1000 ioniziranih.<br />
A - B : područje zasićenja. Kinetička energija slobodnih elektrona tako je mala da<br />
se poništava prilikom sudara s molekulama plina, pa porastom napona ne<br />
raste jakost struje. Proteže se na naponima od nekoliko volta do nekoliko<br />
desetaka volta.<br />
B - C : udarna ionizacija. Povećanjem napona elektroni dobivaju dovoljnu energiju<br />
za ionizaciju plina, uslijed čega se broj nosilaca naboja (ioni i elektroni) povećava.<br />
U točki C pojavljuje se tinjavi izboj - pojava svjetla izme ¯du katode i<br />
anode.<br />
C - D : daljnjim povećanjem napona gustoća struje na katodi raste, svjetlosni učinak<br />
se pojačava i u točki D dolazi do lučnog izboja. Za lučni izboj karakteristične<br />
su velike gustoće struje (od 10 2 do 10 4 A/cm 2 ) i smanjenje napona na<br />
samo 15 do 55 V.<br />
I [A]<br />
10 −3 1<br />
D<br />
10 −6<br />
10 −9<br />
10 −12<br />
10 −15<br />
A<br />
B<br />
C<br />
10 10 2 10 3<br />
V [V ]<br />
SLIKA 2.9: (V,I) karakteristika električne struje u zraku<br />
45
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Premda pojedini slučaji struje u plinu imaju štetan karakter, kao na primjer<br />
iskrenje na kontaktima ili pojava korone na dalekovodima visokog napona, ipak<br />
električna struja u plinu ima brojne primjene: različite svijetleće cijevi (područje<br />
C-D), zavarivanje (iznad točke D), elektrofilter, elektrostatsko lakiranje i slično.<br />
2.9 ELEKTROKEMIJSKE POJAVE<br />
Kad se u vodi ili nekom otapalu otope molekule soli, kiseline ili lužine, dolazi do dijeljenja<br />
neutralnih molekula na pozitivno i negativno nabijene ione. Atomi vodika i<br />
metala predaju svoje valentne elektrone ostalom dijelu molekule koja tako postaje<br />
negativni ion. Urone li se elektrode u takvu otopinu (elektrolit) i na njih priključi<br />
istosmjerni napon dolazi do elektrolize. Pozitivna elektroda (anoda) privlači negativne<br />
ione, dok negativna elektroda (katoda) privlači pozitivne ione. Gibanje iona -<br />
molekula i/ili dijelova molekule znači prijenos tvari prema elektrodama, na kojima<br />
su moguće i naknadne, sekundarne kemijske reakcije. Kao primjer može se promotriti<br />
proces elektrolize u vodenoj otopini srebrnog nitrata Ag NO 3 . Kao anoda<br />
koristi se srebrena pločica, a kao katoda neki metalni predmet, na primjer od bakra<br />
(slika 2.10).<br />
+A<br />
-K<br />
Ag<br />
Ag<br />
Cu<br />
AgNO 3<br />
−<br />
V<br />
SLIKA 2.10: Proces elektrolize<br />
Ioni srebra koji su predali svoje valentne elektrone kiselinskom ostatku NO 3<br />
postaju pozitivni, pa se talože na bakrenoj katodi, dok se NO 3 lako spaja sa srebrom<br />
anode, dajući opet AgNO 3 u otopinu. Koncentracija soli AgNO 3 ostaje tako<br />
46
Elektrokemijske pojave<br />
u otopini nepromijenjena i konačni rezultat je da se srebro s ploče, posredstvom<br />
elektrolita i električne struje, prenosi na katodu. To je jedan od brojnih postupaka<br />
u galvanostegiji, gdje se na predmete zbog zaštite od korozije ili zbog estetskih razloga<br />
električnim putem nanosi sloj metala.<br />
2.9.1 FARADAY-EVI ZAKONI ELEKTROLIZE<br />
Proučavajući elektrolitičke reakcije Faraday je uočio i formulirao dva zakona. Prvi<br />
izriče da je količina izlučenih čestica materije na elektrodama ovisna o vrsti tvari<br />
koja se izlučuje i količini protjecanog elektriciteta koji u elektrolizi djeluje. Ako se<br />
sa m označi masa izlučene tvari, a s Q količina elektriciteta, onda vrijedi:<br />
m = a ·Q (2.20)<br />
Faktor razmjernosti a naziva se elektrokemijski ekvivalent i razlikuje se za pojedine<br />
tvari. To znači da će za istu količinu elektriciteta količina izlučene tvari za<br />
različite tvari biti različita. Kako je Q = I · t, isti se izraz može napisati i kao:<br />
m = a · I · t<br />
Količina izlučene tvari na elektrodama razmjerna je ukupnoj količini elektriciteta<br />
koja je prošla kroz elektrolit. Pritom svaki ion u elektrolitu u sebi nosi odre ¯denu<br />
količinu naboja (koja je za različite tvari različita, a za iste ista).<br />
Drugi Faraday-ev zakon opisuje elektrokemijski ekvivalent elementa s obzirom<br />
na njegovu atomsku strukturu, te me ¯dusobne odnose elektrokemijskih ekvivalenata<br />
različitih kemijskih elemenata.<br />
Ako se s A označi atomska masa, a s v valencija, onda za dva kemijska elementa<br />
vrijedi:<br />
a 1 : a 2 = A 1<br />
v 1<br />
: A 2<br />
v 2<br />
(2.21)<br />
To znači da se elektrokemijski ekvivalenti dvaju elemenata odnose kao njihove<br />
ekvivalentne mase (omjer atomske mase i valencije). Drugim riječima: ioni elemenata<br />
kojih je valencija dva, tri, četiri, ... puta veća u odnosu na vodik, prenose<br />
dvostruku, trostruku, četverostruku, ... količinu naboja.<br />
Iz izraza (2.21) slijedi još jedan zanimljiv rezultat:<br />
A 1<br />
= A 2<br />
= ... =<br />
A<br />
a 1 · v 1 a 2 · v 2 a · v = Q F (2.22)<br />
gdje je Q F = 96,48910 6 As/kg (Faraday-eva konstanta).<br />
Elektrokemijski ekvivalent nije neka empirijska konstanta razmjernosti, kako bi<br />
se to iz izraza (2.20) moglo pomisliti, nego egzaktna veličina koja se za svaki element<br />
može unaprijed izračunati (a = A/Q F · v). Tako se povezujući oba izraza (I.<br />
47
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Faraday-ev zakon (2.20) i II. Faraday-ev zakon (2.22)) za masu izlučene tvari kao<br />
rezultat elektrolize dobije:<br />
m = A v · 1<br />
1<br />
· I · t =<br />
Q F 96,48910 6 · A ·Q [kg ]<br />
v<br />
i time elektrolitički odnosi postaju potpuno odre ¯deni.<br />
2.9.2 PRIMARNI ELEMENTI<br />
Do sada je bilo opisano ponašanje elektrolita pod djelovanjem električnog napona<br />
priključenog na elektrode uronjene u elektrolit. Druga zanimljiva pojava vezana je<br />
uz elektrolitsku polarizaciju koja se doga ¯da kad se u elektrolit urone dvije elektrode<br />
različitog kemijskog sastava. Izme ¯du takvih dviju elektroda, bez vanjskog djelovanja,<br />
pojavit će se napon. Iznos napona osim o kemijskom sastavu elektroda ovisi<br />
tako ¯der i o elektrolitu. Tako su dobiveni prvi električni izvori, nazvani galvanski<br />
elementi. Na istim načelima, uz stanovita poboljšanja u veličini napona i vijeku<br />
trajanja, ti elementi nalaze svoju široku primjenu gotovo već dva stoljeća. (Prvi element<br />
konstruirao je A.Volta 1800. godine.) Ne ulazeći u kemijske promjene koje se<br />
pritom doga ¯daju vrijedno je napomenuti da se izmjenom kemijskog sastava (kako<br />
elektroda tako i elektrolita) mijenja i potencijal pojedine elektrode. To se doga ¯da<br />
čak i kad je elektroda uronjena u otopinu vlastitih iona. Budući da se ne može<br />
mjeriti apsolutni potencijal jedne elektrode, već samo razlika potencijala izme ¯du<br />
dviju elektroda, dogovorno je utvr ¯deno da se svi potencijali uspore ¯duju s potencijalom<br />
vodikove elektrode. Drugim riječima, dogovorno je proglašen njezin potencijal<br />
jednakim nuli. Kemijski elementi poredani po veličini njihova potencijala<br />
prema vodikovoj elektrodi tvore elektrokemijski naponski niz. U tablici 2.11 navedeni<br />
su potencijali nekih elemenata s obzirom na vodikovu elektrodu u elektrolitskoj<br />
otopini vodikovih iona.<br />
Spoji li se galvanski element kao izvor napona u zatvoreni strujni krug, on će,<br />
ovisno o trošilu i naponu izme ¯du svojih elektroda, davati električnu struju.<br />
TABLICA 2.2: Elektrokemijski naponski niz<br />
Elektroda<br />
Li -3,02<br />
K -2,92<br />
Ca -2,87<br />
Mn -1,05<br />
Potencijal [V]<br />
48
Elektrokemijske pojave<br />
Elektroda<br />
Zn -0,76<br />
Pb -0,13<br />
Cu +0,52<br />
Ag +0,79<br />
Potencijal [V]<br />
Ona će dakako, osim u vanjskom krugu, teći i u samom izvoru: od katode preko<br />
elektrolita do anode. Pritom će se zbog elektrokemijskih procesa neutralizacije<br />
iona elektrolita s molekulama elektroda doga ¯dati promjene u kemijskom sastavu<br />
elektroda, što će smanjivati prvotni napon izme ¯du njh.<br />
Na primjer, ako se na anodi Voltina elementa Cu/H 2 SO 4 /Zn (prva elektroda-<br />
/elektrolit/druga elektroda) vodik razvija brže nego što se može ukloniti, dobiva se<br />
novi element H 2 /H 2 SO 4 /Zn kojem je napon izme ¯du elektroda puno manji nego prvotnom.<br />
To smanjenje napona zbog promjena na elektrodama zove se polarizacija.<br />
Taj nepoželjni efekt nastojali su mnogi znanstvenici u prošlom stoljeću (Daniel,<br />
Meidinger, Bunsen, Leclanché) poništiti korištenjem takozvanih depolarizatora. Depolarizatori<br />
služe da bi se najčešće oksidacijom uklonio vodik s pozitivnog pola. U<br />
Leclanché-ovom elementu (slika 2.11) iz kojeg se razvio najveći broj današnjih baterija<br />
(slika 2.12) kao depolarizator služi MnO 2 kojim je obložena ugljikova anoda.<br />
+ -<br />
C<br />
Zn<br />
MnO 2<br />
NH 4 Cl<br />
SLIKA 2.11: Leclanché-ov element<br />
Takve baterije koriste cinkovu limenu posudu kao negativnu elektrodu, dok je<br />
ugljeni štapić pozitivna elektroda obložena praškastim manganovim superoksidom.<br />
Napon jednog elementa je 1,5 V, a serijskim spojem takvih elemenata dobivene su<br />
plosnate baterije od 4,5 V, četvrtaste od 9 V i sl.<br />
Spomenuta izvedba pripada baterijama s tekućim elektrolitom koji je pogodnim<br />
dodacima zgusnut (suhe baterije). U klasu suhih baterija ubrajaju se i živine<br />
baterije (održavaju razmjerno konstantan napon do potpunog iskorištenja), srebrno-kloridne<br />
(nizak napon i dug vijek trajanja), vanadijeve i druge.<br />
Danas su sve više u uporabi živine (živin oksid - cink), srebrene (srebrni oksid -<br />
cink), magnezijeve i litijeve baterije, koje se odlikuju stabilnim naponom (od 1,3V<br />
49
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Zn<br />
-<br />
+<br />
C<br />
MnO 2<br />
SLIKA 2.12: Element baterije<br />
do 3V), širokim područjem radnih temperatura, mehaničkom čvrstoćom i dugim<br />
vijekom skladištenja.<br />
Postoje i baterije s krutim elektrolitom (malih dimenzija i naponom vrlo duga<br />
vijeka, čak do 20 godina), zatim baterije koje se aktiviraju tekućinom (nalivne baterije),<br />
plinom ili grijanjem (termalne baterije). Sve one uglavnom služe za posebne<br />
(vojne) svrhe.<br />
Regeneracija, obnova primarnih elemenata nije moguća, pa su istrošene baterije<br />
neupotrebljive. Zahtjev za regeneracijom ostvaruje se kod akumulatora.<br />
2.9.3 SEKUNDARNI ELEMENTI<br />
Osnovno svojstvo akumulatora kao električnog izvora u kojem se kemijska energija<br />
pretvara u električnu je njegova mogućnost regeneracije. S obzirom da se radi o<br />
reverzibilnom kemijskom procesu, regeneracija se ostvaruje strujom iz stranog električnog<br />
izvora koji se na elektrode akumulatora priključuje tako da struja u elektrolitu<br />
teče u suprotnom smjeru od onog kojim je tekla kad je akumulator davao<br />
struju priključenom trošilu ostvarujući suprotni kemijski proces. Prvi olovni akumulator<br />
načinio je G. Plant’e 1859. godine. Iako danas postoji više različitih vrsta<br />
akumulatora, osnovna načela izvedbe i rada u nastavku se prikazuju na olovnom<br />
akumulatoru. Napon jedne ćelije olovnog akumulatora je oko 2 V, i obično se 6 ili<br />
12 ćelija povezuje serijski, pa daju ukupni napon od 12 V, odnosno 24 V.<br />
Jednu ćeliju akumulatora prikazuje slika 2.13. Elektrolit je razrije ¯dena sumporna<br />
kiselina, anoda je olovni superoksid, a katoda čisto olovo. Priključi li se trošilo na<br />
stezaljke napunjenog akumulatora, poteći će struja, koja će u elektrolitu potaknuti<br />
sljedeću kemijsku reakciju:<br />
PbO + 2 + Pb− + 2H 2 SO 4 → PbSO + 4 + PbSO− 4 + 2H 2O (2.23)<br />
50
Elektrokemijske pojave<br />
trošilo<br />
I<br />
+,A<br />
−,K<br />
PbO 2<br />
Pb<br />
H 2 SO 4<br />
SLIKA 2.13: Olovni akumulator<br />
To znači da se obje elektrode postupno kemijski izjednačuju i pretvaraju u olovni<br />
sulfat, što će dakako smanjivati njihovu me ¯dusobnu razliku potencijala. Iz kemijske<br />
reakcije (2.23) vidljivo je još nešto: u elektrolitu se kiselina sve više razrje ¯duje<br />
vodom, pa nam uz naponske promjene i gustoća kiseline može poslužiti kao kazalo<br />
da li je akumulator pun ili prazan. Posebno izgra ¯deni areometri za mjerenje gustoće<br />
kiseline koriste se za takva mjerenja. Kad napon akumulatora padne ispod<br />
90% nazivnog, potrebno je akumulator "napuniti". Izvor istosmjerne struje za regeneraciju<br />
akumulatora treba sada spojiti tako da na anodu do ¯de ’+’ pol, a na katodu<br />
’-’ pol izvora. To će rezultirati odvijanjem suprotnog kemijskog procesa:<br />
PbSO + 4 + PbSO− 4 + 2H 2O → PbO + 2 + Pb− + 2H 2 SO 4 (2.24)<br />
Za vrijeme punjenja, dakle, elektrode i elektrolit vraćaju se po svom kemijskom<br />
sastavu u prvotno stanje, koje osigurava i prvotne naponske prilike (usporedite<br />
kemijske jednadžbe (2.23) i (2.24)).<br />
Postoje još tri pojma koja je korisno poznavati u radu s akumulatorima: kapacitet<br />
akumulatora, dobrota i korisnost.<br />
Kapacitet akumulatora je umnožak struje i vremena u kojem tu struju akumulator<br />
može davati. Označen je na izvedenim akumulatorima za nazivnu struju,<br />
što znači da se akumulator kapaciteta 90 Ah i nazivne struje 10 A, može njome<br />
opteretiti 9 sati.<br />
Kapacitet ipak nije konstanta akumulatora nego ovisi o uvjetima eksploatacije.<br />
Za struje manje od nazivnih, za intermitirajući pogon, te pri višim temperaturama<br />
kapacitet je veći. Za gornji primjer: strujom od 15 A isti akumulator ne bismo mogli<br />
opteretiti 6 sati, nego manje. Omjer<br />
ζ = Ah pr ažn j en j a<br />
Ah pun j en j a<br />
51
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
zove se dobrota akumulatora. Punjenje će trebati više ampersati nego što se<br />
dobiva pri pražnjenju, pa je kod olovnih akumulatora dobrota oko 0,95.<br />
S obzirom da se prilikom punjenja privodi viši napon na stezaljke akumulatora<br />
nego što je napon pražnjenja, energetski omjer koji se zove korisnost<br />
η = ζ · Vpr ažn j en j a<br />
V pun j en j a<br />
= W h pr ažn j en j a<br />
W h pun j en j a<br />
bit će manji od ζ, te za olovne akumulatore iznosi oko 0,80. Osim olovnih postoje<br />
i ’alkalijski’ željezno-nikaljni (otporni na električne i mehaničke udarce), nikaljno-kadmijevi<br />
(najveća brzina punjenja), srebreno-cinčani (mala težina i volumen)<br />
i drugi akumulatori.<br />
2.10 JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG<br />
Električni strujni krug nastaje povezivanjem električnog izvora s trošilom. Vodljiva<br />
veza izvora s trošilom u elektroenergetici se naziva vod. Trošilo će primljenu energiju<br />
izvora u načelu pretvarati u koristan rad. Jednostavni strujni krug sastoji se<br />
dakle od tri osnovna dijela: električnog izvora, trošila i dvožičnog voda (slika 2.14).<br />
U električnom se izvoru djelovanjem neelektrične sile razdvajaju raznoimeni<br />
naboji i povećava njihova potencijalna energija. To rezultira naponom na polovima<br />
(stezaljkama) izvora čiji se najveći mogući iznos zove elektromotorna sila izvora i<br />
najčešće se označuje s E ili E MS.<br />
I<br />
I<br />
A<br />
+<br />
E + a) bez instrumenata<br />
R T<br />
+<br />
R T<br />
V<br />
E + b) s mjernim instrumentima<br />
SLIKA 2.14: Jednostavni strujni krug<br />
Ako se negativnoj stezaljki izvora pridjeli referentni potencijal iznosa 0, najveći<br />
potencijal bit će na pozitivnom (’+’) polu, a onda će u smjeru struje potencijal opadati.<br />
Iz elektrostatike je poznato (poglavlje 1, izraz 1.11) da gibanje naboja u prostoru<br />
u kojem se električni potencijal tog naboja mijenja predstavlja rad (W = Q·V ). Neka<br />
se pretpostavi da su svi otpori strujnog kruga izraženi otporom R. Dakako, na njemu<br />
vrijedi Ohm-ov zakon: struja će uz isti napon biti manja ako je otpor veći, i obratno.<br />
52
Jednostavni strujni krug<br />
Općenito, u prirodi postoje dva temeljna zakona: zakon o očuvanju energije i<br />
zakon o očuvanju materije (moglo bi se u načelu govoriti o istom zakonu). Prvi<br />
zakon izriče da je energija u izoliranom sustavu (nezavisnom od svoje okolice) uvijek<br />
konstantna. To znači da je u idealnom slučaju energija koju daje izvor jednaka<br />
energiji koja se dobiva u trošilu:<br />
E ·Q i = V T ·Q T (2.25)<br />
Prema drugom zakonu količina je naboja (materije) u izoliranom sustavu tako ¯der<br />
konstantna, a to znači da je količina naboja koja iz izvora ode jednaka količini<br />
naboja koja kroz trošilo pro ¯de i natrag se u izvor vrati (Q i = Q T ). Budući da na<br />
otporu trošila vrijedi Ohm-ov zakon (V T = I · R T ), gornji izraz (2.25) sad izgleda:<br />
E = I · R T<br />
Iz dobivenog rezultata može se zaključiti sljedeće:<br />
1. Napon V T na R (tzv. pad napona na trošilu), jednak je elektromotornoj sili<br />
izvora:<br />
E = V T<br />
2. Struja koja u jednostavnom strujnom krugu teče ovisi o naponu izvora i otporu<br />
kruga:<br />
I = E R T<br />
(2.26)<br />
3. Jakost struje jednaka je u svakom dijelu jednostavnog strujnog kruga, samo<br />
je smjer s obzirom na stezaljke u izvoru od ’-’ prema ’+’ polu, a kroz vanjski<br />
strujni krug od ’+’ pola prema ’-’ polu.<br />
Svi navedeni zaključci mogu se provjeriti spajanjem mjernih instrumenata (slika<br />
2.14 b).<br />
Jakost struje mjeri se ampermetrom. Ampermetar se u strujni krug priključuje<br />
serijski (prekidom vodiča i spajanjem instrumenta na prekinute priključke). Da bi<br />
što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što manji.<br />
Iznos napona mjeri se voltmetrom. Voltmetar mjeri razliku potencijala izme ¯du<br />
dviju točaka. Zato se priključuje paralelno izvoru ili trošilu čiji napon želimo mjeriti.<br />
Da bi što manje utjecao na prilike u krugu, zahtijeva se da mu je otpor što<br />
veći. Veliki otpor instrumenta paralelno spojenog manjem otporu trošila ne mijenja<br />
značajno ukupni otpor paralelnog spoja.<br />
U realnom strujnom krugu pojave su nešto složenije u odnosu na opisani. Prije<br />
svega električni izvor ima svoje gubitke, pa dovedena energija (mehanička, kemijska,<br />
magnetska i sl.) nije jednaka odvedenoj električnoj energiji. Nadalje, realni<br />
izvor nema na svojim stezaljkama isti napon kad mu se priključi trošilo i kad je<br />
neopterećen. Realno ponašanje takva izvora može se prikazati dijagramom kao na<br />
slici 2.15.<br />
Da bi se takvo ponašanje uzelo u obzir, pretpostavlja se da u svakom realnom<br />
izvoru postoji stanoviti otpor R u na kojem dolazi do pada napona, pa se u slučaju<br />
53
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
V<br />
SLIKA 2.15: Vanjska karakteristika realnog izvora napona<br />
I<br />
priključenog trošila na vanjskim stezaljkama izvora pojavljuje napon jednak elektromotornoj<br />
sili umanjenoj za taj pad napona. Zato se u realnom izvoru uz simbol<br />
elektromotorne sile E crta i otpor R u , koji se zove unutarnji ili nutarnji otpor izvora<br />
(slika 2.16).<br />
Nadalje, vod ima svoj električni otpor (označuje se najčešće s R v ), koji treba<br />
uzeti u obzir, ako nije zanemariv prema otporu trošila.<br />
U novim okolnostima struja I više neće zadovoljavati izraz (2.26) već će biti<br />
manja (zbog dodanih otpora izvora i otpora voda). Zbog manje struje je i napon<br />
na trošilu V T tako ¯der manji od napona izvora E.<br />
I<br />
1<br />
2 R V<br />
R u<br />
E + +<br />
+<br />
R T<br />
1<br />
2 R V<br />
SLIKA 2.16: Realni jednostavni strujni krug<br />
Dakako, u praksi se ni trošilu dovedena električna energija ne pretvara potpuno<br />
u koristan rad. Sve tehničke tvorevine rade s nekim stupnjem iskorištenja, tj. korisni,<br />
dobiveni učinak manji je od uložene energije.<br />
2.11 SLOŽENI STRUJNI KRUG<br />
Zadatak rješavanja električne mreže je potpuno odrediti struje u svim granama (po<br />
veličini i smjeru) i razlike potencijala izme ¯du čvorova. Svaki električni element (otpornik,<br />
kondenzator, izvor,. . . ) predočen je u električkoj mreži s vlastitom granom<br />
54
Složeni strujni krug<br />
i to obično sa svojim simbolom, oznakom i iznosom fizikalne veličine koju predstavlja.<br />
Za rješavanje električne mreže razvijene su brojne metode (metoda napona<br />
čvorova, metoda konturnih struja, metoda superpozicije, različite transfiguracije i<br />
slično), te izvedeni brojni teoremi koji pomažu u analizi električnih mreža (Thevenen-ov<br />
teorem, Norton-ov teorem, Millman-ov teorem i drugi). Treba naglasiti da<br />
sve metode i teoremi samo doprinose brzini i lakoći rješavanja naponsko-strujnih<br />
prilika u mreži, a da se temelji rješavanja uvijek nalaze u Ohm-ovu zakonu i Kirchhoff<br />
-ovim zakonima.<br />
U postupku rješvanja mreže treba najprije utvrditi što je zadano, a koje se nepoznanice<br />
traže, te postaviti primjenom I. i II. Kirchhoff-ova zakona, toliko nezavisnih<br />
jednadžbi koliko ima nepoznanica. Primjena I. Kirchoff-ova zakona na čvorove,<br />
razmjerno je jednostavna, ako se na početku definiraju smjerovi struja po granama.<br />
U primjeni II. Kirchhoff-ova zakona treba biti pozorniji jer treba posebno voditi<br />
računa o strujama koje teku kroz iste grane koje pripadajaju različitim petljama.<br />
Tako na primjer za izdvojenu petlju u nekoj složenoj mreži, kao na slici 2.17 da<br />
bi se primijenio II. Kirchhoff-ov zakon potrebno je:<br />
1. Definirati smjer obilaženja petlje. Po volji možemo odabrati u smjeru (kao na<br />
slici, crtkano) ili suprotno od smjera kazaljke na satu.<br />
2. Uočiti smjer djelovanja izvora elektromotorne sile. Smjer je onaj koji se dobiva<br />
kretanjem kroz izvor od negativne prema pozitivnoj stezaljki.<br />
3. Po volji odabrati smjerove struja u pojedinoj grani.<br />
4. Primijeniti II. Kirchhoff-ov zakon.<br />
I 3<br />
R 3<br />
E 2<br />
E 1<br />
I 2<br />
I 1<br />
R 2<br />
R 1<br />
SLIKA 2.17: Primjer primjene II. Kirchhoff-ova zakona u petlji električne mreže<br />
Ako se smjer djelovanja E MS podudara sa smjerom obilaženja, onda se ta E MS<br />
u jednadžbi uzima s pozitivnim predznakom. Ako se smjer struje I kroz otpornik<br />
R podudara sa smjerom obilaženja, onda se pad napona I · R uzima s pozitivnim<br />
predznakom. Za shemu na slici 2.17 vrijedi:<br />
E 1 − E 2 = I 1 R 1 − I 2 R 2 + I 3 R 3<br />
55
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Na koncu treba osmisliti predznake dobivenih rezultata. Naime, ukoliko je numerički<br />
rezultat za pojedinu struju negativan, znači da joj je stvaran smjer suprotan<br />
pretpostavljenom.<br />
Primjer:<br />
Na slici 2.18 prikazan je jedan složen strujni krug:<br />
I<br />
R 1<br />
I 1<br />
R 2<br />
I 2<br />
R 3<br />
+<br />
E 1<br />
+<br />
E 2<br />
+<br />
SLIKA 2.18: Složeni strujni krug<br />
Zadane su vrijednosti otpora R 1 , R 2 i R, te naponskih izvora E 1 i E 2 .<br />
izračunati struje po granama.<br />
Treba<br />
Prvo se ucrtaju i označe struje po granama (proizvoljnog smjera). Zatim treba<br />
postaviti 3 nezavisne jednadžbe (3 nepoznanice) koristeći Kirchhoff-ove zakone.<br />
Iako postoje 2 čvora, I. Kirchhoff-ov zakon primjenjuje se na samo jednom, jer je za<br />
drugi čvor jednadžba ista. Od 3 moguće petlje za primjenu II. Kirchhoff-ova zakona<br />
jedna je zavisna, dakle treba postaviit jednadžbe za dvije petlje.<br />
Vodeći računa o prethodnom naputku mogu se napisati tri jednadžbe:<br />
I 1 + I 2 − I = 0<br />
I 1 R 1 − I 2 R 2 = E 1 − E 2<br />
I 2 R 2 + I R = E 2<br />
Jednadžbe su napisane tako da se uoči mogućnost matričnog rješavanja. Te<br />
jednadžbe za poznate vrijednosti otpora R, R 1 i R 2 , te naponskih izvora E 1 i E 2 ,<br />
daju rješenja za struje I , I 1 i I 2 .<br />
2.12 REALNI NAPONSKI IZVORI<br />
Kako je već opisano, realni naponski izvor predočuje se (slika 2.19) serijskim spojem<br />
idealnog naponskog izvora elektromotorne sile E i nutarnjeg otpora Ru.<br />
56
Realni naponski izvori<br />
IZVOR<br />
R u<br />
R T<br />
E<br />
SLIKA 2.19: Realni naponski izvor<br />
Priključi li se na izvor trošilo otpora R T , strujnim krugom će poteći struja I čija<br />
jakost iznosi (uz zanemarenje otpora voda, tj. uz pretpostavku R v = 0):<br />
I =<br />
E<br />
R u + R T<br />
(2.27)<br />
(Ekvivalentna pretpostavka bila bi da su svi otpori izvan izvora obuhvaćeni s R T ).<br />
Odavde je:<br />
E = I · R u + I · R T (2.28)<br />
Napon V (V = I · R T ) koji se može mjeriti na stezaljkama izvora je prema gornjem<br />
izrazu (2.28) jednak:<br />
V = E − I · R u (2.29)<br />
dakle, napon idealnog izvora elektromotorne sile E umanjen za pad napona na<br />
nutarnjem otporu.<br />
2.12.1 VANJSKA KARAKTERISTIKA REALNIH IZVORA<br />
Izraz (2.29) vrlo je značajan i u obliku V = f (I ). Njegov grafički prikaz već je dan<br />
slikom 2.15, a ovdje se daje detaljnija analiza. Prva važna točka vanjske karakteristike<br />
nalazi se pri I = 0, dakle otvorenom strujnom krugu (što odgovaa slučaju<br />
R T = ∞. Iz (2.29) slijedi da je napon na stezaljkama V jednak E. Takvo stanje kruga<br />
i izvora naziva se prazni hod. U grafičkom prikazu točka praznog hoda je na osi V<br />
u vrijednosti E.<br />
Druga ekstremna točka vanjske karakteristike nastupa za R T = 0 i naziva se<br />
kratki spoj izvora, jer se postiže kad se stezaljke izvora spoje bez otpora.<br />
Ako je R T = 0, iz izraza (2.27) slijedi<br />
I = E R u<br />
= I k<br />
57
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
koja se naziva struja kratkog spoja.<br />
Struja I k redovito je mnogo puta veća od nazivne, pa je kratki spoj izvora nepoželjan<br />
za izvor i vodiče, jer ih može oštetiti. U grafičkom prikazu točka kratkog spoja<br />
je na sjecištu karakteristike s osi I u vrijednosti I k . Grafički prikaz vanjske karakteristike<br />
daje slika 2.15. Vrijedi uočiti kako je izraz (2.29) linearna funkcija V = f (I ):<br />
V = −R u I + E<br />
što grafički predstavlja pravac s odsječkom E na ordinati i nagibom −R u .<br />
Karakteristika jasno predočuje da povećanjem struje iz izvora I opada napon<br />
stezaljki V . Primjerice, za radnu točku P pri struji I , napon na stezaljkama izvora<br />
je V , a pad napona na nutarnjem otporu I · R u . Zbroj napona V i pada napona na<br />
nutarnjem otporu uvijek mora biti jednako E. Strmina vanjske karakteristike ovisi<br />
o kutu β čiji je tangens jednak R u .<br />
V [V ]<br />
R ′ T > R T<br />
V [V ]<br />
R T<br />
R T<br />
E<br />
V ′<br />
V<br />
β<br />
P ′<br />
P<br />
E<br />
E<br />
V<br />
V ′<br />
β<br />
β ′<br />
P ′<br />
P<br />
E<br />
α<br />
I ′<br />
I<br />
I K<br />
I [A]<br />
α<br />
I ′<br />
I<br />
I ′ K<br />
I K<br />
I [A]<br />
SLIKA 2.20: Vanjska karakteristika realnih izvora<br />
U isti koordinatni sustav V − I može se ucrtati i V − I karakteristika otpora R T<br />
(V = R T · I ). Otpor R T jednak je tangensu kuta α. Radna točka P (par vrijednosti<br />
V, I ) bit će u sjecištu karakteristika. Lako se prate promjene: kad raste R T povećava<br />
se kut α, kad raste R u povećava se kut β. Kad se mijenja E, vanjska karakteristika<br />
pomiče se paralelno samoj sebi.<br />
U idealnom naponskom izvoru, u kojem bi bio R u = 0 vanjska karakteristika bio<br />
bi horizontalan pravac u točki E (β = 0), pa bi napon V bio stalan za sva opterećenja<br />
(V = E), a struja kratkog spoja bila bi I k = ∞.<br />
2.12.2 SPOJEVI ELEKTRIČNIH IZVORA<br />
U slučaju da jedan izvor nema dovoljan napon ili ne može dati dovoljnu struju<br />
trošilu, koriste se različiti spojevi više električnih izvora.<br />
58
Realni naponski izvori<br />
Serijski spoj dvaju ili više izvora ostvaruje se nizom izvora tako da stezaljku<br />
jednog izvora spojimo sa stezaljkom drugog, pa slobodne stezaljke krajnjih izvora<br />
postaju stezaljke novodobivenog izvora. Kod ovakvog spajanja imamo dakako dvije<br />
mogućnosti, što je za dva izvora prikazano na slici 2.21.<br />
A +E 1<br />
R u1<br />
+E 2<br />
R u2 B<br />
A +E 1<br />
R u1<br />
E 2<br />
+<br />
R u2<br />
B<br />
SLIKA 2.21: Serijski spoj realnih električnih izvora<br />
U prvom slučaju (slika 2.21 a) ukupni napon E AB = E 1 + E 2 , a u drugom, tzv.<br />
protuspoju (slika 2.21 b) E AB = E 1 − E 2 . Spoji li se novi izvor u strujni krug, kroz<br />
njega će poteći ista struja kao kroz priključeno trošilo. Stoga treba voditi računa o<br />
nazivnim (pretpostavljenim) strujama pojedinih izvora od kojih je novi izvor sastavljen,<br />
te spoj izvora koristiti samo za takva trošila koja neće uzimati struju veću<br />
od najmanje pojedinačne nazivne struje. Poopćenje na više serijski spojenih izvora<br />
analogno je prije opisanom spoju. Ukupni napon E bit će jednak zbroju napona pojedinačnih<br />
izvora uz odgovarajući polaritet (negativan za protuspoj), a struja kroz<br />
svaki izvor bit će ista:<br />
E =<br />
n∑<br />
E i<br />
i=1<br />
I 1 = I 2 = ... = I<br />
Novodobiveni izvor ima ekvivalentan nutarnji otpor R u = ∑ n<br />
i=1 R u i<br />
.<br />
Ako se trošilo otpora R T priključi u krug s više serijski spojenih izvora, onda će<br />
struja I teći kroz otpor i sve izvore u iznosu:<br />
I =<br />
E 1 + E 2 + ... + E n<br />
R 1 + R 2 + ... + R n + R T<br />
(2.30)<br />
s odgovarajućim predznakom elektromotorne sile svakog pojedinačnog izvora.<br />
Spojimo li izvore jednakih elektromotornih sila E i nutarnjeg otpora R u gornja<br />
jednadžba (2.30) postaje:<br />
n · E<br />
I =<br />
n · R u + R T<br />
Kod paralelnog spoja dvaju izvora imamo tako ¯der dvije mogućnosti, kako je<br />
prikazano slikom 2.22.<br />
Iz praktičnih se razloga nikad ne koristi protuspoj (slika 2.22 b)), osim pogreškom,<br />
jer donosi nepotreban gubitak energije.<br />
59
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
+E 1<br />
R u1 +<br />
E 1<br />
+<br />
+ R u1<br />
A<br />
E<br />
I<br />
B<br />
+<br />
u2<br />
A<br />
E 2<br />
+<br />
I<br />
R u2 +<br />
B<br />
E 1<br />
R u1<br />
+<br />
+<br />
+<br />
E 2<br />
+<br />
R u2<br />
I<br />
+<br />
R T<br />
SLIKA 2.22: Paralelni spoj realnih naponskih izvora<br />
Izvor će u praznom hodu za slučaj na slici 2.22 a) na svojim stezaljkama imati<br />
napon E jednak:<br />
pa kako je:<br />
E AB = E 1 − I · R u1<br />
slijedi:<br />
I = E 1 − E 2<br />
R u1 + R u2<br />
E AB = E 1 − (E 1 − E 2 ) · R u1<br />
R u1 + R u2<br />
(2.31)<br />
Ako su E 1 i E 2 jednaki, iz izraza (2.31) slijedi E AB = E 1 = E 2 , što se u načelu od<br />
takva izvora i traži. Ako naponi nisu jednaki, onda u samim izvorima teče stalna<br />
struja, koja može biti i veća od nominalne pojedinog izvora, pa tako uništiti sam<br />
izvor.<br />
Razlog uporabe paralelnog spoja dvaju ili više izvora je u struji koju taj izvor<br />
može dati trošilu. S obzirom da se radi o dvije ili više grana spojenih u jednu točku,<br />
po I. Kirchhoff-ovu zakonu slijedi da će takav izvor dati ukupnu struju jednaku<br />
zbroju svih struja pojedinih grana u toj točki (slika 2.22 c). Treba uočiti da na jakost<br />
struje pojedine grane u slučaju istih elektromotornih sila presudnu ulogu ima nutarnji<br />
otpor pojedinog izvora.<br />
Paralelni spoj izvora omogućuje dakle, uz isti napon, veću struju za trošilo:<br />
60
Mjerenje struje, napona i otpora<br />
E =<br />
n∑<br />
I i<br />
i=1<br />
E 1 = E 2 = ... = E<br />
Pri paralelnom spajanju n jednakih izvora, jednake elektromotorne sile E i jednakih<br />
nutarnjih otpora R u struja kroz trošilo bit će jednaka:<br />
I =<br />
E<br />
R u<br />
n + R T<br />
2.13 MJERENJE STRUJE, NAPONA I OTPORA<br />
Mjerni se instrumenti spajaju u strujni krug radi mjerenja željenih veličina: struje,<br />
napona, otpora, snage. Spajanje bilo kojeg realnog instrumenta (ima konačni otpor)<br />
u strujni krug mijenja prilike u krugu. Tako će ampermetar sa svojim otporom<br />
R i A utjecati da se, na primjer, struja u jednostavnom strujnom krugu (slika 2.23 a)<br />
smanji, jer se ukupni otpor zbog instrumenta povećava (serijski spoj otpornika).<br />
I<br />
+<br />
A<br />
I<br />
R u<br />
E + +<br />
R i A<br />
+<br />
R T<br />
R u<br />
E + +<br />
+<br />
V R iV<br />
I − I i<br />
R T<br />
SLIKA 2.23: Pojedinačno mjerenje u jednostavnom strujnom krugu<br />
Dakako, pritom će na ampermetru postojati pad napona (I · R i A ), pa će i napon<br />
na trošilu biti manji s obzirom na prilike bez ampermetra. To je identično razmatranju<br />
da je uz manji I i pad napona na trošilu (I · R T ) tako ¯der manji. Zato se zahtijeva<br />
da otpor ampermetra bude što manji (idealno: jednak nuli) u odnosu na otpor<br />
trošila.<br />
Slično razmatranje vrijedi i za voltmetar (slika 2.23 b), za koji se s obzirom na<br />
njegovo paralelno spajanje traži da otpor bude jako velik (idealno: beskonačan).<br />
Samo beskonačno velik otpor spojen paralelno trošilu ne mijenja prilike.<br />
Ukoliko se mjerenja više električnih veličina izvode istodobno, potrebno je primijeniti<br />
takve načine spajanja, pri kojima se pogreške zbog instrumenata mogu zanemariti.<br />
Ako je pogreška ipak prevelika, onda je potrebna analitička korekcija. Odabir<br />
ispravnog spoja ovisi o zahtjevu koji se na mjerenje postavlja.<br />
Neka se ampermetar i voltmetar spoje u strujni krug kao na slici 2.24. Prvi način<br />
spajanja (slika 2.24 a) koristi se za mjerenje napona izvora i struje koja teče kroz<br />
61
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
trošilo. (Struja kroz trošilo jednaka je struji izvora umanjenoj za iznos struje koja<br />
teče kroz voltmetar).<br />
R i A<br />
+<br />
E + +<br />
I<br />
R u<br />
a) struje trošila i napona izvora<br />
V<br />
+<br />
+<br />
R iV<br />
A<br />
R T<br />
E + +<br />
R i A<br />
A<br />
V<br />
+<br />
R u<br />
b) struje izvora i napona trošila<br />
R iV<br />
+R T<br />
SLIKA 2.24: Istodobno mjerenje<br />
Ovim se spojem ne bi mogao točno mjeriti napon na trošilu, jer voltmetar istodobno<br />
mjeri i pad napona na trošilu i pad napona na ampermetru. Zato se za<br />
mjerenje napona na trošilu koristi spoj prikazan na slici 2.24 b). U tom pak slučaju<br />
ampermetar mjeri struju koju daje izvor, a koja (zbog konačnog otpora voltmetra)<br />
ne teče čitava kroz trošilo.<br />
Za mjerenje otpora najčešće se koriste tri načina: V/I metoda, ommetar i Wheatstone-ov<br />
most. Prvi način, temeljen na Ohm-ovu zakonu, sasvim je jednostavan:<br />
nepoznati otpor jednak je kvocijentu izmjerenog napona i struje.<br />
2.13.1 MJERNI INSTRUMENTI: VOLTMETAR, AMPERMETAR, OMMETAR<br />
Postoje različite izvedbe mjernih instrumenata, temeljene na različitim fizikalnim<br />
efektima, a ovdje se prikazuje samo izvedba vrlo poznatog i često korištenog instrumenta<br />
s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom.<br />
Ako kroz svitak smješten unutar polova permanentnog magneta (kao na slici<br />
2.25) prolazi struja, na svitak djeluje moment (u poglavlju o magnetizmu bit će<br />
to objašnjeno) koji uzrokuje otklon kazaljke instrumenta. Veća jakost struje daje<br />
veći moment, a veći moment veći otklon. Protumoment djelovanju električnog<br />
momenta ostvaruje se s pomoću spiralne mehaničke opruge. Ovakvi instrumenti,<br />
dakle, mjerila su jakosti istosmjerne struje (ampermetar). Me ¯dutim, posredno ih<br />
koristimo i za mjerenje napona (voltmetar) i za mjerenje otpora (ommetar).<br />
Uz otpor instrumenta R i A (to je otpor žice svitka), još je važno poznavati jakost<br />
struje I i kod koje kazaljka pokazuje puni otklon. Ako je na primjer otpor instrumenta<br />
R i A = 50Ω , a I i = 2 mA, to znači da instrument može mjeriti struju do 2 mA,<br />
a napon do V i = R i A · I i = 0,1 V.<br />
62
Mjerenje struje, napona i otpora<br />
Kako mjeriti veće napone i struje? Proširenje mjernog područja instrumenta ostvaruje<br />
se prikladnim dodavanjem otpornika. Za mjerenje viših napona otpornike<br />
treba spajati serijski sa Ri v, a za mjerenje većih struja - paralelno.<br />
0<br />
1<br />
2 3 4<br />
5<br />
6<br />
N<br />
S<br />
SLIKA 2.25: Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom<br />
Slika 2.26 prikazuje proširenje mjernog područja voltmetra dodavanjem serijskog<br />
otpora R s .<br />
Napon koji voltmetar mjeri pri punom otklonu je:<br />
V = I i · (R i v + R s ) (2.32)<br />
Potrebno je, dakle, prema izrazu 2.32, otpornik R s dimenzionirati kao:<br />
R s = V − I i · R i v<br />
I i<br />
= V −V i<br />
I i<br />
(2.33)<br />
VOLTMETAR<br />
+<br />
R iV<br />
V<br />
+ R S<br />
I i<br />
+<br />
−<br />
SLIKA 2.26: Proširenje mjernog područja voltmetra<br />
Iz izraza (2.33) uz V ≫ V i (V puno veće od V i ) slijedi:<br />
63
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
R s<br />
∼ =<br />
V<br />
I i<br />
Za mjerenje većih struja od I i (proširenje mjernog područja ampermetra) svitku<br />
treba paralelno spojiti otpornik R p (slika 2.27), koji se naziva shunt (čitaj: šent), pa<br />
vrijedi:<br />
odnosno:<br />
Uz I ≫ I i gornji izraz (2.34) postaje:<br />
(I − I i ) · R p = I i · R i A<br />
R p = I i · R i A<br />
I − I i<br />
= V i<br />
I − I i<br />
(2.34)<br />
R p<br />
∼ =<br />
V i<br />
I<br />
Dok je kod mjerenja napona V bilo nužno da otpornik R s ima veću vrijednost<br />
od R i v približno onoliko puta koliko puta je V veće od V i , kako bi na sebe preuzeo<br />
veći dio mjerenog napona,<br />
AMPERMETAR<br />
I<br />
I i<br />
R i A<br />
I − I i<br />
+<br />
RP<br />
A<br />
+<br />
−<br />
SLIKA 2.27: Proširenje mjernog područja ampermetra<br />
kod mjerenja struje (paralelnog spoja) R p je toliko puta manji od R i A koliko je<br />
približno željena struja I puta veća od struje instrumenta I i (R p /R i A ≈ I i /I ).<br />
Ampermetar se može upotrijebiti i za mjerenje električnih otpora, uz stanovite<br />
prilagodbe, kako je to prikazano na slici 2.28, čime se dobiva ommetar. Priključi<br />
li se na stezaljke A i B otpornik nepoznatog otpora R x struja koju će ampermetar<br />
pokazivati bit će odre ¯dena izrazom:<br />
64<br />
E<br />
I =<br />
R u + R i A + R r eg + R x
Mjerenje struje, napona i otpora<br />
a nepoznata vrijednost otpornika R x je:<br />
R x = E I − (R u + R i A + R r eg )<br />
I<br />
A +<br />
R x B<br />
+<br />
R i A<br />
+<br />
A<br />
R r eg<br />
+<br />
R u<br />
+<br />
SLIKA 2.28: Nadomjesna shema ommmetra<br />
Struja ima najveću vrijednost (kazaljka pokazuje maksimalni otklon), kad su<br />
stezaljke ommetra AB kratko spojene (R x = 0). Za prekid izme ¯du stezaljki (R x = ∞)<br />
struja u strujnom krugu ne teče, pa je otklon kazaljke nula. Za vrijednosti otpora<br />
R x izme ¯du tih krajnjih vrijednosti i otklon kazaljke bit će odgovarajući. To znači<br />
da je skala ommetra označena tako da za otklon pri struji 0 ima oznaku ∞Ω, a za<br />
struju punog otklona oznaku Ω0. Izme ¯du tih dviju oznaka raspodijeljene su ostale<br />
vrijednosti (slika 2.13.1).<br />
100 20 10 5 3 2<br />
∞ 1000<br />
Ω<br />
1<br />
0<br />
SLIKA 2.29: Skala ommetra<br />
Umjeravanje (baždarenje) ommetra prije svakog mjerenja izvodi se tako da se<br />
stezaljke AB kratko spoje, a sa R r eg namjesti se otklon kazaljke na oznaku 0 (R AB =<br />
0). Takvim načinom eliminira se utjecaj promjene napona izvora na mjerni rezultat<br />
(npr. zbog starenja baterije).<br />
2.14 RAD I SNAGA ISTOSMJERNE STRUJE<br />
65
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
O energiji naboja u gibanju već je bilo govora u elektrostatici (poglavlje 1.) i jednostavnom<br />
strujnom krugu (potpoglavlje 2.10). S obzirom da je struja naboj koji se u<br />
vremenu giba (Q = I ·), izraz za rad tj. energiju naboja: W = Q ·V može se pisati kao:<br />
W = V · I · t [J] (2.35)<br />
Jedinica za rad je J (joul). Izražena pomoću osnovnih jedinica veličina s desne<br />
strane izraza (2.35) ona je jednaka. V As (volt - amper- sekunda) ili W s (vatsekunda).<br />
Primjenjen na otpor R uz korištenje Ohm-ovog zakona, izraz (2.35) može se<br />
pisati na još dva načina:<br />
i<br />
W = I 2 · R · t<br />
W = V 2<br />
R · t<br />
Isti se rad može obaviti u dužem ili kraćem vremenu, što ovisi o snazi P koja se<br />
definira kao :<br />
P = W t<br />
[W ] (2.36)<br />
Iz izraza (2.35) i (2.36) proizlazi da je jedinica za snagu V A (volt-amper). Ona se<br />
kraće zove vat i označuje sa W . Preko navedenih izraza (2.35) - (2.36) slijedi da je<br />
snaga na otporniku:<br />
P = V · I = I 2 · R = V 2<br />
Nazivna snaga trošila (obično označena na električnim trošilima, na primjer 100<br />
W žarulja) je snaga za koju je trošilo gra ¯deno i koja se ostvaruje pri naponu za koji je<br />
priključak trošila predvi ¯den (nazivni napon). Treba uočiti da stvarnu (trenutnu) vrijednost<br />
snage odre ¯duje otpor tog trošila i trenutna vrijednost priključenog napona<br />
ili struje koja kroz njega teče. Ono što trošilo obično trajno posjeduje jest njegov<br />
otpor (premda je u praksi uslijed vanjskih utjecaja: starenja, temperature, vlage,<br />
nečistoće i sl., ipak promjenjiv).<br />
Osim nazivne snage, za električne ure ¯daje zanimljiva je i njihova korisnost ili<br />
stupanj djelovanja. Ukupna privedena energija W u nije u trošilu u potpunosti iskorištena.<br />
Ako je W g gubitak energije, a W korisna energija, onda se korisnost nekog<br />
ure ¯daja definira kao:<br />
R<br />
η = W W<br />
=<br />
W u W +W g<br />
Korisnost se za slučaj istog vremena t može izraziti i s pomoću omjera snaga (uz<br />
iste oznake indeksa):<br />
66<br />
η =<br />
P<br />
P + P g
Appleti<br />
Snaga se može odrediti tako da se ampermetrom izmjeri struja, a voltmetrom<br />
napon željenog dijela strujnog kruga. Umnožak izmjerenih veličina daje snagu<br />
izraženu u vatima. Po tom načelu napravljeni su instrumenti, nazvani vatmetri, kojima<br />
je skala označena razmjerno umnošku mjerene struje i napona. Prilikom spajanja<br />
vatmetra potrebno je osobitu pozornost obratiti na ispravno spajanje strujnih<br />
i naponskih stezaljki. Naponske stezaljke spajaju se paralelno mjerenom objektu<br />
(kao voltmetar), a strujne serijski (kao ampermetar).<br />
Za mjerenje električne energije koriste se električna brojila. Električna energija<br />
je W = P · t (iz izraza (2.36), pa su ti instrumenti zapravo modificirani vatmetri.<br />
Faktor vremena t uzima se u obzir time što će moment koji bi u vatmetru djelovao<br />
na otklon kazaljke instrumenta ovdje okretati okruglu pločicu spojenu na brojčanik<br />
instrumenta. Uz istu snagu, kroz duže vrijeme, instrument će registrirati<br />
veći broj okretaja (više će se puta pločica okrenuti), a za veću snagu, u istom vremenu,<br />
tako ¯der će se registrirati veći broj okretaja (jer će se pločica brže okretati).<br />
S obzirom da je jedinica vremena u tim ure ¯dajima sat, a jedinica snage kilovat<br />
(1kW = 1000W ), ti se instrumenti još zovu kilovatsatna brojila.<br />
2.15 APPLETI<br />
2.15.1 OHMOV ZAKON<br />
SLIKA 2.30: Ommetar<br />
Pomoću klizača mijenjamo :<br />
• RESISTANCE - vrijednost otpora od 2 do 10Ω<br />
• VOLTAGE - vrijednost napona od 5 do 20 V<br />
67
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
Ampermetar je priključen u strujni krug serijski sa otporom i mjeri struju koja<br />
teče krugom. Ako povećavamo napon, povećavat će se i struja, a smanjenjem napona,<br />
smanjit će se i struja. Povećanjem otpora, uz isti napon, struja se smanjuje, a smanjenjem<br />
otpora struja se povećava. Struja je razmjerna naponu i obrnuto razmjerna<br />
otporu prema (2.9).<br />
Neka se provjeri ova jednadžba (Ohmov zakon) za R = 8Ω , V = 16V. Koliko je<br />
I =?<br />
I = V R = 16V<br />
8Ω = 2A<br />
2.15.2 JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG<br />
SLIKA 2.31: Jednostavni strujni krug<br />
Strujni krug se sastoji od četiri dijela:<br />
• Baterija - click-om na bateriju željenog napona, možemo je "dovući" u strujni<br />
krug,<br />
• Otpor - click-om možemo "dovući" različite kombinacije otpornika u strujni<br />
krug,<br />
• Sklopka - click-om na sklopku uključujemo i isključujemo strujni krug,<br />
• Žarulja - promatramo što se s njom doga ¯da za različite kombinacije napona<br />
i ukupnog otpora, kada uključimo strujni krug.<br />
Zaključak:<br />
Ako je otpor prevelik, kroz žarulju teče premala struja, pa ona ne svijetli. Ako<br />
je otpor premali, žaruljom će poteći prevelika struja, pa će žarulja pregorjeti (uz<br />
uključene zvučnike, na računalu se čuje prasak).<br />
Žarulja svijetli samo kada je iznos otpora dvostruko manji od iznosa napona. To<br />
znači da je jakost struje potrebna da žarulja svijetli 2A.<br />
Moguće je pozvati applet tako da je jakost struje potrebna da žarulje svijetli jednaka<br />
3A.<br />
68
Appleti<br />
SLIKA 2.32: Jednostavni strujni krug - žarulja svijetli punim sjajem<br />
Zadatak je složiti strujni krug tako da žarulja svijetli. Žarulja će svijetliti ako je<br />
iznos napona tri puta veći od iznosa ekvivalentnog otpora.<br />
2.15.3 MJERENJE NAPONA, STRUJE I SNAGE U STRUJNOM KRUGU<br />
SLIKA 2.33: Mjerenje napona, struje i snage<br />
Pomoću klizača R mijenja se otpor u strujnom krugu s naponskim i strujnim<br />
izvorom. Applet pokazuje serijsko uključivanje ampermetra i paralelno priključivanje<br />
voltmetra u strujni krug, te očitavanje mjernog rezultata na zaslonu instrumenta.<br />
Kod toga je važno uočiti i odrediti polaritet napona i struje.<br />
Umnožak napona i struje odre ¯duje snagu, a snaga u vremenu električku energiju.<br />
2.15.4 MULTIMETAR<br />
69
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
SLIKA 2.34: Multimetar<br />
S pomoću ovog applet-a moguće je razumjeti i naučiti (virtualno) mjerenje osnovnih<br />
električnih veličina (napon, struja, otpor) s idealnim i realnim instrumentom<br />
(R m - realni otpor instrumenta). Applet pokazuje nutarnju strukturu galvanometra<br />
i dodavanje odgovarajućih (engl. shunt) otpornika za proširivanje mjernog područja.<br />
2.15.5 SERIJSKI SPOJ OTPORA<br />
Pomoću klizača R 1 , R 2 i V s podešavamo vrijednosti otpora serijski spojenih otpornika<br />
R 1 i R 2 (od 2 do 49Ω ) i napon naponskog izvora V s (od 1 do 49 V ).<br />
U krugu teče struja I , koja je proporcionalna naponu izvora V s . Struju mjeri<br />
ampermetar koji spojen serijski sa otporima R 1 i R 2 .<br />
Prema (2.16) vrijednost ekvivalentnog (ukupnog) otpora jednaka je zbroju otpora<br />
R 1 i R 2 .<br />
R uk = R 1 + R 2<br />
2.15.6 PARALELNI SPOJ OTPORA<br />
70
Appleti<br />
SLIKA 2.35: Serijski spoj otpora<br />
SLIKA 2.36: Paralelni spoj otpora<br />
Pomoću klizača R 1 , R 2 i I s pdešavamo vrijednosti otpora paralelno spojenih otpornika<br />
(od 2 do 99Ω) i jakost struje strujnog izvora (od 1 do 19 A).<br />
Voltmetar, koji je spojen paralelno strujnom izvoru (a time i otpornicima R 1 i<br />
R 2 ) mjeri napon na strujnom izvoru i na otpornicima.<br />
Ekvivalentni (ukupni otpor) računamo prema jednadžbi (2.19)<br />
71
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
R uk = R 1 · R 2<br />
R 1 + R 2<br />
i V = I · R uk = I · R1 · R 2<br />
R 1 + R 2<br />
2.15.7 KIRCHHOFF-OVI ZAKONI<br />
SLIKA 2.37: Kirchhoff-ovi zakoni<br />
Pored izvora napona i otpornika u strujnom krugu napisane su njihove vrijednosti<br />
u voltima odnosno ohmima.<br />
Click-om miša (lijevi click) ispod ili iznad napisane vrijednosti, smanjujemo ili<br />
povećavamo te vrijednosti. Napon izvora možemo mijenjati od −10 do 10V, a otpore<br />
na otpornicima od 1 do 10Ω.<br />
Moguće je s pomoću miša dovući vodič ili otpornik u strujni krug (prikazani su<br />
s lijeve strane strujnog kruga) i smjestiti ih izme ¯du točaka A i C , B i D, C i E ili D i<br />
F . Isto tako mogu se maknuti (izbrisati) iz strujnog kruga s pomoću brisala (engl.<br />
eraser).<br />
Iznad izvora strujnog kruga (u elipsi) upisana je jakost struje koju daje izvor.<br />
U pravokutnicima mogu se očitati vrijednosti napona izme ¯du pojedinih točaka<br />
(V AC = V BD i V C E = V DF ).<br />
72
Zadaci<br />
2.16 ZADACI<br />
2.1 Odredite jakost električnog polja u bakrenom vodiču promjera 0,5 mm kad<br />
njime teče struja jakosti 0,3 A.<br />
Rješenje: 26,7 mV/m<br />
2.2 Pri elektrolizi neke srebrne otopine izlučilo se za 3 sata 4,55 g srebra. Kolika<br />
je bila jakost struje pri elektrolizi?<br />
Rješenje: 0.377 A<br />
2.3 Baterija od 6 jednakih paralelno spojenih članaka od kojih svaka ima elektromotornu<br />
silu E = 1,5V, daje struju od 4 A trošilu čiji otpor iznosi 0,25Ω.<br />
a) nacrtajte električku shemu spoja,<br />
b) koliki napon vlada na trošilu,<br />
c) koliki je unutrašnji otpor svakog članka,<br />
d) za koju snagu mora biti gra ¯deno trošilo,<br />
e) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije, a koliki pojedinog članka?<br />
Rješenje: b) 1 V c) 0,75Ω d) 4 W e) 12 A, 2 A<br />
<strong>2.4</strong> Četiri jednaka istosmjerna izvora, spojena serijski imaju struju kratkog<br />
spoja 1 A, a paralelno spojeni imaju napon praznog hoda 1 V.<br />
a) nacrtajte shemu serijskog i paralelnog spoja i označite elemente,<br />
b) koliki je napon praznog hoda E svakog pojedinačnog izvora,<br />
c) koliki je unutarnji otpor serijski spojenih izvora,<br />
d) koliki je unutarnji otpor svakog pojedinačnog izvora,<br />
e) koliki je napon na stezaljkama serijski spojenih izvora ako je otpor tereta<br />
2Ω?<br />
Rješenje: a) - b) 1 V c) 4Ω d) 1Ω e) 1,333 V<br />
2.5 Struja kratkog spoja izvora iznosi 120 A, a napon praznog hoda 2 V.<br />
a) koliki je iznos struje kratkog spoja baterije sastavljene od 6 serijski spojenih<br />
izvora,<br />
73
2. ISTOSMJERNA STRUJA<br />
b) koliko će iznositi struja kratkog spoja baterije sastavljene od 6 paralelno<br />
spojenih izvora,<br />
c) koliku snagu ima trošilo otpora 2Ω priključeno na bateriju iz a)<br />
d) koliki je faktor iskoristivosti spoja iz c),<br />
e) koliku električnu energiju mora razviti baterija iz c) za 1 sat?<br />
Rješenje: a) 120 A b) 720 A c) 65,3 W d) 0,9523 e) 0,0653 kWh<br />
2.6 Izvoru s E = 36 V i nutarnjim otporom 2Ω priključi se trošilo s oznakama 24<br />
V, 15 W.<br />
a) kolika struja teče trošilom,<br />
b) kolika se energija troši za 24 sata na trošilu,<br />
c) kolika je korisnost spoja η(otpor vodova se zanemaruje),<br />
d) kako se promijeni korisnost ako se unutrašnji otpor udvostruči,<br />
e) kolika je u slučaju d)struja kratkog spoja izvora?<br />
Rješenje: a) 0,891 A b) 731,8 Wh c) 0,95 d) 0,906 e) 9 A<br />
2.7 Na naponski izvor unutarnjeg otpora R u = 3Ω spojeno je naponsko djelilo<br />
(potenciometar)otpora R = 100Ω. Na izlaze treba spojiti žarulju s oznakama 12 V,<br />
36 W tako da svijetli punim sjajem.<br />
a) nacrtajte električnu shemu spoja,<br />
b) kolika struja teče kroz žarulju,<br />
c) kako je podešen klizni kontakt djelitelja napona, ako izvor daje struju<br />
jakosti 3,3 A,<br />
d) kolika je elektromotorna sila izvora,<br />
e) hoće li se struja iz izvora promijeniti ako žarulju odspojimo i zašto?<br />
Rješenje: a) - b) 3 A c) 60Ω/40Ω d) 219,9 V e) da, struja smanjuje zbog<br />
porasta ukupnog otpora<br />
2.8 Sklop prema slici spojen je na izvor 12 V.<br />
a) označite polaritete napona i smjerove struja,<br />
b) koliku struju pokazuje idealni ampermetar, a koliki napon idealni voltmetar<br />
prema shemi,<br />
c) na koju vrijednost se promijeni pokazivanje voltmetra, ako se R 2 odspoji?<br />
74
Zadaci<br />
Rješenje: a) - b) 0,04 A, 8 V c) 6 V<br />
2.9 Deset galvanskih članaka elektromotornog napona 2 V spojeno je u dvije<br />
paralelne grane s po pet serijski spojenih članaka. Vanjski otpor kruga je 4Ω, a krugom<br />
teče struja 1,5 A. Koliki je nutarnji otpor svakog članka? Nacrtajte shemu strujnog<br />
kruga.<br />
Rješenje: 1,067Ω<br />
2.10 Koliku jakost ima struja koja teče tramvajskim motorom ako se kola mase<br />
10 tona pokrenu iz stanja mirovanja i nakon 20 s postignu brzinu 36 km/h? Motor<br />
je priključen na napon 600 V. Faktor trenja je 0,02.<br />
Rješenje: 58 A<br />
75
3<br />
POGLAVLJE<br />
MAGNETIZAM<br />
Magnetizam opisuje i objašnjava pojave koje nastaju u prostoru oko trajnih magneta<br />
i gibljivih električnih naboja. Djelovanje gibljivog naboja u prostoru tumači se<br />
magnetskim poljem koje svaki gibljivi naboj stvara u svom okolišu.<br />
3.1 MAGNETSKO POLJE<br />
Proučavanje magnetizma povijesno je prethodilo proučavanju električnih pojava<br />
i temeljilo se na uočavanju i mjerenju sila uzrokovanih permanentnim (trajnim)<br />
magnetima koji se u prirodi nalaze najčešće u rudama željeza, nikla i kobalta. Magnetizam<br />
je i dobio ime od minerala željeznog oksida - magnetita.<br />
Magnetsko djelovanje koncentrirano je na suprotnim krajevima magneta, koji<br />
se nazivaju sjeverni i južni pol. Istoimeni polovi me ¯dusobno se odbijaju, a raznoimeni<br />
privlače. Njihova imena preuzeta su iz zemljovidne orijentacije. Naime, zemaljska<br />
kugla, kao veliki prirodni magnet usmjerava sobodne magnetizirane igle u pravcu<br />
sjever-jug, jer tako ¯der ima svoje magnetske polove nedaleko geografskih polova.<br />
Pol magnetske igle usmjeren na sjeverni geografski pol nazvan je sjevernim polom<br />
magneta (N), a suprotan južnim polom (S).<br />
Djelovanje bilo kojeg pola magneta na sitne čestice željezne piljevine stvara geometrijske<br />
oblike slične silnicama električnog polja. Sve to vodi na izravnu povezanost<br />
magnetizma i elektriciteta, no postoje i bitne razlike.<br />
Činjenica je da se pol magneta nikad ne pojavljuje samostalno. Ako se magnetski<br />
štap presiječe na polovici, ne dobiva se na jednoj polovici sjeverni, a na drugoj<br />
južni pol,već svaka polovica postaje magnet koji sadrži oba svoja na svojim završecima.<br />
To temeljno iskustvo ukazuje da ne postoji neki "magnetski naboj", već je pojava<br />
magneta prouzrokovana na drugi način.<br />
Godine 1820. H.C. Örsted je otkrio da se u okolišu vodiča kroz koji teče električna<br />
struja stvara magnetsko polje. Tako je na ¯dena veza izme ¯du magnetizma<br />
i elektriciteta, postavljena je hipoteza o elementarnim strujama u molekulama i<br />
atomima po kojoj se objašnjava postojanje permanentnog magneta. Zbog mogućnosti<br />
stvaranja magnetskih polja s pomoću električne struje i dodatnih elektromag-<br />
77
3. MAGNETIZAM<br />
netskih pojava nastalih njihovom promjenom, to je otkriće dobilo veliku vrijednost<br />
u praksi.<br />
Električna struja proizvodi dakle oko sebe magnetsko polje. Njegovo postojanje<br />
može se ustvrditi uočavanjem i mjerenjem sile na (male) magnete u blizini vodiča<br />
kojim električna struja teče (slika 3.1 a). Magnetsko polje je polje sila, pa se slično<br />
kao električno, može prikazati linijama polja ili silnicama. Čestice željezne piljevine<br />
u ravnini okomitoj na vodič poredat će se upravo po takvim linijama (slika 3.1 b).<br />
I<br />
I<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 3.1: Magnetsko polje oko vodiča kojim teče struja<br />
Povezanost magnetskog polja i električne struje nudi zgodnu mogućnost da se<br />
osnovne veličine magnetskog polja upoznaju upravo na primjeru najjednostavnijeg<br />
polja koje u svojem okolišu stvara ravni, strujom protjecani, vodič. U korištenju<br />
efekata magnetskih polja u praksi, polja koja su nastala protjecanjem struje daleko<br />
su važnija i češća od onih koja su nastala djelovanjem trajnih magneta.<br />
Smjer magnetskog polja dogovorno je definiran smjerom sjevernog pola magnetske<br />
igle. Smjer odgovara smjeru vrtnje desnog vijka, ako je smjer struje u pravcu<br />
pomicanja vijka duž njegove osi. Promjenom smjera struje mijenja se i smjer magnetskog<br />
polja. Jakost magnetskog polja koja se označava s H veća je što je struja<br />
veća (npr. dvaput jača struja daje dvaput jače magnetsko polje). Nadalje, jakost<br />
polja pada s udaljenosti od vodiča (npr. u dvostrukoj udaljenosti je polje dvostruko<br />
slabije). Tako su se potpuno neočekivano povezala dva dotada potpuno odijeljena<br />
područja: magnetizam i optika. Kasnije se ta veza teorijski i eksperimentalno<br />
dokazala (Maxwell, Herz).<br />
3.2 ZAKON PROTJECANJA<br />
Temeljni zakon odnosa magnetskih polja i struja koje proizvode polje dan je s relacijom:<br />
∮<br />
−→ −→ ∑<br />
H · dl = I (3.1)<br />
78<br />
l
Zakon protjecanja<br />
koja se naziva zakon protjecanja ili Amperov zakon. Po tom zakonu integral sklarnih<br />
umnožaka jakosti polja koje na djeliću puta djeluje i infinitezimalne duljine tog<br />
djelića puta po zatvorenoj krivulji l jednak je zbroju struja koje krivulja obuhvaća.<br />
I 1<br />
I 2<br />
I 3 I 4<br />
I 5<br />
l 1<br />
l 2<br />
l 3<br />
H l<br />
t<br />
a<br />
b<br />
SLIKA 3.2: Primjer uz zakon protjecanja<br />
Za slučaj na slici 3.2 primjena zakona protjecanja daje:<br />
- za krivulju l 1 : ∑ I = I 1 − I 2 − I 3 + I 4<br />
- za krivulju l 2 : ∑ I = −I 3 + I 4<br />
- za krivulju l 3 : ∑ I = 0<br />
Dobro je uočiti da će u slučaju istih jakosti struja I 3 i I 4 za krivulju l 2 rezultat<br />
biti jednak nuli. Magnetski učinak koji je stalan pratilac električne struje ne može<br />
se izbjeći, ali se dakle, može poništiti.<br />
Struja I 5 koja nije obuhvaćena krivuljama ne utječe na vrijednost linijskog integrala<br />
u navedenim slučajima.<br />
Po analogiji s elektrostatikom, umnožak H · l odgovarao bi ’magnetskom potencijalu’<br />
V m .<br />
3.2.1 MAGNETSKO POLJE RAVNOG VODIČA<br />
Primijeni li se zakon protjecanja (3.1) na ravni vodič kojim teče struja jakosti I , za<br />
magnetsko polje na koncentričnim kružnicama (silnicama) oko vodiča (slika 3.2.1)<br />
vrijedi:<br />
∮<br />
−→ −→ H · dl = I (3.2)<br />
l<br />
Razložno je pretpostaviti da je na svim točkama koncentrične kružnice s polumjerom<br />
r jakost polja H jednakog iznosa, pa uz:<br />
∮<br />
dl = l = 2π · r<br />
79
3. MAGNETIZAM<br />
slijedi:<br />
H = I l = I<br />
2π · r<br />
[A/m] (3.3)<br />
Jakost magnetskog polja opada dakle, obrnuto razmjerno s udaljenošću od osi<br />
vodiča.<br />
I<br />
r<br />
H<br />
SLIKA 3.3: Magnetsko polje ravnog vodiča kroz koji teče struja<br />
Magnetsko polje ne nastaje samo u okolišu vodiča protjecanog strujom I , nego<br />
i u njemu samome. Nakon primjene zakona protjecanja na koncentričnoj kružnici<br />
polumjera r unutar vodiča (u kojoj teče struja jakosti I ′ , što je dio ukupne jakosti<br />
I ), slijedi da je jakost magnetskog polja u vodiču kružnog presjeka i polumjera R za<br />
r ≤ R jednaka:<br />
H = I ′<br />
2π · r = I<br />
2π · R 2 · r<br />
Kako promjena jakosti polja H ovisi o udaljenosti r od osi vodiča prikazuje slika<br />
3.4 za nekoliko vrijednosti jakosti struja.<br />
Ako se od vodiča kroz koji teče struja načini zatvorena petlja (ili zavoj), onda će<br />
sve silnice prolaziti kroz površinu koju zavoj okružuje (slika 3.2.1 a) i b) ).<br />
Dobiveno magnetsko polje potpuno se podudara s magnetskim poljem kratkog<br />
magneta u obliku valjka (slika 3.2.1 c). Nizanjem više magnetskih valjaka s istim<br />
smjerom polja dobio bi se snažniji magnet (slika 3.2.1 a)), što je ekvivalentno povezivanju<br />
više zavoja u tzv. svitak ili zavojnicu (slika 3.2.1 b)). Budući da je magnetsko<br />
polje i ovdje identično, svitak protjecan strujom se zove još i elektromagnet.<br />
Umnožak broja zavoja i struje koja kroz njih teče zove se magnetska uzbuda ili<br />
magnetomotorna sila (M MS) i često se izražava u Az (amper-zavojima) kako bi se<br />
istaknulo značenje broja zavoja (a ne samo jakosti struje) u stvaranju magnetskog<br />
polja.<br />
3.3 MAGNETSKE VELIČINE<br />
Magnetske silnice (silnica = linija sile) koje se prikazuju linijama koje izlaze iz sjevernog<br />
pola (slika 3.2.1) (elektro)magneta i završavaju na južnom, uvijek se nasta-<br />
80
Magnetske veličine<br />
SLIKA 3.4: Ovisnost H=f(r) ravnog vodiča kroz koji teče struja<br />
N<br />
S<br />
SLIKA 3.5: Magnetsko polje ravnog vodiča<br />
vljaju kroz tijelo (elektro)magneta od južnog do sjevernog pola. Magnetske silnice<br />
su dakle zatvorene linije. Skup svih silnica naziva se magnetski tok i označuje simbolom<br />
φ . Jače magnetsko polje ima veći tok nego slabije polje. Jedinica magnetskog<br />
toka mjeri se u W b (Weber).<br />
Gustoća toka B izražava broj magnetskih silnica po jedinici površine A okomite<br />
na smjer magnetskog toka:<br />
B = Φ A<br />
[T ] (3.4)<br />
Jedinica gustoće toka je T (Tesla).<br />
Elektromagnetski utjecaj jednog tijela na drugo bez njihova fizičkog dodira, u<br />
smislu promjene električnog ili magnetskog stanja tijela na koji se djeluje, zove se<br />
81
3. MAGNETIZAM<br />
N<br />
S<br />
SLIKA 3.6: Magnetsko polje zavojnice<br />
indukcija. Na primjer, permanentni magnet inducira nemagnetizirano željezo da i<br />
ono postane magnet (slika 3.3).<br />
Naime, molekularni magneti (tzv. magnetske domene ili magnetski dipoli) u<br />
željeznom uzorku djelovanjem magnetskog polja permanentnog magneta usmjeravaaju<br />
se iz svog dotad slučajnog rasporeda tako, da sjeverni pol permanentnog<br />
magneta privuče južni pol molekularnih magneta uzorka.<br />
S<br />
N<br />
S<br />
N<br />
Permanentni<br />
magnet<br />
željezni uzorak<br />
SLIKA 3.7: Magnetiziranje željeza s pomoću indukcije<br />
Nemagnetizirano željezo postaje magnet, pol tog magneta bit će suprotan polu<br />
koji ga je inducirao i željezo - novi magnet bit će privučeno. Treba uočiti da je inducirani<br />
pol uvijek suprotnog polariteta od pola koji ga je inducirao. To objašnjava<br />
činjenicu zašto bilo koji pol magneta privlači magnetski materijal.<br />
Magnetski materijali me ¯dusobno se razlikuju s obzirom na indukciju. Sposobnost<br />
koncentriranja magnetskog toka zove se permeabilnost i označuje se s µ. Svaki<br />
materijal koji se lako magnetizira ima veliku permeabilnost i naziva se feromagnetski.<br />
Što je permeabilnost materijala veća, to je uz istu jakost magnetskog polja gustoća<br />
silnica B u induciranom materijalu veća. Zato se gustoća silnica naziva još i<br />
magnetska indukcija.<br />
Jakost magnetskog polja H povezana je dakle, preko permabilnosti materijala,<br />
s magnetskom indukcijom B pa vrijedi:<br />
B = µ · H [T ] (3.5)<br />
Veća indukcija postiže se ili većom jakosti polja ili/i korištenjem materijala veće<br />
82
Magnetske veličine<br />
permeabilnosti. Najčešće se permeabilnost materijala µ izražava u relativnim jedinicama<br />
µ r u odnosu na permeabilnost vakuuma µ 0 , tako da je permeabilnost<br />
µ = µ 0 · µ r (3.6)<br />
a permeabilnost vakuuma potvr ¯dena eksperimentalno iznosi:<br />
µ 0 = 4π · 10 −7 [V s/Am]<br />
Vrijednosti relativne permeabilnosti µ r za feromagnetske materijale kreću se<br />
izme ¯du 100 i 190.000.<br />
Budući da je H vektor, a µ skalar, magnetska indukcija B može se tako ¯der smatrati<br />
vektorom. Magnetsko polje je homogeno ako je veličina indukcije u svakoj<br />
točki promatranog prostora jednaka.<br />
Zbog visoke permeabilnosti feromagnetski materijali koriste se kao jezgre elektomagneta.<br />
Ista magnetska uzbuda u zatvorenoj će jezgri stvoriti µ r puta veću gustoću<br />
silnica nego u slučaju kad jezgre nema. To slijedi izravno iz izraza (3.5) i (3.6):<br />
B = µ 0 · H = µ r · µ 0 · H<br />
Polje unutar jezgre (slika 3.8 a) približno je homogeno, a nije homogeno na krajevima<br />
jezgre i izvan nje. Približno homogeno polje duž čitave jezgre postiže se<br />
izvedbom feromagnetske jezgre u obliku prstena (slika 3.8 b) ili okvira (slika 3.8 c).<br />
I<br />
φ<br />
a)<br />
I<br />
φ<br />
I<br />
φ<br />
b)<br />
c)<br />
SLIKA 3.8: Magnetsko polje ravnog vodiča, prstena i okvira<br />
Jezgre od neferomagnetskih materijala ponašaju se slično kao vakuum: njihova<br />
relativna permeabilnost približno je jednaka jedinici. Ipak, preciznija mjerenja<br />
pokazuju da je za jednu grupu materijala tzv. diamagnetske materijale µ r < 1, dok<br />
83
3. MAGNETIZAM<br />
je za drugu grupu, tzv. paramagnetske materijale µ r > 1. U tablici 3.1 napisane su<br />
vrijednosti relativnih permeabilnosti nekih neferomagnetskih materijala.<br />
TABLICA 3.1: Neferomagnetski materijali<br />
Materijal<br />
bizmut 0,99984<br />
Diamagnetici srebro 0,9999736<br />
voda 0,999991<br />
vodik 0,9999999979<br />
platina 1,00027<br />
Paramagnetici aluminij 1,0000196<br />
kisik 1,000000181<br />
zrak 1,00000036<br />
Permeabilnost vakuuma je konstantna veličina i naziva se kao apsolutna permeabilnost.<br />
Permeabilnost feromagnetskih materijala nije pak konstantna veličina,<br />
već ovisi o prethodnom magnetiziranju materijala, iznosu polja H i temperaturi.<br />
Slika 3.9 a) prikazuje krivulju magnetiziranja nekog feromagnetskog materijala.<br />
Povećanjem struje magnetiziranja raste polje H, a s poljem i indukcija B, gotovo<br />
linearno u početnom dijelu karakteristike.<br />
Me ¯dutim, nakon linearnog dijela, povećanjem uzbude krivulja postupno ulazi<br />
u zasićenje. Ta se pojava objašnjava postavljanjem gotovo svih magnetskih dipola u<br />
smjeru djelujućeg polja, pa novi prirast uzbude više ne doprinosi porastu indukcije.<br />
B[T ]<br />
0.5<br />
µ r<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
I<br />
V + N<br />
R<br />
l<br />
b)<br />
1000 2000 3000 4000 5000<br />
H[Az/m]<br />
a)<br />
SLIKA 3.9: Magnetiziranje feromagnetskog materijala<br />
Primjer: Uz pretpostavku promjene napona od 20 V do 100 V, otpora zavojnice<br />
od 10Ω, te željezne jezgre duge l = 0,2 m u zavojnici s N = 100 zavoja (slika 3.9 b)<br />
84
Magnetska histereza<br />
sljedeća tablica 3.2 (uz mjereni B) pokazuje ponašanje feromagnetskog materijala<br />
čija je krivulja magnetiziranja prikazana slikom 3.9 a).<br />
TABLICA 3.2: Magnetiziranje željezne jezgre<br />
V [V] I [A] N I [Az]<br />
H<br />
[Az/m]<br />
B [T] µ r<br />
20 2 200 1000 0,126 100<br />
40 4 400 2000 0,252 100<br />
60 6 600 3000 0,378 100<br />
80 8 800 4000 0,428 85<br />
100 10 1000 5000 0,441 70<br />
Iz krivulje magnetiziranja kao i izračunatih vrijednosti iz tablice 3.2 u primjeru<br />
podvr ¯duje se da relativna permeabilnost nije konstantna veličina. U zasićenju µ r<br />
približuje se vrijednosti 1, što je µ r za vakuum.<br />
Sa slike 3.2 a) nije vidljivo kolika je magnetska indukcija uzorka kad je uzbuda<br />
jednaka nuli. Ta veličina ovisi o njegovoj dotadanjoj magnetiziranosti. Ako se pokus<br />
magnetiziranja načini s potpuno razmagnetiziranim feromagnetskim materijalom<br />
(B = 0 za H = 0), onda se dobivena krivulja naziva krivulja prvog magnetiziranja.<br />
Feromagnetici gube svoja magnetska svojstva kad im temperatura prije ¯de stanovitu<br />
vrijednost (Curie-eva točka), koja je za željezo na 760 0 C, za nikal 360 0 C, a za<br />
kobalt 1120 0 C.<br />
3.4 MAGNETSKA HISTEREZA<br />
Magnetska indukcija B mijenja se u magnetskom materijalu promjenom magnetske<br />
uzbude. Ako magnetski materijal nije magnetičan, onda se povećanjem uzbude od<br />
vrijednosti nula na više dobiva se krivulja prvog magnetiziranja. Zanimljiva pojava<br />
nastaje ako se kod neke maksimalne uzbude +H max (i postignute gustoće +B max )<br />
uzbuda počne smanjivati. Magnetska gustoća odupirat će se promjeni - nastojat će<br />
zadržati prijašnje stanje magnetičnosti (slika 3.4 a). To se očituje u indukciji koja<br />
pri opadanju uzbude ima veće vrijednosti od onih kad je uzbuda rasla. Kad uzbuda<br />
padne na nulu, materijal će još zadržati stanovitu vrijednost indukcije, tzv. remanentni<br />
magnetizam B r ili remanenciju. Remanentni magnetizam je glavno svojstvo<br />
permanentnih magneta.<br />
Taj se magnetizam može poništiti samo uzbudnom strujom suprotnog predznaka.<br />
Vrijednost uzbude kod koje se to postiže zove se koercitivnost ili koercitivna<br />
sila H c (slika 3.4 b)).<br />
Nastavi li se povećanje uzbude suprotnog smjera, stvara se magnetski tok i gustoća<br />
suprotnog predznaka (promjena magnetskih polova uzorka). Porast takve uzbude<br />
tako ¯der vodi do magnetskog zasićenja −B max uz −H max . Sličnim postupkom<br />
(smanjivanje uzbude, tj. struje do nule i povećanjem do +H max ) zatvara se ciklus,<br />
a nastala krivulja zove se petlja histereze (slika 3.4).<br />
85
3. MAGNETIZAM<br />
+B [T]<br />
1.0<br />
+B [T]<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.8<br />
0.6<br />
B r<br />
0.6<br />
B r<br />
0.4<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.2<br />
-H -400 -200<br />
-0.2<br />
200 400 600 800 +H [Az/m]<br />
-H<br />
H c<br />
-600 -400 -200<br />
-0.2<br />
200 400 600 800+H [Az/m]<br />
-0.4<br />
-B<br />
-0.4<br />
-B<br />
SLIKA 3.10: Magnetska histereza<br />
+B [T]<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
-H -800 -600 -400 -200 200 400 600 800<br />
-0.2<br />
+H [Az/m]<br />
-0.4<br />
-H c<br />
-B r<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
-1.0<br />
-B<br />
SLIKA 3.11: Petlja histereze<br />
Magnetski materijali dijele se s obzirom na koercitivnost na meke i tvrde materijale.<br />
Meki materijali (slika 3.4 a) imaju malu koercitivnost, dakle usku petlju<br />
histereze, i veliku relativnu permeabilnost. Takvo je na primjer čisto željezo sa najvećim<br />
µ r = 180.000, legirani limovi sa 2 do 4% silicija, feriti i drugi. Treba istaknuti i<br />
leguru permaloj (78,5% Ni + 21,5% Fe) sa najvećim µ r = 85.000. Ti materijali koriste<br />
se za jezgre transformatora, statore i rotore električnih strojeva, releje i sl.<br />
Tvrdi magnetski materijali imaju veliku koercitivnost i veliku remanenciju, dakle<br />
veliku petlju histereze (slika 3.4 b). Služe za izradu trajnih magneta, a proizvode se<br />
od legura čelika s dodatkom volframa, kobalta, nikla, aluminija i titana. Ugljični<br />
kaljeni čelik ima na primjer H c = 5.000 A/m i B r = 0,9 T.<br />
3.5 MAGNETSKI KRUG<br />
86
Magnetski krug<br />
B<br />
B<br />
B r<br />
B r<br />
H c<br />
H<br />
H c<br />
H<br />
SLIKA 3.12: Magnetski materijali<br />
Koristeći opisane magnetske veličine moguće je, po analogiji s električnim krugom,<br />
govoriti o magnetskom krugu. U električnom krugu struja je veličina koja zatvara<br />
krug, u magnetskom krugu je to magnetski tok. Usmjeravanje magnetskog toka<br />
ostvaruje se s pomoću feromagnetskog materijala kruga. Rasipanje magnetskih<br />
silnica u prostor oko takva kruga se zanemaruje - velika permeabilnost feromagnetskog<br />
materijala čini da glavnina silnica prolazi kroz materijal (osim u slučaju<br />
zračnih raspora). Za jednostavni magnetski krug prikazan slikom 3.13 magnetski<br />
tok jednak je:<br />
φ = B · A = µ · H · A = µ N · I<br />
l<br />
· A = N · I<br />
1<br />
µ · l = M MS [W b] (3.7)<br />
R m<br />
A<br />
gdje su R m tzv. "magnetski otpor", a M MS "magnetomotorna sila". Dobiveni izraz<br />
sličan je izrazu za Ohm-ov zakon:<br />
I =<br />
E<br />
1<br />
γ · l = E MS<br />
R<br />
A<br />
(3.8)<br />
pa se stoga izraz (3.8) naziva Ohm-ov zakon za magnetske krugove.<br />
Tok φ odgovara električnoj struji I , a magnetomotorna sila M MS elektromotornoj<br />
sili E MS. Permeabilnost magnetskog materijala odgovara specifičnoj vodljivosti<br />
metalnog vodiča, pa se uz sličnost odnosa duljine i presjeka, govori o magnetskom<br />
otporu R m , analogno električnom otporu R.<br />
U slučaju složenog magnetskog kruga, dobivenog na primjer zračnim rasporom<br />
(slika 3.13 b)) u jednostavnom magnetskom krugu, prilike se mijenjaju. Magnetski<br />
otpor zračnog raspora razlikuje se od magnetskog otpora feromagnetskog materijala.<br />
S obzirom da je ukupni otpor povećan, slijedi da se magnetski tok smanjio (uz<br />
konstantnu struju).<br />
87
3. MAGNETIZAM<br />
I<br />
φ<br />
l<br />
I<br />
φ<br />
B 1 ,µ 1<br />
N<br />
N<br />
l 2<br />
B 2 ,µ 2<br />
µ<br />
B<br />
a) jednostavan<br />
b) složen<br />
SLIKA 3.13: Magnetski krug<br />
N · I<br />
φ =<br />
1<br />
· l1 + 1 =<br />
M MS<br />
· l2 R m1 + R m2<br />
µ 1 A 1 µ 2 A 2<br />
Ako bi se htjela održati indukcija kao u slučaju bez zračnog raspora, potrebno je<br />
više amper-zavoja uzbude. Dobro je uočiti da se i ovdje magnetski otpor serijskog<br />
spoja magnetskih otpora dobiva njihovim zbrajanjem (kao što bi se magnetski otpor<br />
njihovog paralelnog spoja dobio kao recipročna vrijednost zbroja pojedinačnih<br />
recipročnih vrijednosti). Iz izraza (3.13) slijedi:<br />
odakle je:<br />
φ<br />
A 1<br />
· l1<br />
µ 1<br />
+ φ A 2<br />
· l2<br />
µ 2<br />
= N · I<br />
odnosno:<br />
B 1 · l1<br />
µ 1<br />
+ B 2 · l2<br />
µ 2<br />
= N · I<br />
H 1 · l 1 + H 2 · l 2 = N · I (3.9)<br />
što je u skladu s već dobro poznatim zakonom protjecanja (3.1). U magnetskim<br />
krugovima dakle zakon protjecanja odgovara drugom Kirchhoff-ovu zakonu u električnim<br />
krugovima.<br />
Najopćenitije gledajući zakon protjecanja može se prikazati u obliku diskretnog<br />
(pojedinačnog) zbroja:<br />
88<br />
∑<br />
H i · l i = N · I = ∑ I (3.10)<br />
i
Djelovanje magnetskog polja<br />
gdje se svaki pojedinačni element magnetskog kruga može razlikovati po bilo<br />
kojoj magnetskoj ili geometrijskoj veličini:<br />
Ako se povežu izrazi (3.10) i (3.11) slijedi:<br />
H i = B i<br />
µ i<br />
= φ i<br />
A i · µ i<br />
(3.11)<br />
N · I = φ i · l i<br />
A i · µ i<br />
što za zatvoreni krug (bez grananja i rasipanja, dakle uz konstantni tok φ) daje<br />
ekvivalent II. Kirchhoff-ovog zakona za magnetski krug :<br />
φ =<br />
∑<br />
i<br />
N · I<br />
1<br />
µ i<br />
· li<br />
A i<br />
3.6 DJELOVANJE MAGNETSKOG POLJA<br />
Već je u uvodu o magnetizmu konstatirano da svaki gibljivi naboj stvara magnetsko<br />
polje. Isto tako rečeno je da je magnetsko polje karakterizirano silom kojom se dva<br />
pola magneta (ovisno o polaritetu) privlače ili odbijaju. To znači da će i na gibljivi<br />
naboj u magnetskom polju djelovati sila.<br />
Sila će djelovati i na struju koja teče kroz vodič, ako se ovaj na ¯de u magnetskom<br />
polju, jer struja nije ništa drugo nego niz naboja u gibanju. Pritom nije važno kako<br />
nastaje magnetsko polje koje djeluje silom - je li to magnetsko polje permanentnog<br />
magneta, elektromagneta ili jednostavno žice kojom struja teče. To navodi na zaključak<br />
da postoji sila i me ¯du vodičima kojima teku struje.<br />
Svaki od tih slučaja razmatrat će se posebno.<br />
3.6.1 SILA NA GIBLJIVI NABOJ<br />
Ako se naboj kreće u magnetskom polju, na njega djeluje sila. Pokazuje se da je sila<br />
razmjerna iznosu naboja, njegovoj brzini i indukciji magnetskog polja, a budući da<br />
su sila, brzina i indukcija vektorske veličine, slijedi:<br />
−→ F = Q · (<br />
−→ v ×<br />
−→ B ) (3.12)<br />
Izraz u zagradi predočuje vanjski umnožak ("ex-produkt") vektora −→ v i −→ B . Sila<br />
je okomita istodobno i na vektor brzine i na vektor indukcije, dakle na ravninu koju<br />
odre ¯duju vektori brzine i indukcije (slika 3.6.1). Iznos vektora ( −→ v × −→ B ) izračunava<br />
se prema:<br />
89
3. MAGNETIZAM<br />
F=QvB<br />
F=QvB· sinα<br />
B<br />
v<br />
+Q +<br />
B<br />
Q<br />
α<br />
+<br />
α<br />
v· sinα<br />
SLIKA 3.14: Djelovanje sile na naboj koji se giba u magnetskom polju pod kutem<br />
a) a = 90 b) a < 90<br />
F = Q · v · B · sin(α) (3.13)<br />
gdje je α kut izme ¯du vektora brzine i indukcije. Smjer vektora ima smjer napredovanja<br />
vijka s desnim navojem kad rotira preko manjeg kuta od v u B (slika 3.6.1<br />
b.<br />
Djelovanje sile na gibljivi naboj objašnjava se promjenama nastalim u magnetskom<br />
polju u kojem se naboj kreće. Kako se vidi na slici 3.6.1 a), silnice magnetskog<br />
polja B v stvorenog gibanjem pozitivnog naboja u području −1− podudaraju<br />
se sa smjerom polja B m u kojem se naboj kreće, dok im je u području −2− smjer<br />
suprotan. Rezultantno polje prikazano je na slici 3.6.1 b) sa smjerom sile od područja<br />
s gušćim tokom, prema području s manjom gustoćom toka. Kaže se da se<br />
naboj ’istiskuje’ prema polju manje gustoće. Okomit smjer od oka promatrača na<br />
površinu označuje se s križićem ⊗, a suprotan smjer s točkom ⊙.<br />
Treba naglasiti da je smjer djelovanja sile za negativan naboj suprotan smjeru<br />
sile na pozitivan naboj:<br />
−→ F −Q = −Q · ( −→ v × −→ B ) = − −→ F +Q (3.14)<br />
a) zajedno sa poljem u kojem se naboj giba b) rezultantno polje<br />
Primjer: Uleti li nabijena čestica u homogeno magnetsko polje indukcije B s<br />
brzinom v okomitom na polje (slika 3.16), sila F jednaka (Q · v · B) djelovat će na<br />
česticu u svakoj točki.<br />
Budući da je sila okomita na brzinu neće se mijenjati iznos te brzine, već samo<br />
njezin smjer. Na slici 3.16 prikazani su vektori brzine i sile. Čestica se dakle kreće<br />
pod djelovanjem sile koje je iznos konstantan, ali smjer je uvijek pod pravim kutem<br />
na brzinu čestice.<br />
90
Djelovanje magnetskog polja<br />
2 1<br />
F<br />
B v<br />
B m<br />
SLIKA 3.15: Magnetsko polje naboja u gibanju<br />
B<br />
v<br />
x x x x x x x x x<br />
Q<br />
x x x x x x x x x<br />
B<br />
x x x x x x x x x<br />
R<br />
x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x<br />
F<br />
x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x<br />
Q<br />
x x x x x x x x x<br />
F<br />
F<br />
v<br />
Q<br />
v<br />
v<br />
F<br />
+Q<br />
SLIKA 3.16: Gibanje nabijene čestice u magnetskom polju<br />
Iz toga slijedi da je putanja čestice kružnica, opisana s konstantnom tangencijalnom<br />
brzinom v, a sila F je centripetalna sila. Budući da je centripetalna akceleracija<br />
jednaka v 2<br />
r<br />
, iz drugog Newton-ova zakona slijedi:<br />
Q · v · B = m · v 2<br />
pa je polumjer kružne putanje nabijene čestice jednak:<br />
r<br />
r = m · v<br />
Q · B<br />
(3.15)<br />
Ako je poznata masa čestice m i njezin naboj Q, kao i indukcija B u kojoj se čestica<br />
kreće, može se, koristeći izraz (3.15), odrediti vrijeme jednog obilaska, odnosno<br />
frekvencija kruženja čestice:<br />
T = 1 f = l v = 2π · r<br />
v<br />
= 2π · m<br />
Q · B<br />
91
3. MAGNETIZAM<br />
Dobro je uočiti da frekvencija ne ovisi o polumjeru kružne staze i da se povećanjem<br />
indukcije povećava. Opisani primjer temelj je rada akceleratora čestica (ciklotrona)<br />
koji se koriste u nuklearnoj fizici.<br />
3.6.2 SILA NA VODIČ KOJIM TEČE STRUJA<br />
Magnetska sila na vodič kojim teče električna struja posljedica je sile na svaki pojedini<br />
naboj koji se kreće u magnetskom polju. Korištenjem izraza (3.12) za magnetsku<br />
silu na naboj dobiva se izraz za silu na vodič kojim teče struja (gibanje diferencijala<br />
naboja brzinom v), a vodič je postavljen okomito na magnetske silnice.<br />
dF = B · dQ · v = B · dQ · dl<br />
d t = B · dQ · dl = B · I · dl (3.16)<br />
d t<br />
pa je na duljini l ukupna sila prema gornjem izrazu (3.16)jednaka:<br />
F = B · I · l (3.17)<br />
Ako vodič zatvara kut s magnetskom indukcijom, izraz (3.17) postaje:<br />
F = B · I · l · sin(α)<br />
što je prikazano na slici 3.17.<br />
ili vektorski<br />
−→ F = I · (<br />
−→ l ×<br />
−→ B )<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
B<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
F<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
B<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
I<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
I<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
l<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
SLIKA 3.17: Sila na vodič kojim teče struja<br />
Primjer: Instrument s pomičnim svitkom i permanentnim magnetom, nazvan<br />
galvanometar, radi na načelu sile koja se javlja na vodič kroz koji teče struja u<br />
magnetskom polju. Protumoment ovoj sili drži mehanička spirala (slika 3.18 a). Na<br />
svitak je namotano N zavoja tanke žice promjera zavoja d i duljine zavoja l (slika<br />
3.18 b). Svitak je postavljen unutar polova permanentnog magneta. Zbog preglednosti<br />
je nacrtan samo jedan zavoj.<br />
92
Djelovanje magnetskog polja<br />
N<br />
+<br />
-<br />
d<br />
l<br />
a) b)<br />
SLIKA 3.18: Dijelovi galvanometra<br />
Kad kroz svitak poteče struja, javlja se sila na svakoj strani svitka, kako se vidi na<br />
slici 3.19. Električni moment jednak je:<br />
a mehanički protumoment<br />
M el = B · I · l · N · d = k e · I (3.18)<br />
M meh = k m · α (3.19)<br />
gdje su k e i k m električna i mehanička konstanta razmjernosti, a α otklon kazaljke<br />
pričvršćene na osovini svitka. Povezujući oba izraza (3.18) i (3.19) slijedi:<br />
α = k e<br />
k m<br />
· I = k · I<br />
Otklon je dakle razmjeran jakosti struje koja teče svitkom, pa se galvanometar<br />
ponajprije koristi za mjerenje struje (ampermetar), a posredno i kao voltmetar i<br />
ommetar. Polovi magneta lučno se profiliraju kako bi se vodiči i pri zakrenutom<br />
svitku (i kazaljci) uvijek nalazili pod djelovanjem istog iznosa indukcije.<br />
B<br />
F<br />
d<br />
F<br />
SLIKA 3.19: Galvanometar<br />
3.6.3 SILA IZMEÐU DVA VODIČA KOJIMA TEKU STRUJE<br />
93
3. MAGNETIZAM<br />
Izme ¯du dva vodiča kroz koje teku struje javlja se sila. Zbog jednostavnosti izvoda<br />
pretpostavlja se da su vodiči ravni, dugi i me ¯dusobno paralelni na udaljenosti d.<br />
Iz slike 3.20 vidi se da će sila F 1 , kojom magnetsko polje H 1 (nastalo strujom I 1 )<br />
privlači vodič kroz koji teče struja I 2 , biti jednaka:<br />
a jakost magnetskog polja:<br />
F 1 = B·I 2 · l = µ 0 · H 1 · I 2 · l (3.20)<br />
H 1 = I 1<br />
2π · d<br />
Povezujući izraze (3.20) i (3.21) dobiva se:<br />
F 1 = µ 0 · I 1 · I 2 · l<br />
2π · d<br />
(3.21)<br />
[N ] (3.22)<br />
I 1 I 2<br />
F 2 F 1<br />
H 2 H 2<br />
l<br />
d<br />
SLIKA 3.20: Sila izme ¯du dva vodiča protjecana strujom<br />
Treba uočiti da i magnetsko polje struje I 2 djeluje istom silom na vodič kojim<br />
teče struja I 1 . Takvo djelovanje dviju struja naziva se elektrodinamičko djelovanje.<br />
Koristeći pravilo za smjer sile, izraz (3.13), lako je zaključiti da će se dva paralelna<br />
vodiča u kojima teku struje u istom smjeru me ¯dusobno privlačiti, dok će se<br />
u paralelnim vodičima u kojima teku struje u različitom smjeru me ¯dusobno odbijati.<br />
Razmatranja gustoće silnica potvr ¯duje ovaj zaključak: u području izvan vodiča,<br />
polje je jače, jer se magnetska djelovanja oba vodiča potpomažu, a izme ¯du vodiča<br />
polja djeluju suprotno. Sile nastoje istisnuti vodiče prema području sa slabijom<br />
gustoćom polja. Kod struja različitih smjerova vodiči se privlače.<br />
U SI sustavu jedinica definiran je amper (A) na temelju predočenog elektrodinamičkog<br />
djelovanja:<br />
Električna struja ima jakost jedan amper (A) ako prolazeći kroz jako dugi i jako<br />
tanki vodič djeluje u vakuumu na isto takvu paralelnu struju u udaljenosti od jednog<br />
metra silom 2 · 10 −7 njutna po jednom metru duljine vodiča (slika 3.21).<br />
Iznos sile slijedi iz izravnog uvrštavanja vrijednosti d = 1 m, I 1 = I 2 = 1 A, u izraz<br />
(3.22), pa je:<br />
94<br />
F 1 = µ 0 · 1 · 1 · 1<br />
2π · 1<br />
4π · 10−7<br />
= = 2 · 10 −7 N<br />
2π
Elektromagnetska indukcija<br />
1 A 1 A<br />
F = 2 · 10 −7 N<br />
1m<br />
1m<br />
SLIKA 3.21: Definicija jedinice amper<br />
3.7 ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA<br />
Neposredno pretvaranje mehaničke energije u električnu je moguće. Do tog izuzetnog<br />
otkrića došla su 1831. godine nezavisno i istodobno dva znanstvenika: M. Faraday<br />
u Velikoj Britaniji i J. Henry u Americi. Današnja proizvodnja, prijenos i potrošnja<br />
električne energije nezamislive su bez tog otkrića.<br />
Svaka promjena, svako djelovanje u prirodi ima svoju posljedicu. Tako na primjer<br />
gibanje naboja stvara magnetsko polje, koje prema (3.3) nestaje tek u beskonačnosti.<br />
Gibanje naboja u magnetskom polju ne ostaje nazapaženo - na njega<br />
djeluje sila. Postavlja se pitanje: može li možda magnetsko polje pokretati električni<br />
naboj, uzrokovati struju? Odgovor je: Može, ako se polje mijenja!<br />
Faraday je u okoliš magneta donio žičani zavoj (slika 3.7). Onda je naglo udaljio<br />
magnet (ili zavoj, svejedno): u žici je potekla električna struja!<br />
+B [T]<br />
1.0<br />
+B [T]<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.8<br />
0.6<br />
B r<br />
0.6<br />
B r<br />
0.4<br />
0.4<br />
0.2<br />
0.2<br />
-H -400 -200<br />
-0.2<br />
200 400 600 800 +H [Az/m]<br />
-H<br />
H c<br />
-600 -400 -200<br />
-0.2<br />
200 400 600 800+H [Az/m]<br />
-0.4<br />
-B<br />
-0.4<br />
-B<br />
SLIKA 3.22: Faraday-ev pokus elektromagnetske indukcije<br />
Magnetski se zavoj nije nalazio u polju iste jakosti prije i poslije udaljavanja<br />
95
3. MAGNETIZAM<br />
(jakost polja i broj silnica koje kroz zavoj prolaze opada s udaljenošću). Uzrok je<br />
dakle promjena magnetskog toka. A posljedica svakako je električno polje, jer bez<br />
njega nema ni struje.<br />
Opisanu pojavu vrijedno je pobliže razmotriti. Ako se vodič duljine l kreće<br />
u magnetskom polju brzinom v okomito na polje (prema slici 3.7 a) magnetske<br />
silnice idu od oka promatrača okomito na površinu), onda na svaki naboj u tom<br />
vodiču djeluje sila F = Q · v · B, prema (3.12). No kako ta sila prema (3.14) ima<br />
suprotan smjer za naboje različitog polariteta, slijedi da će se slobodan, negativan<br />
naboj vodiča pomaknuti na jednu, a pozitivan naboj na drugu stranu. Pokusom se<br />
to može provjeriti tako da se vodič prilikom gibanja prepolovi. Svaka polovica bit<br />
će nabijena, i to nabojem suprotnog polariteta.<br />
B<br />
a<br />
B<br />
+<br />
v<br />
v<br />
b<br />
-<br />
a) b)<br />
SLIKA 3.23: Elektromagnetska indukcija<br />
Na slici 3.7 b) prikazane su i silnice električnog polja koje nastaje zbog prisutnosti<br />
nabijenih krajeva vodiča. Ta se pojava naziva elektromagnetska indukcija,<br />
dobiveni naboj inducirani naboj, a dobivena razlika potencijala inducirani napon.<br />
Ako se to kretanje vodiča ostvari na vodljivom okviru (slika 3.24), onda će inducirani<br />
naboj poteći okvirom i struja će teći sve dok se vodič po okviru giba. Ta se<br />
struja naziva inducirana struja. Izraz za iznos induciranog naboja najlakše se dobiva<br />
preko energetskih odnosa. Naime, pomak naboja Q od točke a do b znači rad<br />
ostvaren silom F na putu l . Iznos sile je poznat (3.12), pa slijedi:<br />
No kako je prema (1.10)<br />
W = F · l = Q · l · v · B [J] (3.23)<br />
e = W Q<br />
(3.24)<br />
iz (3.23) i (3.24) slijedi:<br />
e = l · v · B (3.25)<br />
96
Elektromagnetska indukcija<br />
Inducirani napon ovisi dakle o duljini i brzini vodiča koji se kreće u magnetskom<br />
polju i iznosu magnetske indukcije tog vektora v i B.<br />
Inducirani napon može se promotriti i s druge točke gledišta. Za infinitezimalni<br />
pomak vodiča u gibanju, površina okvira abcd se poveća (ako je pomak u desno, ili<br />
smanji ako je pomak u lijevo), prema slici 3.24, za iznos:<br />
d A = l · d s<br />
Budući da magnetski tok φ ovisi o površini A, slijedi da će se i on promijeniti:<br />
dφ = B · d A = B · l · d s (3.26)<br />
Taj se pomak dogodio u infinitezimalnom vremenu d t, pa (3.26) postaje:<br />
dφ<br />
d t = l · B · d s<br />
d t = l · B · v (3.27)<br />
d s<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
l<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
x x x x x x x x x x x x x<br />
SLIKA 3.24: Gibanje vodiča po metalnom okviru<br />
Budući da je (l ·B · v) jednako induciranom naponu slijedi da je trenutna vrijednost<br />
napona numerički jednaka brzini promjene magnetskog toka, pa se iz (3.25) i<br />
(3.27) dobiva:<br />
e = − dφ<br />
d t<br />
(3.28)<br />
Negativan predznak govori o smjeru induciranog napona koji je takav da izaziva<br />
posljedice koje će se suprostavljati promjeni polja. Izraz (3.28) poznat je kao Faradayev<br />
zakon elektromagnetske indukcije.<br />
Faraday-ev zakon sadrži mnogo više nego što je bilo pokazano. Svejedno je<br />
pomiče li se magnet ili zavoj: napon se inducira ako se tok mijenja. Štoviše, ima<br />
slučaja kad je i vodič i polje (magnet) u mirovanju, a postoji vremenska promjena<br />
polja - i onda se u vodiču izloženom tim promjenama inducira napon. Vremenska<br />
promjena toka dφ obično se ostvaruje ili promjenom efektivne površine u stalnoj<br />
magnetskoj indukciji B (npr. okretanjem ili pomakom zavoja) ili izmjeničnom strujom<br />
koja stvara izmjenični tok.<br />
97
3. MAGNETIZAM<br />
3.7.1 LENZ-OVO PRAVILO<br />
Njemačkom znanstveniku F. E. Lenz-u pripisuje se sljedeće korisno pravilo za predvi<br />
¯danje smjera inducirane struje. Ono glasi: Djelovanje induciranih veličina uvijek<br />
se suprotstavlja ili opire uzroku induciranja.<br />
Neka se u razmatranje uzme već opisani primjer sa slike 3.24. Inducirana struja<br />
će tako ¯der, prema (3.3), stvarati oko gibanog vodiča koncentrično magnetsko polje,<br />
koje se unutar okvira suprotstavlja polju u kojem se vodič kreće. Na slici 3.24 površina<br />
se povećava, a s njom i magnetski tok i to je uzrok induciranja. Inducirana struja<br />
pak smanjuje iznos toka (jer generira drugi tok suprotnog smjera).<br />
Kad bi se vodič kretao u suprotnom smjeru, i struja bi imala suprotan smjer od<br />
prikazanog. U tom bi slučaju polje opadalo, a inducirana struja bi ga podržavala<br />
(uvećavala). Lezov se zakon očituje i u tomu što sila na vodič protjecan strujom u<br />
magnetskom polju indukcije B ima smjer suprotan smjeru brzine vodiča, što zanči<br />
da treba svladavti silu, tj. ulagati enegiju da bi se došlo do inducirane struje.<br />
Lenzov zakon ima sličnosti s mehaničkim načelom inercije. Kad god pokušamo<br />
promijeniti status quo prirodnog sustava, sustav će učiniti sve moguće da nas u<br />
tome spriječi. U ovom smislu negativan predznak Faraday-eva zakona (3.28) postaje<br />
jasniji.<br />
3.7.2 SAMOINDUKCIJA<br />
Istosmjerna struja stvara stalni (konstantni) magnetski tok, a izmjenična izmjenični.<br />
Svaki promjenljivi tok, a to znači i izmjenični, inducira napon. U zavojnici kojom<br />
teče izmjenična struja inducirat će se dakle napon zbog promjena toka vlastite<br />
struje (koja mijenja magnetski tok). Dakako, napon će se inducirati, prema Faradayevu<br />
zakonu (3.28) kako god se tok mijenja. Ta se pojava induciranja napona proizvedenog<br />
od vlastitog promjenljivog toka zove samoindukcija.<br />
Neka je idealna zavojnica s N zavoja smještena na jezgru torusnog oblika kao<br />
na slici 3.25.<br />
i<br />
d φ<br />
d t<br />
e s<br />
N<br />
SLIKA 3.25: Samoindukcija<br />
Napon samoindukcije e s ovisi o broju zavoja i brzini promjene toka, prema<br />
98
Me ¯duindukcija<br />
(3.28) :<br />
e = −N · dφ<br />
(3.29)<br />
d t<br />
Prema (3.7) za jednostavni magnetski krug vrijedi razmjernost promjene toka i<br />
promjene struje:<br />
dφ = µ · N · A<br />
l<br />
Uvrštenjem (3.30) u (3.29) dobiva se:<br />
· di (3.30)<br />
odakle slijedi:<br />
µ · N · A<br />
· di<br />
e s = −N ·<br />
l<br />
d t<br />
e s = −N · µ · N · A<br />
l<br />
· di<br />
d t = − µ · N 2 · A<br />
· di<br />
l d t<br />
Koeficijent µ · N 2 · A<br />
naziva se koeficijent samoindukcije ili induktivitet zavojnice<br />
i označuje se s L. Jedinica mu je henri<br />
l<br />
(H).<br />
e s = −L · di<br />
d t<br />
Henri je složena jedinica koja se može izraziti preko drugih jedinica:<br />
[ ] [ ]<br />
V s W b<br />
[H] = =<br />
A A<br />
Prema II. Kirchhoff-ovu zakonu mora vrijediti : e s + e = 0.<br />
(3.31)<br />
3.8 MEÐUINDUKCIJA<br />
Zanimljivo je promotriti utjecaj promjenljivog toka jednog svitka (zavojnice) na<br />
drugi svitak koji obuhvaća čitav ili dio promjenljivog toka. Neka se na istu jezgru<br />
sa slike 3.25 namota nova zavojnica s N 2 zavoja, kako je prikazano na 3.26. Promjenljiva<br />
struja u prvoj zavojnici stvara promjenljivi magnetski tok φ u jezgri. Zbog<br />
samoindukcije u prvoj se zavojnici inducira napon:<br />
e 1 = −N 1 · dφ 1<br />
(3.32)<br />
d t<br />
Me ¯dutim i druga zavojnica obuhvaća isti promjenljivi tok. Zato će se i u njoj<br />
inducirati napon, ovisno o broju njezinih zavoja:<br />
e 2 = −N 2 · dφ 1<br />
d t<br />
(3.33)<br />
99
3. MAGNETIZAM<br />
i 1<br />
d φ<br />
d t<br />
e 1 ,e s N 1 N 2 e 2<br />
SLIKA 3.26: Me ¯duinduktivna veza<br />
Treba još pogledati o čemu ovisi promjenljivi tok φ 1 , napisati uzrok njegove<br />
promjene. Slično kao kod samindukcije iz (3.4), (3.5) i (3.7) slijedi:<br />
Uvrštenjem u (3.33) dobiva se:<br />
φ 1 = B · A = µ · H 1 · A = µ · N1 · i 1<br />
l<br />
· A<br />
e 2 = − µ · N 1 · N 2 · A<br />
l<br />
· di 1<br />
d t = −M · di 1<br />
d t<br />
(3.34)<br />
Koeficijent M naziva se me ¯duinduktivitet i ima istu jedinicu henri (H) kao i induktivitet.<br />
Me ¯duinduktivitet se može izraziti i preko induktiviteta pojedinih svitaka.<br />
Budući da oba svitka obuhvaćaju istu jezgru, prema slici 3.26, za L 1 slijedi:<br />
i potpuno analogno za L 2 :<br />
L 1 = − µ · N 2 1 · A<br />
l<br />
= N 1<br />
2<br />
1<br />
µ · l = N 1<br />
2 (3.35)<br />
R m<br />
A<br />
L 2 = − µ · N 2 2 · A<br />
l<br />
Povezujući (3.32) sa (3.33) i (3.34) dobiva se:<br />
= N 2<br />
2<br />
1<br />
µ · l = N 2<br />
2<br />
R m<br />
A<br />
M = − N <br />
1 · N 2 L1 · R m ·L<br />
2 · R m<br />
=<br />
= √ L 1 · L 2<br />
R m R m<br />
Ta je veza dobivena za slučaj potpunog magnetskog vezanja - sav tok od prve<br />
zavojnice prolazi kroz drugu zavojnicu. Ako to nije slučaj, u proračun me ¯duinduktiviteta<br />
treba uzeti i dodatni faktor k magnetskog vezanja.<br />
M = k ·√L<br />
1 · L 2<br />
100
Energija magnetskog polja<br />
Primjer: Zanimljivo je pokazati vezu induciranog napona u drugoj zavojnici<br />
(sekundar) s naponom prve zavojnice (primar). Ako se izraz (3.32) podijeli s izrazom<br />
(3.33) dobiva se:<br />
iz čega slijedi napon sekundara:<br />
e 1<br />
e 2<br />
= N 1<br />
N 2<br />
(3.36)<br />
e 2 = N 2<br />
N 1<br />
· e 1 (3.37)<br />
Iz (3.36) vidi se da se naponi primara i sekundara odnose kao omjeri njihovih<br />
brojeva zavoja. Izlazni napon može se mijenjati promjenom omjera broja zavoja,<br />
izraz (3.37). Na tom načelu radi transformator (slika 3.27).<br />
i 1<br />
e 1 N 1 N 2<br />
e 2<br />
SLIKA 3.27: Transformator<br />
Treba imati na umu da je inducirani napon posljedica promjene toka, te je stoga<br />
uvijek promjenljiv. U praksi se izmjenični napon primara transformira u izmjenični<br />
napon željenog iznosa na sekundaru.<br />
Kod idealnog transformatora (bez gubitaka), snage na primarnoj i sekundarnoj<br />
strani jednake su, što znači da je pri višem sekundarnom naponu (veći broj zavoja<br />
sekundara), sekundarna struja manja. Dobiti veći napon na sekundarnoj strani<br />
(povećanjem broja zavoja) moguće je samo uz smanjenje sekundarne struje.<br />
Transformatori tako i služe pri prijenosu energije na velike udaljenosti. Visokonaponski<br />
dalekovodi imaju vrlo visok napon, uz malu struju, čime se minimiziraju<br />
gubici zbog zagrijavanja vodiča (voda).<br />
3.9 ENERGIJA MAGNETSKOG POLJA<br />
Magnetsko polje, kao i električno, posjeduje energiju. Iznos energije W pohranjene<br />
u zavojnici induktiviteta L jednak je radu koji se obavi pomicanjem naboja<br />
protiv napona samoindukcije e s . U početku t = 0, neka je i = 0, a nakon toga neka<br />
101
3. MAGNETIZAM<br />
struja raste s prirastom di /d t. U vremenskom intervalu d t naboj koji kroz zavojnicu<br />
pro ¯de je prema (2.2):<br />
dQ = i · d t<br />
a samoinducirani napon koji sprečava gibanje naboja je prema izrazu (3.31) jednak:<br />
Iz toga slijedi da je učinjeni rad:<br />
e s = −L · di<br />
d t<br />
dW = −e s · dQ = L · di<br />
d t · i · d t = L · i · di<br />
Ukupan rad W potreban za povećanje struje od nule do i je prema tomu:<br />
W = 1 2 L · i 2 (3.38)<br />
Dok teče struja zavojnica induktiviteta L posjeduje energiju sadržanuu magnetskom<br />
polju.<br />
Ako napon na zavojnici koji je struju prouzrokovao trenutačno nestane, onda<br />
će ta energija sprečavati trenutni pad struje na nulu.<br />
Zanimljivo je pogledati gdje je ova energija uskladištena (u električnom polju<br />
kondenzatora bila je u dielektriku izme ¯du ploča). Ako se u (3.38) uvrsti L iz (3.35) i<br />
I iz (3.9) slijedi:<br />
W = 1 2 L · i 2 = 1 2 · µ · N 2 · A<br />
l<br />
( ) H · l 2<br />
= µ · H 2<br />
· A · l<br />
N 2<br />
Budući da je A ·l = V ol može se zaključiti da je energija pohranjena u volumenu<br />
V ol magnetskog polja koji zavojnica obuhvaća (npr. volumenu torusa kod torusne<br />
zavojnice) i da ovisi o kvadratu jakosti magnetskog polja, odnosno indukcije koja<br />
tu postoji.<br />
W = µ · H 2<br />
·V ol = B 2<br />
2 2µ ·V ol = B · H<br />
2<br />
·V ol<br />
3.9.1 IZMJENIČNO MAGNETIZIRANJE ŽELJEZA<br />
Ako se feromagnetski materijal nalazi u magnetskom polju kojem se neprestano<br />
mijenja smjer (na primjer, polje koje stvara izmjenična struja), onda će promjena<br />
jakosti polja mijenjati indukciju na način opisan u potpoglavlju 3.4.<br />
Jednim periodom izmjenične struje opisat će se jedna petlja histereze, a okretanjem<br />
smjera magnetskih dipola u feromagnetskom materijalu razvijat će se toplina.<br />
Može se zamisliti stanovito ’unutrašnje trenje’ prilikom njihova okretanja.<br />
102
Energija magnetskog polja<br />
Diferencijal utrošene energije za porast struje i u vremenu d t koja uzrokuje<br />
promjenu jakosti polja, a s njim i promjenu indukcije dB jednak je:<br />
dW = e · i · d t = N · dφ<br />
d t · H · l · d t = d(B · A) · H · l = H · A · l · dB (3.39)<br />
N<br />
odakle slijedi uz V ol = A · l<br />
dW = H ·V ol · dB<br />
Ukupna energija dovedena u jednom periodu bit će:<br />
∫<br />
W =<br />
dW = V ol<br />
∫<br />
H · dB (3.40)<br />
gdje je V ol - volumen koji zavojnica, odnosno torusna jezgra unutar zavojnice ima.<br />
Integraciju treba dakle obaviti po zatvorenoj krivulji histereze, kao što je to prikazano<br />
na slici 3.28. Poteškoća je me ¯dutim što H nije moguće izraziti kao jednostavnu<br />
funkciju od B, pa se integral u izrazu (3.40) ne može izračunati analitički.<br />
B<br />
dB<br />
H<br />
H<br />
SLIKA 3.28: Izmjenično magnetiziranje feromagnetskog materijala<br />
Integracija po zatvorenoj krivulji rezultira površinom koju zatvara, pa kao neposredni<br />
zaključak slijedi da je utrošena energija to veća što je površina histereze veća. To<br />
isto slijedi i za razvijenu toplinu, pa se toplinski gubici prilikom magnetiziranja i<br />
zovu gubici petlje histereze. Da bi se gubici energije zbog histereze smanjili, poželjno<br />
je da njezina površina bude što manja.<br />
Osim gubitaka zbog histereze u jezgri postoje i gubici zbog tzv. vrtložnih struja.<br />
Promjenljivo magnetsko polje ima za posljedicu ne samo induciranje napona u zavojnici<br />
oko jezgre nego i u feromagnetskoj jezgri kao vodiču. Posljedica pak induciranog<br />
napona u masivnom vodiču su vrtložne struje. Toplinski gubici zbog<br />
vrtložnih struja nisu zanemarivi. Zbog toga se dijelovi električkih strojeva izloženi<br />
izmjeničnom magnetiziranju izra ¯duju od me ¯dusobno izoliranih limova kako bi se<br />
vrtložne struje smanjile.<br />
103
3. MAGNETIZAM<br />
Ako se iznos izmjenične struje nakon svakog perioda smanji za odgovarajući<br />
iznos, onda se i petlja histereze smanjuje, kako se vidi na slici 3.29 Nakon smanjivanja<br />
iznosa struje na nulu jezgra više nema magnetska svojstva (B = 0 uz H = 0).<br />
Taj se postupak zove razmagnetiziranje jezgre.<br />
B<br />
H<br />
SLIKA 3.29: Razmagnetiziranje jezgre<br />
3.9.2 PRIVLAČNA SILA MAGNETA<br />
Poznavajući energiju koju (elektro)magnet ima nije teško odrediti silu kojom magnet<br />
privlači ili nosi feromagnetski uzorak. S obzirom da je energija, odnosno rad,<br />
jednak sili na odre ¯denom putu, prema slici 3.30 i izrazu (3.39) može se pisati :<br />
i<br />
dW = B 2<br />
2µ 0<br />
· dV = B 2<br />
2µ 0<br />
· A · dl (3.41)<br />
dW = F · dl (3.42)<br />
pa je iz (3.42) i (3.41):<br />
F = B 2<br />
2µ 0<br />
· A<br />
Nosiva, odnosno privlačna sila magneta razmjerna je kvadratu magnetske indukcije<br />
i efektivnoj (zajedničkoj) površini predmeta i magneta na kojoj ta indukcija<br />
djeluje.<br />
3.10 APPLETI<br />
104
Appleti<br />
SLIKA 3.30: Privlačna sila magneta<br />
N<br />
dl<br />
A<br />
B<br />
F<br />
3.10.1 NABOJ U MAGNETSKOM POLJU<br />
SLIKA 3.31: Naboj u magnetskom polju<br />
Pomoću klizača namješta se:<br />
• B (UPPER) - gustoću magnetskog toka u gornjoj polovici prozora<br />
105
3. MAGNETIZAM<br />
• B (LOWER) - gustoću magnetskog toka u donjoj polovici prozora<br />
• MASS - masu naboja koji ulijeće u magnetsko polje<br />
• VELOCITY - brzinu s kojom naboj ulijeće u magnetsko polje<br />
• ANGLE - kut ulijetanja naboja click-om na gumb RESET vraćamo simulaciju<br />
na početak.<br />
3.10.2 LORENTZ-OVA SILA<br />
SLIKA 3.32: Lorentz-ova sila<br />
Click-om na gumb:<br />
• ON/OFF - uključuje se i isključuje struja,<br />
• REVERSE CURRENT - mijenja se smjer struje,<br />
• TURN MAGNET - mijenja se smjer magnetskog polja.<br />
Tri izborne ponude ispod posljednjeg gumba odre ¯duju hoće li se vidjeti smjer:<br />
• Struje - crvene strelice<br />
• Magnetskog polja - plave strelice<br />
• Lorentzove sile - crne strelice<br />
106
Appleti<br />
Oko vodiča kojim teče struja postoji magnetsko polje. Ako se taj vodič nalazi u<br />
vanjskom magnetskom polju, na njega će djelovati sila, tako da će ga gurati u područje<br />
manje gustoće silnica ukupnog magnetskog polja, koje se dobiva zbrajanjem<br />
magnetskog polja vodiča i vanjskog magnetskog polja. Ova sila zove se Lorentzova<br />
sila. Prema (3.2) Iznos Lorenzove sile je<br />
gdje su:<br />
• F - sila na vodič<br />
• B - gustoća magnetskog toka<br />
• l - duljina vodiča<br />
F = B · I · l<br />
3.10.3 FARADAY-EV ZAKON<br />
SLIKA 3.33: Faraday-ev zakon<br />
Click-om na gumb:<br />
• START - pokreće se simulacija,<br />
• STOP - zaustavlja se simulacija.<br />
S pomoću izbornih ponuda bira se da li će se vidjeti smjer (strelice) za:<br />
• magnetsku silu,<br />
• magnetsko polje.<br />
107
3. MAGNETIZAM<br />
Klizači služe za namještanje brzine promjene toka (engl. vary speed) i jakosti<br />
magnetskog polja (engl. vary field strenght).<br />
Vertikalni štap se giba uzduž dva horizontalna vodiča i zatvara strujni krug. U<br />
krug je priključen ampermetar koji mjeri struju koja se inducira. Budući da je<br />
inducirana struja proporcionalna induciranom naponu v i = B · l · v, povećanjem<br />
brzine gibanja štapa i jakosti magnetskog toka struja će rasti. Vertikalni štap može<br />
se vući s pomoću miša lijevo i desno. Očevidno je kako smjer i brzina povlačenja<br />
utječu na induciranu struju, čiju jakost pokazuje ampermetar.<br />
3.10.4 LENNZ-OVO PRAVILO<br />
Povlačenjem miša uz pritisnutu lijevu tipku miša moguće je približavati i udaljavati<br />
magnet od vodiča (prstena).<br />
SLIKA 3.34: Lennz-ovo pravilo<br />
Kada se magnet približava vodiču (prstenu), tok magnetskog polja kroz prsten<br />
se povećava. U prstenu se inducira napon i teče struja. Smjer struje je takav da se<br />
magnetsko polje oko vodiča suprotstavlja povećanju magnetskog toka.<br />
Kada se magnet udaljava, inducirana struja i magnetsko polje oko vodiča ima<br />
suprotan smjer od onog kad se magnet približava. U ovom se slučaju magnetsko<br />
polje oko vodiča suprotstavlja smanjenju magnetskog toka.<br />
Lenzovo pravilo: Inducirani napon stvara struju takvog smjera da se ona svojim<br />
djelovanjem suprotstavlja promjeni (magnetskog toka) koja ga je izazvala.<br />
108
Zadaci<br />
3.11 ZADACI<br />
3.1 Na polovici radiusa jednog vodiča kružnog presjeka kroz koji teče struja<br />
konstantne gustoće J postoji magnetsko polje H 1 .<br />
a) koliki je iznos magnetskog polja na površini vodiča (izrazite ga pomoću<br />
H 1 ),<br />
b) označite na presjeku vodiča smjer magnetskog polja na površini vodiča<br />
uz slobodno izabran smjer struje,<br />
c) kako se mijenja iznos magnetskog polja od osi vodiča prema površini,<br />
prikažite grafički,<br />
d) izvedite ovisnost c).<br />
Rješenje: a) 2H 1 b) 0,75Ω d) 4 W d) 12 A, 2 A<br />
3.2 Ravan vodič duljine 1m, mase 0,00784 kg, smješten je u zraku okomito na<br />
horizontalno magnetsko polje jakosti 6,34 · 10 3 A/m. Na ¯dite potrebnu jakost struje<br />
da vodič miruje u magnetskom polju .<br />
Rješenje: 9,65 [A]<br />
3.3 Elektron ubrzan razlikom potencijala 300V giba se usporedno s ravnini<br />
vodičem od njega udaljenim 4 mm. Kolika sila djeluje na elektron ako vodičem<br />
prolazi struja jakosti 5 A?<br />
Rješenje: b) 4,12 · 10 −16 N<br />
3.4 Nabijena čestica uleti u homogeno magnetsko polje magnetske indukcije<br />
0,52 T brzinom 2 · 10 6 m/s. Koliki je specifični naboj čestice ako je ona u polju<br />
opisala luk polumjera 4 cm? Koja je to čestica?<br />
Rješenje: 0,961 · 10 8 ,<br />
proton<br />
3.5 Na zatvorenu željeznu jezgru srednje duljine 0,6 m i presjeka 5 cm 2 namotano<br />
je 450 zavoja kroz koje teče struja 8,8 A i stvara magnetski tok 700 Wb.<br />
a) kolika je indukcija,<br />
b) koliki je iznos jakosti magnetskog polja,<br />
c) koji je iznos relativne permeabilnosti željeza,<br />
d) koliki otpor ima zavojnica ako je na nju priključen napon 10 V,<br />
e) uz kvadratični profil presjeka jezgre i jednoslojan namot, koliki je iznos<br />
presjeka bakrene žice namotaja?<br />
109
3. MAGNETIZAM<br />
Rješenje: a) 1,4 T b) 6600 A/m c) 168,8 Vs/Am d) 1,136Ω e) 0,623 mm 2<br />
3.6 Kroz dva ravna usporedna vodiča teku struje 5 A i 10 A. Kolika sila djeluje<br />
me ¯du vodičima na duljinu 1m ako su oni me ¯dusobno udaljeni 10 cm?<br />
Rješenje: 0,0001 N<br />
3.7 U homogeno magnetsko polje magnetske indukcije 2·10 4 smješten je dugi<br />
ravni vodič okomito na silnice. Vodičem teče struja jakosti 50 A. Na ¯di geometrijsko<br />
mjesto točaka u kojima je magnetska indukcija jednaka nuli.<br />
Rješenje: 5 cm<br />
3.8 Kroz 800 zavoja namotanih na nemagnetično tijelo oblika torusa srednje<br />
dužine 0,2π m i presjeka 50 cm 2 teče struja I = 10 A.<br />
a) koliki je iznos jakosti magnetskog polja u zavojnici,<br />
b) koliki je induktivitet zavojnice,<br />
c) koliku magnetsku energiju sadrži zavojnica?<br />
Rješenje: a) 12734 A/m b) 6.4 mH c) 0,32 J<br />
3.9 Koji se napon inducira u zavojnici sa 10 zavoja površine 5 cm 2 ako tu zavojnicu<br />
za 0,005 s unesemo u magnetsko polje jakosti 8·10 4 A/m? Površina zavojnice<br />
okomita je na silnice.<br />
Rješenje: 0,1 [V]<br />
3.10 U zavojnici se za vrijeme 0,2 s promijeni jakost struje od 15 A na 10 A.<br />
Pritom se inducira napon 2 V. Koliki je induktivitet zavojnice?<br />
Rješenje: 0,08 H<br />
110
4<br />
POGLAVLJE<br />
PRIJELAZNE POJAVE<br />
Električki elementi koji mogu uskladištiti energiju električnog (kondenzator) i magnetskog<br />
(zavojnica) polja, mogu se nalaziti u dva stacionarna stanja: sa i bez energije.<br />
Od interesa je upoznati pojave koje nastaju pri prijelazu iz jednog u drugo<br />
stacionarno stanje, jer se njima obuhvaća preraspodjela energije u strujnim krugovima,<br />
što je čest slučaj u praksi. Skup svih doga ¯daja pri tom prijelazu obuhvaća<br />
naziv ’prijelazne pojave’. Glavno pitanje koje se u sljedećim točkama rješava jest:<br />
kako se mijenja napon i struja na kondenzatoru i zavojnici izme ¯du dva stacionarna<br />
stanja.<br />
4.1 RC-KRUG<br />
4.1.1 ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA<br />
Kad se prazan kondenzator priključi na izvor napona V , kondenzatoru se dovodi<br />
naboj i time povećava razlika potencijala v, izme ¯du ploča. Nakon dovoljno dugo<br />
vremena kondenzator se nabije nabojem Q = C · V , izraz 1.13, i poprimi napon<br />
izvora V . Tijekom nabijanja, porastu napona kondenzatora v, za vrijednost d v,<br />
uzrok je porast naboja d q:<br />
dQ = C · d v<br />
Malim slovima označuju se trenutačne vrijednosti pojedinih veličina. Kod gibanja<br />
naboja d q , električno polje obavlja rad (izraz 1.11):<br />
dW = d q · v<br />
Ukupna energija koju do kraja nabijanja pohrani kondenzator, prema izrazu<br />
1.21, iznosi:<br />
∫ V<br />
W = C v · d v = C ·V 2<br />
= Q ·V<br />
0<br />
2 2<br />
111<br />
= Q2<br />
2 ·C
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
Energija nabijenog kondenzatora sadržana je u izolatoru izme ¯du ploča (elektroda),<br />
kao energija električnog polja.<br />
Kod izbijanja kondenzatora, električno polje u izolatoru se razgra ¯duje. Ta se energija<br />
osloba ¯da i može se pretvoriti u neki drugi oblik energije (toplinsku, svjetlosnu<br />
ili opet u električnu).<br />
4.1.2 ENERGIJA NA OTPORU<br />
Može se dokazati da kod nabijanja kondenzator dobije samo polovicu energije koju<br />
daje izvor. Druga polovica energije izvora potroši se na otporu kruga R.<br />
W R = W i −W C = Q ·V −Q · V<br />
2 = Q · V<br />
2 = W C<br />
Na otporu kruga potroši se do kraja nabijanja toliko energije koliko je dobije<br />
kondenzator.<br />
4.1.3 NABIJANJE (PUNJENJE) KONDENZATORA<br />
Uključenjem početno praznog kondenzatora u strujni krug s otporom R koji zamjenjuje<br />
sve otpore kruga (radni otpor, otpor voda, nutarnji otpor izvora) (slika 4.1)<br />
doga ¯da se prijelazna pojava nabijanja kondenzatora dok mu napon ne poprimi vrijednost<br />
napona izvora. Struja nabijanja kondenzatora u početku je velika, a kako<br />
naboj na pločama raste, tako njezin iznos pada.<br />
1<br />
S<br />
0<br />
2<br />
C<br />
V<br />
+<br />
−<br />
R<br />
SLIKA 4.1: RC krug<br />
Struja I u trenutku priključenja odre ¯dena je samo naponom V i otporom kruga<br />
R, tj. Ohm-ovim zakonom (I = V /R).<br />
Kako nakon priključenja napon kondenzatora v C nabijanjem postupno raste,<br />
tako se smanjuje napon na otporu v R (v R = V · v C ), a s njime i jakost struje u krugu<br />
i (i = v R /R ).<br />
112
RC-krug<br />
Naponi se na početku nabijanja mijenjaju brže, a prema završetku nabijanja sve<br />
sporije. Trajanje nabijanja je dulje što su veći kapacitet C i otpor kruga R. Umnožak<br />
vrijednosti kapaciteta i otpora tako ¯der ima dimenziju vremena i zove se vremenska<br />
konstanta:<br />
τ = R ·C (4.1)<br />
Nakon isteka jedne vremenske konstante kondenzator se nabije na 63% konačnog<br />
napona.<br />
Napon kondenzatora raste sve sporije prema konačnoj vrijednosti (napona izvora<br />
V , a uzima se da je kondenzator nabijen nakon vremena t = 5τ (tj. pet vremenskih<br />
konstanti). Struja tada praktički više ne teče iz izvora, pa se kaže da je kondenzator<br />
nabijen.<br />
4.1.4 IZBIJANJE (PRAŽNJENJE) KONDENZATORA<br />
Nabijeni kondenzator odspojen od izvora sadrži električnu energiju. Vodljivim spajanjem<br />
njegovih elektroda višak elektrona s negativne elektrode odlazi na pozitivnu<br />
tvoreći tako struju kroz vodljivi spoj izme ¯du elektroda.<br />
Strujom kondenzator predaje energiju otporu, preko kojeg su elektrode vodljivo<br />
spojene. Ovo predavanje energije popraćeno smanjenjem naboja i napona naziva<br />
se izbijanje (ili pražnjenje) kondenzatora.<br />
Kod izbijanja, kondenzator se ponaša kao izvor kome se napon postupno smanjuje.<br />
Početna struja izbijanja I odre ¯dena je naponom nabijenog kondenzatora V C i<br />
otporom R vodljivog spoja izme ¯du priključnica kondenzatora:<br />
I = V C<br />
R<br />
Izbijanjem se smanjuje naboj, napon kondenzatora i struja. Proces je u početku<br />
brz, a prema završetku izbijanja sve sporiji. U svakom trenutku vrijedi Kirchhoff-ov<br />
zakon za napone:<br />
v R = v C<br />
U svakom trenutku napon na otporu v R jednak je naponu kondenzatora v C ,<br />
pa je time preko Ohm-ovog zakona u svakom trunutku odre ¯dena i veza izme ¯du<br />
napona kondenzatora v C i struje izbijanja i jednaka:<br />
i · R = v R<br />
Na slici 4.2 prikazana je naponska funkcija nabijanja i izbijanja kondenzatora<br />
v = f (t).<br />
4.2 RL-KRUG<br />
113
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
v<br />
V<br />
nabijanje<br />
τ 2τ 3τ 4τ 5τ<br />
izbijanje<br />
t<br />
SLIKA 4.2: v=f(t) u RC krugu<br />
4.2.1 ENERGIJA ZAVOJNICE<br />
Porastom struje zavojnice od nule do neke vrijednosti I u svitku se stvara magnetsko<br />
polje. Energija tog polja pohranjuje se u svitku. Smanjenjem struje magnetsko<br />
polje se razgra ¯duje i svitak putem induciranog napona energiju vraća natrag u krug.<br />
Snaga na zavojnici odre ¯dena je u svakom trenutku umnoškom struje i i induciranog<br />
napona v L :<br />
p L = i · v L = i · L · ∆i<br />
∆t<br />
Energija svitka jednaka je umnošku snage i promjene vremena:<br />
∆W L = p L · ∆t = i · u L · ∆t = i · L · ∆i · ∆t = i · L · ∆i (4.2)<br />
∆t<br />
Ukupna energija svitka jednaka je zbroju svih diskretnih porasta energije ∆W L<br />
pri porastu struje od 0 do I , pa se ukupna energija svitka dobije zbrajanjem, odnosno<br />
integriranjem jednadžbe (4.2):<br />
gdje je:<br />
W =<br />
l∑<br />
i · L · ∆i = L · I 2<br />
0<br />
2<br />
• W L - energija pohranjena u svitku<br />
• L - induktivitet svitka<br />
• I - struja svitka<br />
što je identično već izvedenom izrazu u (3.38).<br />
Energija svitka (stalnog induktiviteta) odre ¯dena je njegovim induktivitetom i<br />
jakošću struje. Promjena struje svitka znači promjenu njegove energije. Kako nije<br />
moguća trenutačna promjena energije, tako nije moguća ni trenutačna promjena<br />
struje svitka i on se tome opire svojim induciranim naponom.<br />
Kod ukapčanja i iskapčanja strujnog kruga sa svitkom (RL - krug), stacionarno<br />
stanje se zbog toga ne uspostavlja trenutačno, nego se javlja prijelazno stanje u<br />
kojem se postupno uspostavljaju konačne veličine struje i napona.<br />
114
RL-krug<br />
4.2.2 UKAPČANJE RL - KRUGA<br />
Svaka se realna zavojnica može predočiti kao spoj radnog otpora R i induktiviteta<br />
L. Dovede li se napon u strujni krug u koji je spojena realna zavojnica (spajanje<br />
preklopke u položaj 0 − 1 na slici 4.3) struja će od početne vrijednosti i = 0 do svoje<br />
stacionarne vrijednosti i = V /R s vremenom mijenjati svoj iznos. Promjena struje<br />
inducirat će prema (3.31) napon samoindukcije, koji će se po Lenz-ovu zakonu<br />
suprotstavljati promjeni struje, tj. usporavat će njezin porast.<br />
1<br />
S<br />
0<br />
2<br />
L<br />
V<br />
+<br />
−<br />
R<br />
SLIKA 4.3: RL krug<br />
Jakost struje raste u zavojnici po eksponencijalnom zakonu. Za vrijeme jedne<br />
vremenske konstante (t = τ) struja postigne 63,2% svoje konačne vrijednosti. Vrijednost<br />
stacionarnog stanja praktički se postiže već nakon vremena od 4 do 5 vremenskih<br />
konstanti. To se osobito zorno vidi na slici 4.4.<br />
i<br />
I<br />
0.632 I<br />
τ 2τ 3τ 4τ 5τ<br />
t<br />
SLIKA 4.4: i=f(t) za uključenje RL kruga<br />
Suprotstavljajući se trenutačnoj promjeni struje, na svitku se nakon ukapčanja<br />
javlja inducirani napon iznossa jednakog iznosu izvora.<br />
Da bi struja neposredno nakon ukapčanja bila ista kao u času neposredno prije<br />
toga, to jest nula, inducirani napon na svitku u trenutku ukapčanja mora poništiti<br />
napon izvora. Stoga, neposredno nakon ukapčanja, inducirani napon na induktivitetu<br />
po iznosu je jednak naponu izvora.<br />
115
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
Inducirani napon najveći je u trenutku ukapčanja, jer je tad najveća promjena<br />
magnetskog toka. Potom, kako se u svitku postepeno uspostavlja magnetski tok,<br />
smanjuje se brzina njegove promjene. Time se postupno smanjuje i inducirani<br />
napon v L .<br />
Napon na otporu v R u svakom je času jednak razlici napona izvora V i napona<br />
na induktivitetu v L :<br />
v R = V − v L<br />
Kako se smanjuje napon v L tako raste napon na otporu v R , a isto tako postupno<br />
raste struja:<br />
i = v R<br />
R = V R − v L<br />
R<br />
Struja raste od nule do konačne vrijednosti:<br />
i = V R<br />
koja je odre ¯dena samo naponom izvora i otporom kruga. To je veličina struje u<br />
stacionarnom stanju.<br />
Porast struje je sporiji i prijelazno stanje traje dulje, što je veći omjer induktiviteta<br />
i otpora kruga. Analogno slučaju kondenzatora, izraz 4.1, ovaj omjer označava<br />
se s τ i naziva vremenska konstanta RL-kruga.<br />
τ = L R<br />
Jedinica za vremensku konstantu je sekunda.<br />
Vremenska konstanta τ je vrijeme nakon ukapčanja svitka, u kojem struja RL -<br />
kruga poraste na 63% svoje konačne vrijednosti. U istom vremenu napon na induktivitetu<br />
padne na 37% svoje početne vrijednosti.<br />
Struja se sve sporije približava svojoj konačnoj vrijednosti I , a uzima se da je<br />
realno doseže (te nastupa stacionarno stanje) nakon vremena:<br />
T uk = 5 · τ<br />
4.2.3 ISKAPČANJE RL - KRUGA<br />
Drugi slučaj prijelazne pojave u RL-krugu jest prekidanje toka stacionarne struje<br />
I , na primjer spajanjem preklopke u položaj 0 − 2 u shemi na slici 4.3. U strujnom<br />
krugu bez izvora struja mora pasti na nulu (utrnuti). Promjene struje neizbježne pri<br />
smanjivanju stacionarne vrijednosti I na stacionarnu vrijednost i = 0 uzrokom su<br />
napona samoindukcije, čiji je smjer po Lenz-ovom zakonu takav da se suprotstavlja<br />
promjeni, tj. nastoji održati dotadašnju struju.<br />
116
Elektromagnetski oscilirajući krug<br />
i<br />
I<br />
τ 2τ 3τ 4τ 5τ<br />
t<br />
SLIKA 4.5: i=f(t) za isključenje RL kruga<br />
Struja dakle eksponencijalno trne u beskonačnosti (praktički nakon 4−5τ). Brzina<br />
pada opet ovisi o vremenskoj konstanti. Vidi se (slika 4.5) da zbog prisutnosti<br />
induktiviteta L strujni krug pokazuje stanovitu tromost pri promjeni struje.<br />
Kod iskapčanja, suprostavljajući se padu struje, svitak djeluje kao naponski izvor<br />
koji nastoji i dalje tjerati struju u istom smjeru.<br />
U trenutku prekida struje otvaranjem sklopke, na induktivitetu se javlja inducirani<br />
napon vrlo velikog iznosa (može biti i nekoliko kilovolti). Veličina induciranog<br />
napona, može se ograničiti tako da se svitak pritom kratko spoji.<br />
Polaritet induciranog napona v L je takav da on djeluje kao izvor, nastojeći održati<br />
struju kroz svitak i nakon odspajaanja izvora. Da bi struja u času neposredno nakon<br />
iskapčanja bila jednaka I kao prije iskapčanja, iznos induciranog napona u tom<br />
času jednak je umnošku veličine struje prije iskapčanja i otpora preko kojeg se svitak<br />
kratko spaja. To je i najveća vrijednost induciranog napona, koji potom postupno<br />
pada prema nuli.<br />
Struja je kod iskapčanja jednaka omjeru induciranog napona i otpora preko kojeg<br />
je svitak kratko spojen. Ona, slično kao napon v L , s vremenom postupno pada<br />
od početne vrijednosti I do nule. Pritom se potpuno razgradi magnetsko polje<br />
svitka i potroši njegova energija.<br />
Brzinu smanjivanja struje svitka, kao i trajanje prijelaznog stanja pri iskapčanju<br />
svitka, odre ¯duje vremenska konstanta τ, koja je jednaka omjeru induktiviteta i otpora<br />
iskapčanja.<br />
Struja, kao i napon v L , nakon jedne vremenske konstante padne na 37% početne<br />
vrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti praktično padne na nulu (t i s = 5 · τ).<br />
4.3 ELEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUĆI KRUG<br />
Zanimljive pojave nastaju, ako se nabijeni kondenzator spoji u strujni krug sa zavojnicom.<br />
Kondenzator se nabije u strujnom krugu koji ima izvor istosmjernog<br />
napona. Zatim se, pomoću prikladne sklopke, zatvori krug u kojem se nalaze samo<br />
kondenzator i zavojnica. Početno je zavojnica bez struje, dakle i bez energije, dok<br />
je u kondenzatoru pohranjena energija Q 2 /2 ·C .<br />
Tada se kondenzator počinje izbijati preko zavojnice. Promjena toka naboja u<br />
117
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
zavojnici inducira napon i energija magnetskog polja raste, a električno polje u konenzatoru<br />
pada. Nakon prijelaznog procesa, kondenzator je cijelu svoju potencijalnu<br />
energiju Q 2 /2 ·C predao zavojnici, koja tako dobiva najveću energiju L · I 2 /2.<br />
Ako nema gubitaka (npr. na otporu), ta energija jednaka je prvotnoj električnoj.<br />
Nakon toga slijedi ponovno nabijanje kondenzatora na račun magnetske energije<br />
zavojnice. Može se primjetiti da je polaritet suprotan prvotnom polaritetu.<br />
Budući da se proces ponavlja, a struja, naboj i napon su harmoničkog oblika,<br />
govori se o električnim oscilacijama. Ako je početna energija kruga bila Q 2 /2 · C ,<br />
ukupna energija u bilo kojem vremenu izračuna se iz:<br />
q 2<br />
2 ·C + L · i 2 2 = Q2<br />
2 ·C<br />
gdje su q i i trenutne vrijednosti naboja, odnosno struje.<br />
Rješenjem te jednadžbe slijedi da je frekvencija oscilacija f jednaka:<br />
f = 1 T = 1<br />
2 · π L ·C<br />
iz čega se vidi da je frekvencija (brzina promjene) to veća što su induktivitet i kapacitet<br />
manji.<br />
Vm<br />
Vm<br />
a<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
C<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
−<br />
−−−−−<br />
b<br />
S<br />
Im<br />
I m<br />
L<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
SLIKA 4.6: LC oscilator<br />
Ono što je pritom zadivljujuće jest povezanost sa sličnim fizikalnim veličinama<br />
mehaničkih oscilacija. Povezanost izme ¯du električnih i mehaničkih sustava je toliko<br />
velika da je moguće riješiti složene mehaničke ili akustičke probleme postavljanjem<br />
analognih električnih krugova i mjerenjem na lak način napona i struja koje<br />
odgovaraju mehaničkim i akustičkim ’nepoznanicama’. Ako je m masa tijela obješenog<br />
na spiralnoj opruzi krutosti k, onda će kružna frekvencija ω toga sustava<br />
biti<br />
118<br />
√<br />
k<br />
ω =<br />
m
Elektromagnetski valovi<br />
što odgovara električnim oscilacijama:<br />
√<br />
1<br />
ω =<br />
L ·C<br />
Budući da je sustav zatvoren, zbroj kinetičke i potecijalne (elastične) energije<br />
je konstantan i jednak potencijalnoj energiji koju tijelo ima na maksimalnoj udaljenosti<br />
x m .<br />
Usporedba nekih izraza koji vrijede za oba oscilacijska kruga, mehaničkog i<br />
električnog dana je u tablici 4.1.<br />
Utjecaj otpora u oscilatorima je potrošak energije u vidu topline. To odgovara<br />
trenju u mehaničkom sustavu. Gubitak energije ima za posljedicu smanjenje amplituda<br />
oscilacija ili ga je potrebno nadokna ¯divati iz stranog izvora energije.<br />
Hertz je 1888. godine pokazao da oscilacijski krugovi (odašiljači) mogu poslati<br />
energiju kroz prostor do sličnog kruga (prijemnika). Osim potvrde poznatih zakona<br />
iz optike, Hertz-ovi pokusi dokazali su i Maxwell-ovu teoriju elektromagnetskih valova,<br />
koja je sigurno jedan od najvećih uspjeha znanosti 19. stoljeća.<br />
TABLICA 4.1: Usporedba mehaničkih i električkih oscilacija<br />
Masa na elastičnoj opruzi<br />
m·v 2<br />
2<br />
+ k·x2<br />
2<br />
= m·x2 m<br />
√<br />
2<br />
k<br />
LC krug<br />
L·i 2<br />
2 + q2<br />
2·C = Q2<br />
2·C<br />
√<br />
v =<br />
m · (x2 m − x 2 1<br />
) i =<br />
L·C · (Q2 − q 2 )<br />
v = d x<br />
d t<br />
i = d q<br />
d t<br />
x = x m · si nωt<br />
q = Q · si nωt<br />
4.4 ELEKTROMAGNETSKI VALOVI<br />
Elektricitet i magnetizam početno su promatrani i proučavani kao različita područja.<br />
Me ¯dutim, elektromagnetska indukcija pokazala je da gdje god postoji promjena u<br />
magnetskom polju, da se tu stvara i električno polje (3.28). Isto tako gibanje naboja,<br />
tj. postojanje i promjena električnog polja, stvara magnetsko polje kako je objašnjeno<br />
u poglavlju 3. Očevidno, nemoguće je postojanje jednog efekta bez pojave<br />
drugog. Na tome je Maxwell gradio svoju teoriju o nerazdvojivosti električkog i<br />
magnetskog polja, te njihova širenja kroz prostor.<br />
Godine 1864. uspio je postaviti zakone u općem matematičkom obliku. Ti zakoni<br />
zajedno daju diferencijalne jednadžbe širenja elektromagnetskih valova, elektromagnetskih<br />
- zbog električne (E) i magnetske (B) veličine od koje su sastavljeni,<br />
a valova - zbog njihove formalne podudarnosti s jednadžbama širenja mehaničkih<br />
valova.<br />
Otkrivena veza električnog i magnetskog polja može se sažeti u nekoliko važnih<br />
činjenica:<br />
119
Ovo nije baš dobra slika, ali se sjećam da je Stanković jednom crtao<br />
identičnu pa bi to trebalo pronaći<br />
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
SLIKA 4.7: Elektromagnetski valovi<br />
a) Sve promjene se istodobno doga ¯daju u oba polja (električnom i magnetskom),<br />
koje svoje minimalne i maksimalne vrijednosti imaju na istom<br />
mjestu i u isto vrijeme.<br />
b) Jakosti električnog polja B i indukcije magnetskog polja E me ¯dusobno su<br />
okomiti vektori, istodobno okomiti na smjer širenja vala (slika 4.4).<br />
c) Iznosi tih dvaju vektora povezani su s konstantom c:<br />
E = c · B<br />
d) Elektromagnetski valovi nose energiju i njihovo širenje je tok energije<br />
električne gustoće ( ε 0·E 2<br />
2<br />
) i magnetske gustoće ( B 2<br />
2·µ 0<br />
).<br />
e) Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakuumu je:<br />
c = 1<br />
µ 0 · ε 0<br />
= 3 · 10 8 m/s<br />
Elektromagnetski valovi šire se, dakle, u vakuumu brzinom svjetlosti!<br />
Izražena u strogom matematičkom obliku Maxwell-ova teorija dovela je do zaključka<br />
da je svjetlost elektromagnetski val. Hertz-ovi pokusi, kako je već rečeno,<br />
potvrdili su ispravnost te teorije.<br />
4.5 APPLETI<br />
4.5.1 RC-KRUG<br />
120
Appleti<br />
SLIKA 4.8: RC-krug<br />
Pomoću tri padajuća izbornika biraju se vrijednosti otpora, kapaciteta i napona.<br />
Nakon svakog odabira mora se click-nuti na gumb UPDATE, da bi se odabrane vrijednosti<br />
upisale pored odgovarajućih elemenata u strujnom krugu.<br />
Napon se još može mijenjati clickom iznad baterije i povlačenjem gore ili dolje<br />
naponskog stupca s pomoću miša (pritisnuta lijeva tipka miša). Taj stupac prikazuje<br />
iznos napona baterije.<br />
Click-om na crveni prekidač pokreće se simulacija. Trenutne vrijednosti napona<br />
na kondenzatoru i otporniku prikazane su pored tih elemenata. Crvena krivulja<br />
prikazuje napon kao funkciju vremena, a plava struju, tako ¯der kao funkciju vremena.<br />
Click-om na gumb RESET vraća se vrijeme na nulu. Click-om na crveni prekidač<br />
mijenja se njegov položaj, tj. zatvara se veći ili manji strujni krug.<br />
U većem krugu postoji izvor napona (baterija), pa se zatvaranjem tog kruga kondenzator<br />
puni. Ako se, nakon punjenja kondenzatora, zatvori manji strujni krug,<br />
kondenzator će se prazniti preko otpora R.<br />
Simulacija se možemo zaustaviti držanjem pritisnute lijeve tipke miša, a kod<br />
otpuštanja simulacija se nastavlja.<br />
4.5.2 RL-KRUG<br />
Click-om miša (lijevi click) na prekidač na appletu uključuje se, odnosno isključuje<br />
strujni krug. S pomoću klizača namješta se otpor na reostatu (0−10Ω) i induktivitet<br />
121
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
SLIKA 4.9: RL-krug<br />
na zavojnici (0 − 2H).<br />
Nakon zatvaranja strujnog kruga, iznad zavojnice se pojavljuju dvije strelice:<br />
plava pokazuje smjer struje koja teče krugom, a crvena pokazuje smjer inducirane<br />
struje u zavojnici. Ako se želi da na ekranu osciloskopa napon bude prikazan<br />
krivuljom, treba se click-nuti na oznaku ’curve’ (hrv. krivulja).<br />
4.5.3 ELEKTROMAGNETSKI OSCILIRAJUĆI KRUG<br />
SLIKA 4.10: Elektromagnetski oscilirajući krug<br />
Click-om na gumb:<br />
122
Appleti<br />
a) RESET - kondenzator će se spojiti na izvor napona, pa će se na njemu<br />
razdvojiti naboji. Gornja ploča bit će pozitivna, a donja negativna.<br />
b) START - prekidač će doći u drugi položaj i oscilacije će započeti. Nakon<br />
toga isti gumb omogućuje prekidanje (PAUSE) i nastavljanje simulacije<br />
(RESUME).<br />
c) Opcije SLOW MOTION omogućuju 10 ili 100 puta sporiji prikaz oscilacija<br />
od realnih.<br />
U tekstovna polja upisuju se vrijednosti kapaciteta (CAPACITY : 100 − 1000µ F),<br />
induktiviteta (INDUCTIVITY : 1 − 10 H), otpora (RESISTANCE: 0 − 1000Ω) i napona<br />
na izvoru (MAX. VOLTAGE).<br />
Na lijevoj strani appleta piše vrijeme proteklo od početka oscilacija, a ispod piše<br />
period oscilacija.<br />
Mogu se odabrati jednu od dvije opcije u donjem desnom kutu:<br />
a) VOLTAGE, AMPERAGE - u dijagramu će biti prikazani napon V (plavo) i<br />
jakost struje I (crveno) kao funkcije vremena.<br />
b) ENERGY - grafički će biti prikazana transformacija energije (energija električnog<br />
polja kondenzatora - crveno, energija magnetskog polja zavojnice<br />
- plavo i energija potrošena na otporniku - crno)<br />
123
4. PRIJELAZNE POJAVE<br />
4.6 ZADACI<br />
4.1 Kondenzator je sastavljen od dviju paralelnih ploča od površine 60 cm 2<br />
koje su jedna od druge udaljene 3 mm. Me ¯du njima je bakelit, kojemu je relativna<br />
dielektričnost 4. Kondenzator ima napon od 500 V. Kolika se energija oslobodi izbijanjem<br />
tog kondenzatora?<br />
Rješenje: 8,85µ J<br />
4.2 Zavojnica ima otpor 5Ω i induktivitet 100 mH. U jednom specifičnom trenutku<br />
nakon uključivanja baterije, poteče struja u zavojnici iznosa 2 A i promjene Λi<br />
∆t = 20<br />
A/s. Odredite:<br />
a) napon baterije,<br />
b) vremenska konstanta kruga,<br />
c) konačnu vrijednost struje?<br />
d) konačnu vrijednost energije kondenzatora?<br />
Rješenje: a) 12 V b) 0,02 s c) 2,4 A c) 0,288 J<br />
4.3 Kondenzator ima kapacitet 15µF, otpornik ima otpor 8MΩ, a baterija napon<br />
800 V. U jednom specifičnom trenutku nakon uključivanja baterije teče struja koja<br />
puni kondenzator, a napon na njemu je 350 V. Kondenzator je u početku prazan.<br />
Odredite:<br />
a) brzina promjene napona na kondenzatoru u odabranom trenutku nakon<br />
uključivanja,<br />
b) vremensku konstanta kruga,<br />
c) konačnu vrijednost struje?<br />
d) konačnu vrijednost energije kondenzatora?<br />
Rješenje: a) 0,375 V/s b) 120 s c) 0 A d) 4,8 J<br />
124
5<br />
POGLAVLJE<br />
IZMJENIČNE STRUJE<br />
Već pri prijelaznim pojavama u strujnom krugu uočene su električne veličine (struje,<br />
naponi, elektromotorne sile) koje nisu vremenski konstantne. Njihove vrijednosti<br />
poprimaju u svakom trenutku drugi iznos.<br />
Općenito se trenutna vrijednost, uzmimo struje, može iskazati izrazom:<br />
i = f (t) (5.1)<br />
Konstantna struja, istosmjerna bez promjene iznosa, kakva je prikazana na slici<br />
5.1, gdje je i = I , tek je poseban slučaj gornjeg izraza. Ako struja i = f (t) mijenja<br />
samo iznos, a ne i predznak, ostaje istosmjerna (slika 5.1 b.).<br />
i<br />
i<br />
a)<br />
t<br />
b)<br />
t<br />
SLIKA 5.1: Istosmjerne struje<br />
Ako struja i = f (t) uz iznos mijenja i predznak, naziva se izmjenična (slika 5.2).<br />
Fizikalno to znači da ima vremenskih odsječaka u kojima se nosioci naboja gibaju<br />
i u suprotnom smjeru. Obično se smjer gibanja pozitivnog naboja pridružuje pozitivnim<br />
iznosima u izrazu i = f (t), a smjer negativnog naboja negativnim.<br />
Promjena struje može biti periodička, što znači da se u izrazu i = f (t) u konstantnim<br />
vremenskim razmacima ponavljaju iste vrijednosti s istom derivacijom i<br />
da to vrijedi za bilo koji trenutak. Minimalni vremenski razmak takvih točaka zove<br />
se period T . Dva primjera periodički promjenljivih struja prikazuje slika 5.3. Na<br />
slici 5.3 a. je istosmjerna, a na slici 5.3 b. izmjenična periodička struja.<br />
Periodička struja prema tome zadovoljava izraz:<br />
i (t) = f (t + k · T )<br />
125
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
i<br />
t<br />
SLIKA 5.2: Izmjenična struja<br />
i<br />
i<br />
T<br />
t<br />
T<br />
t<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.3: Periodičke struje<br />
gdje je k = 0,1,2,3,... Ako je srednja vrijednost periodičke struje i (t), definirana<br />
izrazom:<br />
I sr = 1 T<br />
∫ T<br />
jednaka nuli, struja i (t) je čista izmjenična.<br />
0<br />
i (t) · d t<br />
5.1 HARMONIČKI OBLIK<br />
Ako je dobivena srednja vrijednost I sr različita od nule, tada je ta periodička struja<br />
sastavljena od dvije komponente: od konstantne istosmjerne iznosa I sr i čiste izmjenične,<br />
kako je za jedan slučaj prikazano na slici 5.4. Struja u lijevom dijagramu<br />
jednaka je zbroju komponenata prikazanih na preostala dva dijagrama.<br />
Me ¯du čistim izmjeničnim strujama neki se oblici pojavljuju češće. Tako su češći<br />
oblici u kojih je negativni dio iznosima jednak pozitivnom, a me ¯du takvima najzastupljeniji<br />
je harmonički oblik (slika 5.5).<br />
126
Harmonički oblik<br />
i<br />
i<br />
i<br />
I SR<br />
=<br />
I SR<br />
+<br />
t<br />
t<br />
t<br />
SLIKA 5.4: Periodička struja sa I s r ≈ 0<br />
Mnoge prirodne pojave često se odvijaju po harmoničkoj promjeni. Važno je<br />
njezino svojstvo da joj derivacija i integral ostaju harmonički uz vremenski pomak.<br />
i<br />
t<br />
SLIKA 5.5: Harmonička struja<br />
Najjednostavniji matematički opis harmoničkog oblika je onaj pri kojem je u<br />
vremenu t = 0 iznos funkcije nula, uz pozitivnu derivaciju. Za struju to je izraz:<br />
i (t) = I m · sin(ωt)<br />
gdje je I m - amplituda, ω - konstanta, a ωt - kut.<br />
Često se takav oblik jednostavno zove sinusnim ili sinusoidalnim.<br />
Neharmonički periodički oblici mogu se primjenom Fourier-ove analize predočiti<br />
kao zbroj harmoničkih komponenata i jedne konstantne.<br />
U nastavku se pod pojmom izmjenične struje podrazumijeva struja harmoničkog<br />
oblika, jednostavno zvana sinusoidalnom strujom. Nju daje izvor napona istog oblika.<br />
Uobičajeno je da se fizički smjer struje u vodiču kome pripadaju pozitivni iznosi<br />
u izrazu i (t) utvr ¯duje kao referentni i označuje strelicom u shemama strujnih krugova<br />
(slika 5.6). Njemu pripada referentni polaritet napona izvora koji se može označiti<br />
oznakama ’+’ i ’−’. Pri negativnim trenutnim vrijednostima i (t) i v(t) smjer<br />
struje i polaritet napona su suprotni od naznačenog.<br />
5.1.1 FREKVENCIJA I KRUŽNA FREKVENCIJA<br />
127
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
i<br />
V<br />
+<br />
−<br />
SLIKA 5.6: Referentni smjer struje i pripadajući polaritet napona izvora<br />
U vremenu perioda T izmjenična struja izvrši jedan potpuni titraj. Broj titraja N u<br />
vremenu ∆t naziva se frekvencijom:<br />
br o j ti tr a j a N<br />
f r ekvenci j a f =<br />
vr i j eme ∆ t<br />
[ 1 ] = [H z]<br />
s<br />
Jedinica frekvencije je H z (Herc). Ako se vrijeme promatranja iste pojave svede<br />
na period ∆t = T , broj titraja N je jedan, a frekvencija iznosi:<br />
f = 1 t<br />
[H z]<br />
Vrijeme trajanja jednog titraja ili period T recipročno je vrijednosti frekvencije.<br />
Frekvencija izmjenične struje korištene u elektroenergetskim sustavima ovisi o<br />
brzini vrtnje i o broju magnetskih polova generatora u kojem se proizvodi, što se<br />
može prikazati slikom 5.7. Tu se nalaze shematizirani presjeci dvaju generatora s<br />
jednim namotom na statoru i s magnetskim polovima na rotoru. Rotor na slici 5.7<br />
a) ima dva, a na slici 5.7 b) četiri magnetska pola. Broj pari polova p u prvom slučaju<br />
je jedan, a u drugome dva.<br />
N<br />
N<br />
S<br />
S<br />
S<br />
N<br />
p = 1<br />
p = 2<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.7: Shematizirani prikazi generatora izmjenične struje<br />
128
Harmonički oblik<br />
Rotacijom magnetskih polova u statorskom namotu inducira se izmjenični napon.<br />
U jednom okretaju rotora na slici 5.7 a) inducira se jedan titraj, a u jednom okretaju<br />
rotora na slici 5.7 b) induciraju se dva titraja. Kod p pari polova u jednom okretaju<br />
inducirat će se p titraja.<br />
Kod n broja okretaja u generatoru na slici 5.7 a) inducira se n titraja, u generatoru<br />
na slici 5.7 b) n · 2 titraja, a u generatoru s p pari polova n · p titraja. U jednoj<br />
sekundi inducirat će se općenito:<br />
f = n · p [H z]<br />
titraja, ako je n broj okretaja u sekundi, ili:<br />
f = n · p [H z]<br />
60<br />
ako je n broj okretaja u minuti.<br />
Jednom titraju induciranog napona pripada kut α el = 2π. U istom vremenu<br />
rotor generatora na slici 5.7 a) prije ¯de kut α g eom = 2π , a rotor na slici 5.7 b) kut<br />
α g eom = 2π/2. Rotor s p pari polova prijeći će u istom vremenu kut α g eom = 2π/p.<br />
Električkom kutu odgovara p puta manji geometrijski kut, pa je:<br />
α g eom = α el<br />
p<br />
Uz konstantnu kutnu brzinu vrtnje rotora ω g eom vrijedi:<br />
a uz konstantnu frekvenciju:<br />
α g eom = ω g eom · t<br />
α el = ω · t<br />
gdje se ω naziva kružnom frekvencijom.<br />
Za α el = 2π, t = T , pa je:<br />
i<br />
2 · π = ω · T<br />
ω = 2 · π [H z]<br />
T<br />
Kružna frekvencija jednaka je kutnoj brzini generatora samo ako ovaj ima jedan<br />
par polova, jer je tada električki kut jednak geometrijskom. Uz f = 1/T slijedi<br />
povezanost frekvencije i kružne frekvencije:<br />
ω = 2 · π · f<br />
Primjer: Struja javne električne mreže ima frekvenciju 50 Hz, pa trajanje jednog<br />
perioda kod nje iznosi:<br />
T = 1 f = 1<br />
50 = 0,02s = 20ms 129
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
a kružna frekvencija:<br />
ω = 2 · π · 50 = 314s −1<br />
Ako se ona proizvodi npr. u generatorima s brojem pari polova p = 2, oni se<br />
moraju vrtjeti brzinom:<br />
n = 60 · f<br />
p<br />
60 · 50<br />
= = 1.500mi n −1<br />
2<br />
Izmjenične struje niskih frekvencija koriste se u prijenosu energije, a one srednjih<br />
i visokih frekvencija u prijenosu informacija. U elektroenergetskim sustavima<br />
pored frekvencije od 50 Hz u nekim se zemljama susreću i frekvencije od 60 Hz. U<br />
prijenosu informacija koriste se frekvencije u vrlo širokom rasponu, od praga čujnosti<br />
u iznosu od oko 15 Hz pa do nekoliko GHz (gigaherca).<br />
5.1.2 SREDNJA I EFEKTIVNA VRIJEDNOST<br />
Srednja i efektivna vrijednost statističke su veličine, a služe za skraćeno i efikasno<br />
opisivanje neke promjenjive veličine koje se trenutne vrijednosti mijenjaju s vremenom.<br />
Srednja vrijednost je očekivanje trenutnih vrijednosti, a efektivna njihovo<br />
standardno odstupanje. U elektrotehnici se obje vrijednosti naširoko koriste, efektivna<br />
osobito za struje i napone, a srednja i za snage. Srednja vrijednost struje zanimljiva<br />
je sa stanovišta pretvorbe električne u kemijsku ili mehaničku energiju kod<br />
istosmjernih trošila, a njezina efektivna vrijednost sa stanovišta pretvorbe u toplinsku<br />
energiju i kod istosmjernih i kod izmjeničnih trošila.<br />
Iz definicije srednje vrijednosti za kontinuirane varijable s periodom T :<br />
F sr = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
f (t) · d t<br />
slijedi srednja vrijednost I s r struje i (t) u periodu T :<br />
I sr = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
f (t) · d t<br />
Integral odre ¯duje površinu ome ¯denu krivuljom i (t) i apscisom t i predstavlja<br />
količinu električnog naboja koji protekne u vremenu T . Dijeljenje s iznosom tog<br />
vremena daje vrijednost konstantne istosmjerne struje po kojoj bi u istom vremenu<br />
T protekla ista količina naboja.<br />
Srednja vrijednost harmoničke izmjenične struje:<br />
130<br />
i = I m · sin(ωt)<br />
u vremenskom intervalu struje perioda T , jednaka je nuli:<br />
I sr = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
sin(ωt) · d t = 0
Harmonički oblik<br />
jer je jednak nuli njezin integral (slika 5.8 a).<br />
Vrijednost I m je maksimalna, vršna ili tjemena vrijednost koju struja poprima u<br />
odre ¯denom trenutku (T /4, 3T /4 itd), a ω kružnu frekvenciju.<br />
Srednja vrijednost struje zadržava isti iznos ako je vremenski interval u kojem se<br />
odre ¯duje višekratnik perioda T . Na isti način mogu se odrediti srednje vrijednosti<br />
struja i napona sličnih matematičkih opisa. Tako npr. za struju prema slici 5.8 b),<br />
koja se javlja kod poluvalnog ispravljanja i (t) iznosi:<br />
i<br />
i<br />
I SR = 0.318 I m<br />
I SR = 0<br />
T<br />
4<br />
T<br />
2<br />
3T<br />
2<br />
T<br />
t<br />
T<br />
4<br />
T<br />
2<br />
3T<br />
2<br />
T<br />
t<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.8: Srednje vrijednosti struja<br />
i = I m sin(ωt) za 0 < t < T 2<br />
(5.2)<br />
T<br />
i = 0 za<br />
2 < t < T<br />
a njezina srednja vrijednost u periodu ponavljanja T , jednaka je:<br />
I s r = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
i · d t = 1 T [ ∫ T<br />
2<br />
0<br />
∫ T<br />
I m · sin(ωt) + 0 · d t] = I m<br />
T π = 0,318I m<br />
2<br />
Efektivna vrijednost I struje i (t) odre ¯duje se usporedbom toplinskog učinka<br />
struje i (t) i konstantne istosmjerne struje na jednakom otporu R u istom vremenskom<br />
intervalu T . Efektivna vrijednost izmjenične struje jednaka je onoj vrijednosti<br />
konstantne istosmjerne struje I koja u otporu R za vrijeme perioda T proizvede istu<br />
količinu topline Q kao i i (t) u istom vremenu (slika 5.9):<br />
pa slijedi:<br />
∫ T<br />
Q 1 = I 2 · R · T = Q 2 = i 2 (t) · R · d t<br />
0<br />
√ ∫ T<br />
I =<br />
0<br />
i 2 (t) · R · d t<br />
131
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
Efektivna vrijednost označuje se kao istosmjerna struja, slovom I . Kod periodičkog<br />
oblika i (t) vremenski interval T mora biti period ili njegov višekratnik.<br />
=<br />
R<br />
R<br />
I<br />
Q 1<br />
i<br />
Q 2<br />
Q 1 = Q 2<br />
SLIKA 5.9: Odre ¯divanje efektivne vrijednosti struje<br />
Efektivna vrijednost harmoničke struje:<br />
jednaka je:<br />
√<br />
1<br />
I =<br />
T<br />
i = I m · I m sin(ωt)<br />
∫ T<br />
0<br />
I 2 m · sin 2 (ωt) · d t<br />
Zamjenom kvadrata sinusa poznatim izrazom iz trigonometrije:<br />
sin 2 (ωt) = 1 2 (1 − cos(2ωt)) = 1 4π<br />
(1 − cos<br />
2 T t)<br />
te integriranjem i uvrštavanjem granica integrala slijedi:<br />
I = I m<br />
2 = 0,707 · I m<br />
Efektivna vrijednost struje ucrtana je u slici 5.10.<br />
i<br />
I = 0.707 I m<br />
T<br />
2<br />
T<br />
t<br />
SLIKA 5.10: Izmjenična struja i njezina efektivna vrijednost<br />
Na isti se način mogu odrediti efektivne vrijednosti struja i napona sličnih matematičkih<br />
opisa.<br />
132
Harmonički oblik<br />
Izmjenične veličine vrlo se često izražavaju u svojim efektivnim vrijednostima,<br />
pa se u njima najčešće označavaju i skale instrumenata namijenjenih mjerenju<br />
struja i napona.<br />
5.1.3 FAZA I RAZLIKA FAZA<br />
Pojmovi faza i razlika faza javljaju se kod harmoničkih oblika. Fazom ili faznim<br />
kutom naziva se kut u matematičkom izrazu harmoničke izmjenične veličine. Tako<br />
je u izrazu za napon:<br />
to kut ωt, a u izrazu za struju:<br />
v = V m · sin(ωt)<br />
i = I m · sin(ωt − ϕ)<br />
kut (ωt − ϕ). Razlikom faza ili faznim pomakom naziva se razlika kutova dviju<br />
izmjeničnih veličina. Može se slično kao i faza izražavati u radijanima ili stupnjevima.<br />
Za gore navedene napon i struju fazni pomak je:<br />
ωt − (ωt − ϕ) = ϕ<br />
Istofazne su veličine s ϕ = 0, a protufazne s faznim pomakom π. Razlici faza ϕ<br />
pripada vremenski pomak najbližih istovrsnih točaka (primjerice prolaz kroz nulu<br />
s pozitivnom derivacijom ili pozitivno tjeme):<br />
∆t = ϕ ω<br />
Za odnos u pomaku kaže se da prethodi ona veličina koja pri manjim iznosima<br />
kuta ili vremena prolazi kroz istovrsnu točku. Veličina koja ima veći kut ili vrijeme<br />
u takvoj točki uspore ¯divanja zaostaje.<br />
Razlika faza može odre ¯divati i odnos izme ¯du dvaju napona ili dviju struja.<br />
Zornija predodžba faze i razlike faza dobije se prikazom izmjeničnih veličina u<br />
vremenskom dijagramu, pri čemu se na vremensku os mogu nanositi vrijednosti<br />
ili vremena ili faze. Ako za vrijeme trajanja perioda vrijeme t raste od 0 do T ,<br />
faza ωt rast će linearno s vremenom od 0 do 2π postižući u vremenima T , 2T , 3T ,<br />
. . . vrijednosti 2π , 4π, 6π, . . .<br />
Uz izbor bilo kojeg referentnog trenutka napon v = V m sin(ωt) (slika 5.11 a) i<br />
struja i = I 1m sin(ωt − ϕ 1 ) dali bi grafički prikaz na slici 5.11 b) Struja i 1 nema vrijednost<br />
nula s pozitivnom derivacijom u trenutku t = 0, kao što to ima napon, nego<br />
kada je njezina faza jednaka nuli (ωt − ϕ 1 ) = 0, pa je ωt = ϕ 1 .<br />
Izme ¯du napona v i struje i 1 postoji razlika faza ϕ 1 , a struja zaostaje za naponom<br />
za fazni kut ϕ 1 , odnosno za vremenski pomak:<br />
∆t 1 = ϕ 1<br />
ω<br />
133
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
V,i<br />
T<br />
2 T<br />
π<br />
2π<br />
ωt<br />
V,i<br />
V<br />
∆t 1<br />
ϕ 1<br />
i 1<br />
b)<br />
T<br />
2 T<br />
π<br />
2π<br />
ωt<br />
a)<br />
V,i<br />
V<br />
V,i<br />
V<br />
i 2<br />
T<br />
2 T<br />
π<br />
2π<br />
ωt<br />
i 3<br />
d)<br />
T<br />
2 T<br />
π<br />
2π<br />
ωt<br />
∆t 2<br />
ϕ 2<br />
c)<br />
SLIKA 5.11: Fazni pomaci napona i struje<br />
Za neku drugu struju, na primjer i 2 = I 2m sin(ωt + ϕ 2 ), faza će biti ωt + ϕ 2 ), a<br />
fazni pomak prema naponu ϕ 2 . Struja i 2 prethodi naponu za fazni kut ϕ2, a ima<br />
vrijednost nula s pozitivnom derivacijom u trenutku kada je njezina faza jednaka<br />
nuli ωt +ϕ 2 ) = 0, pa je ωt = −ϕ 2 (slika 5.11 c). Struja prethodi naponu za ∆t 2 = ϕ 2 /ω<br />
.<br />
Struja i 3 = I 3m sin(ωt) i napon 5.11 imaju istu fazu i me ¯du njima je fazni pomak<br />
jednak nuli.<br />
5.2 PREDOČIVANJE IZMJENIČNIH VELIČINA<br />
Izmjenične veličine do sada su prikazivane ili algebarskim izrazima ili vremenskim<br />
dijagramima. Radi jednostavnijeg računanja, crtanja i tumačenja odnosa u stru-<br />
134
Predočivanje izmjeničnih veličina<br />
jnim krugovima one se mogu prikazivati i rotirajućim dužinama, a s njima se može<br />
računati i u Gauss-ovoj ravnini.<br />
Ove metode prikazivanja i računanja nazivaju se simboličkim metodama.<br />
5.2.1 PRIKAZIVANJE ROTIRAJUĆIM DUŽINAMA I VEKTORIMA<br />
Prikazivanje izmjeničnih veličina rotirajućim dužinama zasniva se na grafičkoj konstrukciji<br />
sinusoide pomoću dužine koja rotira jednoličnom kutnom brzinom iz početnog<br />
horizontalnog položaja. Tako se na primjer sinusoida napona v = V m sin(ωt) može<br />
dobiti projekcijom rotirajuće dužine V m , kutne brzine ω = 2π · f , na vertikalnu os<br />
(slika 5.12).<br />
y<br />
V, I<br />
ω<br />
I (α)<br />
α<br />
x<br />
ωt<br />
α<br />
SLIKA 5.12: Dobivanje sinusoide pomoću rotirajuće dužine<br />
Projekcija rotirajuće dužine V m na vertikalnu os za bilo koji kut α = ωt jednaka<br />
je trenutnoj vrijednosti napona v = V m sin(ωt). Kada rotirajuća dužina opiše puni<br />
kut α = 2π, sinusoida opiše puni titraj.<br />
Prikaz sinusoida napona v = V m sin(ωt) i struje i = I m sin(ωt−ϕ) odgovarajućim<br />
rotirajućim dužinama daje slika 5.13.<br />
Obje rotiraju istom kutnom brzinom jer su istih frekvencija, a razlika faza ϕ<br />
očituje se kao geometrijski kut. Dužine su prikazane u položaju koji zauzimaju u<br />
trenutku t 1 . Izbor tog trenutka je slobodan, ali se u praksi najčešće poklapa s prolazom<br />
kroz nulu ili π/2 veličine koja se smatra referentnom.<br />
Prikazivanje istofrekvencijskih izmjeničnih veličina rotirajućim dužinama omogućava<br />
jednostavnije računanje s njima, jer se grafičko zbrajanje i oduzimanje rotirajućih<br />
dužina može izvesti na isti način kao zbrajanje i oduzimanje planarnih vektora. To<br />
opravdava postupak da se rotirajuće dužine zamijene mirujućim vektorima, čije<br />
dužine odgovaraju efektivnim vrijednostima prikazanih veličina, a razlika faza očituje<br />
se kao kut me ¯du njima.<br />
Uobičajeno je da se pri crtanju više vektora jedan uzima kao referentni i postavlja<br />
u pozitivni smjer osi apscisa ili ordinata, a ostali se, s odgovarajućim faznim po-<br />
135
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
y<br />
V,i<br />
V<br />
ω<br />
i<br />
ϕ<br />
x<br />
ωt<br />
ϕ<br />
SLIKA 5.13: Prikaz sinusoida rotirajućim dužinama<br />
macima, crtaju prema njemu. Oni s pozitivnim kutovima prema referentnome<br />
prethode mu, a oni s negativnim zaostaju.<br />
y<br />
V, I<br />
ω<br />
t = 0<br />
α<br />
α 0<br />
x<br />
α 0<br />
α<br />
ωt<br />
SLIKA 5.14: Vektor koji rotira u koordinatnom sustavu<br />
Vektor koji predstavlja napon, odnosno struju, rotira u koordinatnom sustavu<br />
(sl. 5.14) stalnom kutnom brzinom ω, pa kut vektora α stalno raste s vremenom.<br />
Ako je početna vrijednost kuta α = 0 za t = 0, kut je α = ωt. Projekcija vektora na os<br />
y mijenja se u vremenu po sinusnoj funkciji:<br />
Y (A) = A · sin(ωt)<br />
Y (A) - uspravna koordinata vektora<br />
A - vektor koji rotira<br />
Vektor može započeti vrtnju iz početnog položaja α = 0 ili iz bilo kojeg drugog<br />
položaja odre ¯denog nekim početnim kutem α 0 (sl. 5.14 b). U tom drugom slučaju<br />
vremenska promjena kuta vektora α izražena je jednadžbom:<br />
α = (ωt + α 0 )<br />
136
Predočivanje izmjeničnih veličina<br />
pa vremenska promjena uspravne koordinate vektora ima oblik opće sinusne<br />
funkcije:<br />
Y (A) = A · sin(ωt + α 0 )<br />
Sinusoida se na ovaj način može predstaviti rotirajućim vektorom, pri čemu je<br />
duljina vektora jednaka vršnoj vrijednosti sinusoide, kutna brzina vrtnje vektora<br />
jednaka je kružnoj frekvenciji sinusoide, a početni kut vektora jednak je početnom<br />
kutu sinusoide.<br />
Vektori izmjeničnih veličina mogu se nacrtati tako da se napon V uzme kao referentna<br />
veličina i postavi u pozitivni smjer osi apscisa, a struje se crtaju pomaknute<br />
prema njemu (slika 5.14).<br />
ϕ 1<br />
I 2<br />
I 3<br />
I 1<br />
ϕ 2<br />
V<br />
SLIKA 5.15: Vektorski prikaz napona i struja<br />
Dužine tih vektora odgovaraju, u odre ¯denom mjerilu, tjemenim, a posredno i<br />
efektivnim vrijednostima prikazanih veličina, a kutovi ϕ 1 i ϕ 2 faznim pomacima<br />
prema naponu kao referentnoj veličini. Vektor I 2 prethodi naponu za kut ϕ 2 , vektor<br />
I 3 je s njime u fazi, a vektor I 1 zaostaje za njim za kut ϕ 1 .<br />
Trebaju li se zbrojiti dvije izmjenične veličine, npr. struje I 1 i I 2 iz slike 5.16, čije<br />
su trenutne vrijednosti:<br />
i<br />
i 1 = I 1m · sin(ωt − ϕ 1 )<br />
i 2 = I 2m · sin(ωt − ϕ 2 )<br />
može se to načiniti grafički (slika 5.16). Rezultat je novi vektor I koji predstavlja<br />
efektivnu vrijednost zbroja struja i = i 1 + i 2 . Njegova faza ϕ je kut koji on zatvara s<br />
vektorom napona, pa je:<br />
i = i 1 + i 2 = I m · sin(ωt − ϕ)<br />
Izmjenične veličine nemaju svojstva vektora i nisu vektori, pa njihov vektorski<br />
prikaz ima simboličko značenje i služi samo za grafičko predočavanje i jednostavnije<br />
grafičke operacije zbrajanja i oduzimanja. Pritom se zbrajati i oduzimati<br />
mogu samo iste fizikalne veličine.<br />
137
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
I 2<br />
I 1<br />
I<br />
ϕ 2<br />
ϕ 1<br />
ϕ<br />
V<br />
SLIKA 5.16: Zbroj dviju struja<br />
5.2.2 FAZNI POMAK U VEKTORSKOM PRIKAZU<br />
Početni kut sinusode α 0 , koji pokazuje pomak nultočke sinusoide od ishodišta,<br />
odre ¯den je vremenom t 0 za koje je nultočka sinusoide pomaknuta od trenutka t =<br />
0, tako da vrijedi α 0 = t 0 (slika 5.17).<br />
Ovaj pomak sinusoide od ishodišta naziva se još i fazni pomak.<br />
y<br />
V m<br />
V,i<br />
α 0<br />
V m<br />
t 0<br />
x<br />
α 0<br />
ωt<br />
−V m<br />
SLIKA 5.17: Fazni pomak u vektorskom i vremenskom prikazu<br />
U vektorskom prikazu fazni pomak odre ¯den je početnim kutem koji vektor sinusne<br />
veličine zatvara s pozitivnim dijelom osi x. Pozitivni početni kut pokazuje<br />
pomak nultočke sinusne funkcije ulijevo od ishodišta, što vremenski znači pretho ¯denje<br />
nultočke trenutku t = 0. Negativni početni kut pokazuje pomak nultočke sinusne<br />
funkcije udesno od ishodišta, a vremenski označava kašnjenje nultočke iza trenutka<br />
t = 0.<br />
U vektorskom prikazu pozitivni fazni pomak (pretho ¯denje) znači zakret vektora<br />
od osi +x u smjeru suprotnom okretanju kazaljki sata, dok negativni fazni pomak<br />
(kašnjenje) znači zakret vektora u suprotnom smjeru.<br />
Fazni pomak može se odrediti samo izme ¯du harmonijskih veličina jednakih<br />
frekvencija. Fazni pomak izme ¯du dviju sinusoida jednak je razlici njihovih počet-<br />
138
Jednostavni krug izmjenične struje<br />
nih kuteva. U vektorskom prikazu fazni pomak jednak je kutu izme ¯du vektora dviju<br />
veličina. Kao fazni pomak uzima se manji (nutarnji) kut.<br />
5.3 JEDNOSTAVNI KRUG IZMJENIČNE STRUJE<br />
U istosmjernim krugovima konstantnih struja odnose izme ¯du struja i napona odre ¯divali<br />
su Ohm-ov i Kirchhoff-ovi zakoni. Kod prijelaznih pojava Kirchhoff-ovi zakoni<br />
su vrijedili i dalje, dok je Ohm-ov zakon ostao mjerodavan samo za trenutne iznose<br />
struja i napona na otporu R, ali ne i na induktivitetu L i kapacitetu C .<br />
Slično vrijedi i kod izmjeničnih struja. Prijelazne pojave iskazivane su trenutnim<br />
vrijednostima napona i struja. Isti tretman mora vrijediti i kod harmoničkih<br />
oblika. I tu moraju vrijediti oba Kirchhoff-ova zakona, a Ohm-ov samo za odnose<br />
na otporu R. Kako je s trenutnim vrijednostima teško i analitički i grafički manipulirati,<br />
pogodnije je to činiti s efektivnim, jer se na njih mogu primijeniti ranije navedeni<br />
načini izražavanja i računanja.<br />
Postavlja se pitanje kako se kod efektivnih veličina mogu primijeniti Ohm-ov i<br />
Kirchhoff-ovi zakoni, ako su one fazno pomaknute. Najprije se to može pogledati<br />
na pojedinim elementima, a zatim dobivene odnose primijeniti u složenim strujnim<br />
krugovima.<br />
5.3.1 OTPOR U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE<br />
Kao i u krugu istosmjerne struje, tako su i u krugu izmjenične struje, struja i napon<br />
na otporu povezani preko Ohm-ovog zakona (2.9).<br />
i<br />
+<br />
V<br />
−<br />
V R<br />
R<br />
SLIKA 5.18: Radni otpor u strujnom krugu<br />
Trenutna vrijednost napona v(t) na otporu R, kroz koji teče izmjenična struja<br />
oblika:<br />
i (t) = I m · sin(ωt)<br />
jednaka je u svakom trenutku umnošku otpora i trenutne vrijednosti struje:<br />
v(t) = R · i (t) = R · I m · sin(ωt)<br />
139
i R<br />
ϕ = 0<br />
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
To znači da sinusoida napona na otporu ima nule i maksimume istodobno kad<br />
i sinusoida struje, tj. izme ¯du struje i napona na otporu nema faznog pomaka: na<br />
otporu su struja i napon u fazi.<br />
V<br />
V R<br />
π 2π ωt<br />
i R<br />
V R<br />
SLIKA 5.19: Napon i struja kroz radni otpor R<br />
U grafičkom prikazu odre ¯denog mjerila, sinusoide struje i napona na otporu<br />
razlikuju se samo po vršnoj ili tjemenoj vrijednosti, pri čemu je vršna vrijednost<br />
napona jednaka umnošku otpora i vršne vrijednosti struje:<br />
V m = R · I m<br />
Omjer vršnih (a time i efektivnih) vrijednosti vrijednosti napona i struje jednak<br />
je otporu R:<br />
V m<br />
I m<br />
= V I = R<br />
5.3.2 KAPACITET U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE<br />
Dovede li se na kondenzator kapaciteta C izmjenični napon, zbog stalne promjene<br />
polariteta napona, kondenzator se naizmjence nabija i izbija. Za trenutne vrijednosti<br />
napona i struje prema slici 5.20 mora vrijediti:<br />
i = i C i v = v C<br />
pri čemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu<br />
zakonu. Iz odnosa koji vrijede za kondenzator, gdje je:<br />
140<br />
slijedi struja kondenzatora:<br />
dQ = C · d v C i i C = d q<br />
d t<br />
i C = C · d v C<br />
d t
Jednostavni krug izmjenične struje<br />
i<br />
+<br />
V<br />
−<br />
V C<br />
C<br />
SLIKA 5.20: Kapacitet u strujnom krugu<br />
Uz v = v C = V m·si n(ωt), trenutna vrijednost struje kroz kondenzator kapaciteta<br />
C slijedi iz:<br />
i iznosi:<br />
i C = C · d<br />
d t (V m · sin(ωt))<br />
i C = V m · ω ·C · cos(ωt) = I C m · sin(ωt + π/2) (5.3)<br />
Iz gornjeg izraza (5.3) vidljivo je da je vršna vrijednos I C m jednaka:<br />
I C m = V m · ω ·C (5.4)<br />
a prema (5.4) to vrijedi i za efektivne vrijednosti:<br />
I C = V · ω ·C = V 1<br />
(5.5)<br />
ω ·C<br />
Ova relacija izražava Ohm-ov zakon za efektivne vrijednosti harmoničkih napona<br />
i struja na kondenzatoru kapaciteta C, a njezin se nazivnik naziva kapacitivni jalovi<br />
otpor i označava se s X C . Uz:<br />
izraz (5.5) može se pisati kao:<br />
X C = 1<br />
ω ·C = 1<br />
2π · f ·C<br />
[Ω]<br />
I C = V X C<br />
što ukazuje da na kondenzatoru postoji čvrst odnos izme ¯du efektivnih vrijednosti<br />
napona i struje ovisan o kapacitetu C i frekvenciji f .<br />
Za strujnu frekvenciju ω = 0 (istosmjerna struja) kapacitet predstavlja beskonačni<br />
otpor. S porastom frekvencije kapacitivni se otpor smanjuje jer je obrnuto<br />
razmjeran frekvenciji.<br />
Kod nabijanja kondenzatora struja kondenzatora je najveća u trenutku kad je<br />
napon kondenzatora jednak nuli (kondenzator prazan), a jednaka je nuli kad je<br />
napon najveći (kondenzator nabijen). Slično tomu i sinusoida struje kroz kapacitet<br />
ima maksimum kad je sinusoida napona na nuli, a jednaka je nuli kad sinusoida<br />
141
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
V,i<br />
V C<br />
i C<br />
i C<br />
ϕ = 90 o<br />
− π 2<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3π<br />
2<br />
2π<br />
ωt<br />
V C<br />
SLIKA 5.21: Napon i struja kroz kondenzator kapaciteta C<br />
napona ima maksimum. Ovakav odnos sinusoida ukazuje na njihov fazni pomak<br />
koji se može prikazati i vektorski.<br />
Struja i napon na kapacitetu nisu u fazi, nego su fazno pomaknuti za kut ϕ =<br />
π/2 = 90 0 , što znači da struja na kapacitetu prethodi naponu za 90 0 .<br />
5.3.3 INDUKTIVITET U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE<br />
Teče li kroz svitak induktiviteta L izmjenična struja, zbog njenog vremenskog mijenjanja<br />
na induktivitetu se javlja napon samoindukcije.<br />
Ako se na izvor izmjeničnog napona v = V m · sin(ωt) priključi samo zavojnica<br />
induktiviteta L zanemarivog radnog otpora R, energija koju daje izvor pretvara se<br />
u njoj u magnetsku. Za trenutne vrijednosti napona i struje prema slici 5.22 mora<br />
vrijediti :<br />
i = i L i v = v L<br />
pri čemu izraz za struje odgovara prvom, a za napone drugom Kirchhoff-ovu<br />
zakonu.<br />
i<br />
+<br />
V<br />
−<br />
V L<br />
L<br />
SLIKA 5.22: Induktivitet u strujnom krugu<br />
Iz zakona o samoindukciji (3.31)):<br />
142
Jednostavni krug izmjenične struje<br />
e = −L di<br />
d t<br />
slijedi odnos izme ¯du napona i struje na induktivitetu:<br />
pa je:<br />
v L = −e = L di<br />
d t<br />
odnosno:<br />
v L = L di L<br />
d t<br />
di L = 1 L · v L · d t<br />
L:<br />
Uz v = V m ·sin(ωt) slijedi trenutna vrijednost struje kroz zavojnicu induktiviteta<br />
∫ 1<br />
i L =<br />
L ·V m · sin(ωt) · d t = V m<br />
ω · L (−cos(ωt)) = I Lm · sin(ωt − π 2 )<br />
Ono što vrijedi za tjemene vrijednosti:<br />
vrijedi i za efektivne:<br />
I Lm = V m<br />
ω · L<br />
I L =<br />
V<br />
ω · L<br />
Kako ovaj izraz s efektivnim vrijednostima napona i struje strukturom podsjeća<br />
na Ohm-ov zakon, umnožak ωL mora imati jedinicu koja vrijedi i za otpore (Ω =<br />
V /A), označava se s X L i naziva se induktivni jalovi otpor. Uz:<br />
X L = ω · L = 2π · f · L<br />
[Ω]<br />
je:<br />
I L = V X L<br />
što ukazuje da na zavojnici induktiviteta L pri frekvenciji f postoji čvrst odnos<br />
izme ¯du efektivnih vrijednosti napona i struje. Struja i L = I Lm ·sin(ωt −π/2) zaostaje<br />
za naponom v = V m · sin(ωt) za kut π/2 (slika 5.23).<br />
Za frekvenciju jednaku nuli i induktivni otpor jednak je nuli, što znači da za<br />
istosmjernu struju induktivitet predstavlja kratki spoj. S porastom frekvencije raste<br />
i induktivni otpor X L , tj. induktivni otpor je razmjeran frekvenciji.<br />
Porast induktivnog otpora može se pojasniti s pomoću svojstva svitka da se<br />
opire promjeni struje (koja znači promjenu energije magnetskog polja svitka). S<br />
143
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
V,i<br />
V L<br />
i L<br />
ϕ = −90 o<br />
V L<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3π<br />
2<br />
2π<br />
ωt<br />
i L<br />
SLIKA 5.23: Napon i struja kroz zavojnicu induktiviteta L<br />
porastom frekvencije raste brzina promjene struje (a toj promjeni se induktivitet<br />
opire), pa se stoga povećava (induktivni) otpor svitka.<br />
Napon samoindukcije razmjeran je brzini promjene struje u vremenu (∆i /∆t),<br />
koja je odre ¯dena strminom sinusoide. Strmina sinusoide struje najveća je u času<br />
kad je struja jednaka nuli. U tom času inducirani napon ima najveći iznos. U<br />
trenutku kada struja dosegne najveći iznos, tada prestaje rasti i u tom času je inducirani<br />
napon jednak nuli.<br />
Slično kao kod kapaciteta, izme ¯du struje i napona postoji fazni pomak ϕ = π/2 =<br />
90 0 . Za razliku od kapaciteta, na induktivitetu napon prethodi struji za 90 0 .<br />
5.4 SPOJEVI R, L I C U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE<br />
Elementi obra ¯deni u jednostavnim strujnim krugovima mogu u složenim krugovima<br />
biti spojeni serijski, paralelno i mješovito. Na svakom elementu vrijede upravo<br />
izvedeni odnosi izme ¯du napona i struje, a odnos izme ¯du napona i struje izvora ovisi<br />
o broju i načinu spajanja elemenata u složenom spoju.<br />
Ako izvor napona trenutne vrijednosti v i efektivne V napaja složeni strujni<br />
krug, teče iz njega struja trenutnog iznosa i i efektivnog I . Fazni pomak me ¯du njima<br />
ovisi o karakteru složenog strujnog kruga. Za vremenski nepromjenjive parametre<br />
u krugu efektivni iznosi napona V i struje I moraju biti razmjerni:<br />
V = I · Z (5.6)<br />
Ovaj izraz ima strukturu Ohm-ova zakona, pa se Z izražava u Ω i predstavlja<br />
’ekvivalentni otpor’ složenog strujnog kruga, a naziva se prividni otpor ili impedancija.<br />
Njegov iznos odre ¯duje se iz iznosa pojedinih radnih i jalovih otpora ovisno o<br />
načinu njihova spajanja. Recipročna vrijednost prividnog otpora je vodljiva vrijednost<br />
ili admitancija:<br />
144
Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje<br />
Y [S] = 1 Z [ 1 Ω ]<br />
s kojom se može jednostavnije računati kod paralelnih i mješovitih spojeva.<br />
5.4.1 SERIJSKI RL - KRUG<br />
+ V R − + VL −<br />
R L, X L<br />
I<br />
+<br />
−<br />
V<br />
SLIKA 5.24: Serijski RL-krug<br />
Kod serijskog spoja (slika 5.24) raznih vrsta otpora (ovdje su to radni otpor R i induktivni<br />
otpor X L ), naponi su me ¯dusobno pomaknuti u fazi, pa se ne može jednostavno<br />
zbrojiti njihove efektivne vrijednosti, nego treba uzeti u obzir i njihov fazni<br />
pomak. U tu svrhu se crta vektorski prikaz napona (vektorski dijagram), i naponi se<br />
zbrajaju vektorski.<br />
Vektorski dijagram (slika 5.25) započinje se crtati sa zajedničkom veličinom, a<br />
to je u serijskom spoju struja. Vektor struje I uzima se s početnim kutem 0, pa se<br />
prema njemu postavljaju vektori napona na induktivitetu V L i napona na otporu<br />
V R .<br />
V L<br />
V<br />
ϕ 2<br />
I<br />
V R<br />
SLIKA 5.25: Vektorski dijagram serijskog RL-kruga<br />
Napon na otporu V R u fazi je sa strujom I , dok napon na induktivitetu V L prethodi<br />
struji za 90 0 . Vektor napona izvora V jednak je vektorskom zbroju napona na otporu<br />
V R i induktivitetu V L . Ova tri napona čine pravokutni trokut, pa vrijedi:<br />
V 2 = V 2 R +V 2 L<br />
Kut napona V prema struji je pozitivan, tj. ukupni napon prethodi struji za neki<br />
kut ϕ (0 < ϕ < 90 0 ).<br />
145
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
Dijeljenjem svake stranice trokuta napona (slika 5.26 a) s I , dobiva se sličan pravokutni<br />
trokut s katetama jednakim radnom otporu R i induktivnom otporu X L . On<br />
se naziva trokut otpora (slika 5.26 b).<br />
Z = V I<br />
ϕ<br />
V<br />
V L<br />
ϕ<br />
X L = V L<br />
I<br />
V R<br />
a)<br />
R = V R<br />
I<br />
b)<br />
SLIKA 5.26: Trokuti napona i otpora<br />
Hipotenuza ovog trokuta jednaka je omjeru ukupnog napona V i struje I spojašto<br />
je jednako impedanciji Z iz izraza (5.6). Hipotenuza trokuta izražena njegovim<br />
katetama jednaka je:<br />
Z 2 = R 2 + X 2 L<br />
Kut ϕ (izme ¯du R i Z ) naziva se kut impedancije i identičan je kutu izme ¯du<br />
napona V R i V .<br />
5.4.2 SERIJSKI RC - KRUG<br />
+ V R −<br />
V C−<br />
+<br />
R C , X C<br />
I<br />
+<br />
−<br />
V<br />
SLIKA 5.27: Serijski RC-krug<br />
U vektorskom dijagramu za serijski RC-spoj vektor struje I uzima se referentnim<br />
(s početnim kutem 0 0 ). Napon na otporu V R u fazi je sa strujom, a napon na<br />
kapacitetu V C zaostaje u fazi iza struje za 90 0 . Vektorski zbroj napona na otporu V R<br />
i napona na kapacitetu V C daje napon izvora V . Ovi naponi čine pravokutni trokut<br />
iz kojeg proizlazi da je:<br />
146
Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje<br />
V 2 = V 2 R +V 2 C<br />
Ovdje je kut napona V prema struji negativan (slika 5.28 a), tj. napon V zaostaje<br />
iza struje za kut ϕ(−90 0 < ϕ < 0 0 ).<br />
ϕ<br />
V R<br />
ϕ<br />
R<br />
V<br />
V C<br />
X C<br />
Z<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.28: Trokuti napona i otpora serijskog RC-kruga<br />
U trokutu otpora (5.28 b), dobivenom iz trokuta napona, zbog negativnog kuta<br />
ϕ kapacitivni otpor X C je ispod radnog otpora R (nasuprot induktivnog otpora X L<br />
u trokutu otpora RL-kruga). Prividni, radni i reaktivni (kapacitivni) otpor povezani<br />
su i ovdje Pitagorinim poučkom:<br />
Z 2 = R 2 + X 2 C<br />
5.4.3 SERIJSKI RLC -KRUG<br />
+ V R − + VL −<br />
R L, X L<br />
V C−<br />
+<br />
C , X C<br />
I<br />
+<br />
−<br />
V<br />
SLIKA 5.29: Serijski RLC-krug<br />
U serijskom RLC -krugu uz radni otpor R su induktivni otpor X L i kapacitivni<br />
otpor X C (slika 5.29).<br />
U vektorskom dijagramu (slika 5.30), vektor napona na otporu V R u fazi je s<br />
vektorom struje I , koja se uzima kao referentna (s početnim kutem 0 0 ). Napon na<br />
147
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
induktivitetu V L prethodi struji za 90 0 , a napon na kapacitetu V C istodobno zaostaje<br />
za strujom za 90 0 , pa je kut izme ¯du ovih napona 180 0 .<br />
U serijskom spoju, vektori napona na induktivitetu i kapacitetu suprotnog su<br />
smjera. To znači da su ovi naponi u svakom času suprotnih polariteta (kaže se da<br />
su naponi u protufazi).<br />
V L<br />
V C<br />
|V L | − |V C |<br />
ϕ<br />
V<br />
I<br />
V C<br />
V R<br />
SLIKA 5.30: Vektorski dijagram serijskog RLC-kruga<br />
Napon na serijskom spoju induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednak razlici<br />
napona V L i V C , a ima smjer većeg od ovih napona. Kad je V L = V C , tada je napon<br />
na LC - spoju jednak nuli i sav napon izvora je na otporu R. U tom slučaju kažemo<br />
da je u serijskom RLC - krugu došlo do rezonancije. Vektor ukupnog napona V jest<br />
vektorski zbroj napona na otporu, induktivitetu i kapacitetu.<br />
U slučaju prikazanom na slici 5.30 napon V L veći je od napona V C , pa ukupni<br />
napon V prethodi struji za kut ϕ. U slučaju kad je V C veći od V L tad ukupni napon<br />
zaostaje u fazi iza struje (ϕ < 0 0 ). U rezonanciji napon V je u fazi sa strujom (ϕ = 0).<br />
Iz trokuta napona proizlazi jednadžba:<br />
V 2 = V 2 R + (V L −V C ) 2<br />
Dijeljenjem ove jednadžbe s I dobiva se izraz<br />
( V I )2 = ( V R<br />
I )2 + ( V L<br />
− V C<br />
I I )2<br />
(5.7)<br />
Z 2 = R 2 + (X L − X C ) 2 = R 2 + X 2<br />
Ova jednadžba opisuje trokut otpora (slika 5.31) gdje je ukupni jalovi, reaktivni<br />
otpor X jednak razlici induktivnog i kapacitivnog otpora (X = X L − X C ).<br />
ϕ<br />
Z<br />
R<br />
X = X L − X C<br />
SLIKA 5.31: Trokut otpora serijskog RLC-kruga<br />
148
Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje<br />
U rezonanciji je ukupni jalovi otpor X jednak nuli, pa je prividni otpor jednak<br />
radnom (Z = R).<br />
5.4.4 PARALELNI RL - KRUG<br />
V<br />
+<br />
−<br />
R<br />
I R I L<br />
G L, X L B L<br />
SLIKA 5.32: Paralelni RL-krug<br />
Kod paralelnog spoja otpora R i induktiviteta L (slika 5.32), napon je isti na oba<br />
elementa, a ukupna struja je zbroj struja pojedinih elemenata. Pri zbrajanju treba<br />
uzeti u obzir fazni pomak izme ¯du struja.<br />
U vektorskom prikazu vektor napona V (slika 5.33 a), zajednički za oba elementa,<br />
uzima se kao referentan i crta s kutem jednakim nuli. Struja kroz otpor I R u<br />
fazi je s naponom, a struja kroz induktivitet I L zaostaje za naponom za 90 0 . Vektor<br />
struje I je zbroj vektora struja I R i I L . Ova tri vektora čine pravokutan trokut gdje je:<br />
I 2 = I 2 R + I 2 L<br />
Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V , dobiva se sličan pravokutni<br />
trokut, čije su katete jednake recipročnim vrijednostima radnog i induktivnog otpora,<br />
tj. vodljivostima elemenata. Ove vodljivosti označuju se s G = I R<br />
V<br />
= 1 R (radna<br />
vodljivost) i B L = I L<br />
V<br />
= 1<br />
X<br />
= 1<br />
L ω·L<br />
(induktivna vodljivost), a taj trokut naziva se trokut<br />
vodljivosti (slika 5.33).<br />
V<br />
I R<br />
G = I R<br />
V<br />
I L<br />
ϕ Y<br />
I<br />
a)<br />
I L<br />
B L = I L<br />
V<br />
ϕ Y<br />
Y = I V<br />
b)<br />
SLIKA 5.33: Dijagrami paralelnog RL-kruga<br />
149
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
Hipotenuza ovog trokuta, jednaka omjeru ukupne struje i napona (I /V ) naziva<br />
se prividna vodljivost (ili admitancija) i označava s Y . Pritom vrijedi:<br />
Y 2 = G 2 + B 2 L<br />
Admitancija Y je vodljivost cijelog spoja i jednaka je recipročnoj vrijednosti<br />
impedancije Z paralelnog RL-spoja (Y = 1/Z ).<br />
Kut ukupne struje I prema naponu V naziva se kut admitancije i označuje s ϕ Y .<br />
On je po iznosu jednak, a predznakom suprotan kutu impedancije:<br />
ϕ Y = −ϕ<br />
Ukupna struja I ovdje zaostaje iza napona, pa je kut admitancije negativan<br />
(−90 0 < ϕ Y < 0 0 ). To znači da je kut impedancije ϕ pozitivan, što znači da napon V<br />
prethodi struji I (to je opće svojstvo induktivnog spoja).<br />
5.4.5 PARALELNI RC - KRUG<br />
V<br />
+<br />
−<br />
R<br />
I R<br />
I C<br />
G C , X C B C<br />
SLIKA 5.34: Paralelni RC-krug<br />
Kod paralelnog spoja otpora R i kapaciteta C (sl. 5.34), napon V isti je na oba<br />
elementa.<br />
Struja kroz otpor I R u fazi je s naponom V , a struja kroz kapacitet I C prethodi<br />
naponu za 90 0 . Vektor struje I je zbroj vektora struja I R i I C . Ova tri vektora čine<br />
pravokutni trokut (slika 5.35 a), gdje je:<br />
I 2 = I 2 R + I 2 C<br />
Dijeljenjem stranica trokuta struja s naponom V dobiva se sličan trokut nazvan<br />
trokut vodljivosti (slika 5.35 b). Katete ovog trokuta jednake su radnoj vodljivosti<br />
G (G = I R<br />
V<br />
= 1 R ) i kapacitivnoj vodljivosti (B C = I C<br />
V<br />
= 1<br />
X<br />
= ω · C ), a hipotenuza je<br />
C<br />
jednaka prividnoj vodljivosti spoja Y , gdje je<br />
Y 2 = G 2 + B 2 C<br />
Ukupna struja I ovdje prethodi naponu V , pa je kut admitancije pozitivan (0 0 <<br />
ϕ Y < 90 0 ). To znači da je kut impedancije ϕ negativan, što znači da napon zaostaje<br />
za strujom (to je opće svojstvo kapacitivnog spoja).<br />
150
Spojevi R, L i C u krugu izmjenične struje<br />
Y = I V<br />
I C<br />
I<br />
I C<br />
ϕ Y<br />
a)<br />
ϕ Y<br />
b)<br />
B C = I C<br />
V<br />
V<br />
I R<br />
G = I R<br />
V<br />
SLIKA 5.35: Dijagrami paralelnog RL-kruga<br />
5.4.6 PARALELNI RLC - KRUG<br />
+<br />
V<br />
−<br />
R<br />
I R I L<br />
I C<br />
G L, X L B L C , X C B C<br />
SLIKA 5.36: Paralelni RLC-krug<br />
U paralelnom RLC -krugu (slika 5.36) uz radni otpor R paralelno su spojena i<br />
oba tipa jalovih otpora, induktivni otpor X L i kapacitivni otpor X C .<br />
U vektorskom dijagramu (slika 5.37 a), vektor struje kroz otpor I R u fazi je s<br />
vektorom napona V , koji se uzima kao referentan (s početnim kutem 0 0 ). Struja<br />
kroz induktivitet I L prethodi naponu za 90 0 , dok struja kroz kapacitet I C zaostaje<br />
iza napona za 90 0 , pa je kut izme ¯du ovih struja 180 0 .<br />
U paralelnom spoju, vektori struja kroz induktivitet i kapacitet suprotnog su<br />
smjera.<br />
Struja paralelnog spoja induktiviteta i kapaciteta iznosom je jednaka razlici struja<br />
I C i I L , a ima smjer veće od tih struja. Kad je I C = I L , tad je ukupna struja LC -spoja<br />
jednaka nuli i sva struja izvora teče kroz otpor R. Tada se kaže da je nastupila rezonancija.<br />
Vektor ukupne struje I jednak je vektorskom zbroju struja kroz otpor, induktivitet<br />
i kapacitet. U slučaju prikazanom na slici 5.37 struja I C veća je od struje I L ,<br />
pa ukupna struja I prethodi naponu V za kut ϕ Y . U slučaju kad je I L veća od I C<br />
tada ukupna struja zaostaje u fazi za naponom (ϕ Y < 0 0 ). U rezonanciji struja I je<br />
u fazi s naponom (ϕ Y = 0 0 ). Iznosi struja me ¯dusobno su povezani jednadžbom:<br />
I 2 = I 2 R + (I C − I L ) 2 151
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
I C<br />
I L<br />
|I C | − |I L |<br />
ϕ Y<br />
I<br />
V<br />
Y = I V<br />
ϕ Y<br />
B<br />
I L<br />
I R<br />
G = I R<br />
V<br />
B = I C −I L<br />
V<br />
= B C − B L<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.37: Dijagrami paralelnog RLC-kruga<br />
Dijeljenjem ove jednadžbe sa V dobiva se izraz:<br />
( I V )2 = ( I R<br />
V )2 + ( I C<br />
V − I L<br />
V )2<br />
Y 2 = G 2 + (B C − B L ) 2<br />
Ovaj izraz opisuje trokut vodljivosti (slika 5.37 b). Ukupna reaktivna vodljivost<br />
B jednaka je razlici kapacitivne i induktivne vodljivosti (B = B C − B L ).<br />
U rezonanciji je ukupna reaktivna vodljivost B = 0 (otpor paralelnog spoja L i C<br />
je beskonačan), pa je prividna vodljivost jednaka radnoj (Y = G).<br />
5.5 REZONANCIJA<br />
Rezonancija je pojava koja se javlja u strujnom krugu kada je induktivni jalovi otpor<br />
jednak kapacitivnom:<br />
X L = X C<br />
Ako su ovi otpori spojeni u seriju rezonancija se naziva serijskom ili naponskom,<br />
a ako su spojeni paralelno naziva se paralelnom ili strujnom.<br />
Za prividni otpor u serijskom RLC spoju vrijedi:<br />
√<br />
Z = R 2 + (X L − X C ) 2<br />
pa je pri rezonanciji uz X L = X C on minimalan i jednak radnom:<br />
Z = R<br />
Struja izvora je maksimalna, jer je ovisna samo o radnom otporu:<br />
152
Rezonancija<br />
I = V Z = V R<br />
i u fazi je s naponom. Jednake su i efektivne vrijednosti napona na zavojnici i<br />
kondenzatoru:<br />
jer je:<br />
V L = V C<br />
V L = X L · I i V C = X C · I<br />
a me ¯du njima je fazni pomak π.<br />
Kako je pri serijskoj rezonanciji struja izvora maksimalna, naponi na zavojnici i<br />
kondenzatoru mogu biti znatno veći od napona izvora, što može dovesti do njihova<br />
proboja i oštećenja.<br />
Za prividni otpor u paralelnom RLC spoju vrijedi:<br />
1<br />
Z = √<br />
( 1 R )2 + ( 1<br />
X<br />
− 1<br />
L X<br />
) 2<br />
C<br />
pa je pri rezonanciji uz X L = X C on maksimalan i jednak radnom:<br />
Z = R<br />
Struja izvora je stoga minimalna i jednaka:<br />
I = V Z = V R<br />
i u fazi je s naponom.<br />
Jednake su i efektivne vrijednosti struja kroz zavojnicu i kondenzator:<br />
jer je:<br />
I L = I C<br />
I L = V X L<br />
i I C = V X C<br />
a me ¯du njima je fazni pomak π.<br />
Kako je pri paralelnoj rezonanciji struja izvora minimalna i jednaka struji kroz<br />
radni otpor, struje kroz zavojnicu i kondenzator mogu biti znatno veće od struje<br />
koju daje izvor, što može dovesti do njihova oštećenja i razaranja.<br />
Pri rezonanciji je X L = X C pa slijedi:<br />
iz čega proizlazi:<br />
ω · L = 1<br />
ω ·C<br />
153
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
ω = 1 <br />
L ·C<br />
Uz povezanost frekvencije i kružne frekvencije:<br />
f = ω 2π<br />
slijedi da pri rezonanciji iznosi induktiviteta i kapaciteta odre ¯duju rezonantnu<br />
ili vlastitu frekvenciju po izrazu:<br />
1<br />
f =<br />
2π · L<br />
·C<br />
[H z]<br />
To istodobno znači da će rezonancija nastupiti u strujnom krugu s L i C i u<br />
slučaju ako izvor struje ima frekvenciju jednaku vlastitoj frekvenciji toga kruga.<br />
Rezonancija ima široku primjenu u radio-tehnici i komunikacijama, gdje se izmjenom<br />
magnetske energije zavojnice i električne energije kondenzatora mogu emitirati<br />
elektromagnetski valovi u okolni prostor. Oni se mogu iz okolnog prostora i<br />
primati. Strujni krugovi koji sadrže L i C te imaju tu funkciju nazivaju se antenski<br />
krugovi. Prijem elektromagnetskih valova odre ¯dene frekvencije odvija se tako da se<br />
u prijemnom antenskom krugu, podešavanjem iznosa L ili C , vlastita frekvencija<br />
strujnog kruga izjednači s frekvencijom tih valova.<br />
5.6 SNAGA I FAKTOR SNAGE<br />
Pri odre ¯divanju snage i rada konstantne istosmjerne struje utvr ¯deno je da je snaga<br />
jednaka umnošku napona i struje, a rad umnošku napona, struje i vremena:<br />
P = V · I i W = P · t = V · I · t<br />
Za izmjeničnu struju harmoničkog oblika, s pomakom ϕ u fazi izme ¯du napona<br />
i struje, srednja snaga P, razvijena u vremenskom intervalu T , iznosi:<br />
P = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
p(t) · d t = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
v · i · d t = 1 T<br />
∫ T<br />
0<br />
[V · I · cos(ϕ) −V · I · cos(2ω · t − ϕ)]d t<br />
Budući da je integral drugog dijela izraza jednak nuli, slijedi:<br />
P = V · I · cos(ϕ) [W ]<br />
a rad se računa kao:<br />
W = P · T = V · I · cos(ϕ) · T<br />
[J]<br />
Srednja snaga jednaka je umnošku efektivnih vrijednosti napona i struje i kosinusa<br />
njihova faznog pomaka. Izraz cos(ϕ) stoga se naziva faktorom snage. Kako<br />
154
Snaga i faktor snage<br />
fazni pomak ϕ može pri trošenju energije poprimiti vrijednosti −π/2 ≤ ϕ Y ≤ π/2,<br />
faktor snage kreće se izme ¯du 1 i 0 (0 0 ≤ cos(ϕ) ≤ 1).<br />
Ako je fazni pomak struje prema naponu −π/2, kao na induktivitetu L srednja<br />
snaga je:<br />
P = V · I · cos(− π 2 ) = 0<br />
Ako je fazni pomak struje prema naponu π/2, kao na kapacitetu C , srednja<br />
snaga je:<br />
P = V · I · cos π 2 = 0<br />
5.6.1 TROKUT SNAGA<br />
Izraz za srednju snagu P = V ·I ·cos(ϕ) navodi na predodžbu trokuta s hipotenuzom<br />
V · I i katetom V · I ·cos(ϕ). Druga kateta odgovarala bi umnošku V · I ·sin(ϕ). Time<br />
su dobivene tri komponente snage koje grafički tvore trokut.<br />
Za svaki dio strujnog kruga koji se dade predočiti trokutom otpora moguće je<br />
postaviti i trokut snaga. Radnom otporu pri tom odgovara radna ili srednja snaga,<br />
jalovom jalova i prividnom prividna snaga (slika 5.38).<br />
Z<br />
X<br />
V I<br />
V I sinϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
R<br />
V I cosϕ<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.38: Trokuti otpora i snaga<br />
Radna energija predstavlja korisno upotrebljivu energiju u trošilu, jalova služi<br />
za izgradnju magnetskog polja u zavojnici i električnog u kondenzatoru, a prividna<br />
je mjerodavna za dimenzioniranje izvora struje koji treba podmiriti potrebu za radnom<br />
i jalovom.<br />
Za svaku komponentu snage (energije u vremenu) koristi se uz drugu oznaku i<br />
druga mjerna jedinica, pa je:<br />
• radna ili srednja snaga P = V · I · cos(ϕ) [W ]<br />
• jalova snaga P Q = V · I · sin(ϕ) [V Ar ]<br />
• prividna snaga P S = V · I [V A]<br />
155
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
Jedinica V Ar čita se ’reaktivni voltamper’. Za me ¯dusobni odnos komponenata<br />
snage vrijedi:<br />
gdje su:<br />
√<br />
P S = P 2 + P 2 Q<br />
P = P S · cos(ϕ) i P Q = P S · sin(ϕ)<br />
Za fazni pomak napona i struje jednak nuli je cos(ϕ) = 1, a radna snaga jednaka<br />
je prividnoj.<br />
Ako za neki dio strujnog kruga vrijedi da je X L > X C , onda u trokutu snaga za taj<br />
dio prevladava induktivna jalova komponenta, pa trokut snage izgleda kao na slici<br />
5.39 a). Ako pak vrijedi da je X L < X C , onda prevladava kapacitivna jalova komponenta,<br />
pa trokut snage izgleda kao na slici 5.39 b). U prvom slučaju kaže dse a je<br />
fazni pomak induktivan, a u drugom kapacitivan.<br />
P<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
P S<br />
P Q<br />
P S<br />
P Q<br />
P<br />
ϕ − i ndukti van<br />
ϕ − kapaci ti van<br />
a)<br />
b)<br />
SLIKA 5.39: Trokut snaga<br />
Za složene strujne krugove trokuti snaga se mogu zbrajati. Zbrajanje se obavlja<br />
tako da se algebarski zbroje radne i istoimene jalove (npr. induktivna i induktivna ili<br />
kapacitivna i kapacitivna) komponente, a grafički, povezivanjem njihovih vrhova,<br />
dobije se rezultantna prividna snaga. Kod raznoimenih jalovih komponenata njihovi<br />
iznosi se oduzimaju.<br />
Ako je jalova snaga P Q na slici 5.39 a) jednaka:<br />
P Q = P QL = V L · I L<br />
onda može jalova snaga P Q na slici 5.39 b) biti jednaka:<br />
P Q = P QC = V C · I C<br />
Ukupna jalova snaga npr. u serijskom spoju je onda:<br />
P Q = P QL − P QC<br />
156
Trofazni sustav<br />
5.7 TROFAZNI SUSTAV<br />
Ako se umjesto jednoga u statoru generatora nalaze tri me ¯dusobno odvojena namota,<br />
onda će se pri rotaciji magnetskog polja permanentnog magneta u njima inducirati<br />
naponi pomaknuti u fazi. Kako je geometrijski raspored namota kod trofaznog<br />
sustava simetričan, bit će simetrični i inducirani naponi, jer su iznosom jednaki i<br />
me ¯dusobno jednako fazno pomaknuti za 2π/3. Trenutne vrijednosti napona trofaznog<br />
sustava su:<br />
v 1 = V m · sin(ωt)<br />
v 1 = V m · sin(ωt − 2π 3 )<br />
v 1 = V m · sin(ωt − 4π 3 )<br />
Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz efektivnih vrijednosti napona<br />
prikazani su na slici 5.40.<br />
V<br />
V 1 V 2 V 3<br />
2π<br />
3<br />
2π<br />
3<br />
2π<br />
3<br />
4π<br />
3<br />
2π<br />
ωt<br />
V 3<br />
V 1<br />
V 2<br />
2π<br />
3<br />
SLIKA 5.40: Krivulje trenutnih vrijednosti i vektorski prikaz<br />
Neovisno o načinu spajanja kod trofaznog sustava, razlikuju se dvije vrste veličina:<br />
fazne i linijske. Fazne se odnose na jednu fazu izvora ili trošila, a linijske na vodiče<br />
linija koji spajaju izvor s trošilom, te na priključke izvora i trošila. Osnovne mogućnosti<br />
spoja izvora i trošila su spoj u zvijezdu i spoj u trokut.<br />
5.7.1 NAPONI I STRUJE U SPOJU ZVIJEZDA<br />
Kod spoja u zvijezdu krajevi namota spajaju se u zajedničku točku koja se naziva<br />
zvjezdište ili nul-točka. Vodič koji izlazi iz zvjezdišta naziva se nul-vodič, a ostali<br />
krajevi namota su slobodni i služe za priključak na mrežu.<br />
157
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
V<br />
V 1 V 2 V 3<br />
2π<br />
3<br />
2π<br />
3<br />
2π<br />
3<br />
4π<br />
3<br />
2π<br />
ωt<br />
V 3<br />
V 1<br />
V 2<br />
2π<br />
3<br />
SLIKA 5.41: Naponi i struje u spoju zvijezda<br />
Kod spoja u zvijezdu postoji razlika izme ¯du faznih i linijskih napona, a kako su<br />
struje faza istovremeno struje koje teku kroz vodiče izme ¯du izvora i trošila, fazne i<br />
linijske struje su jednake, za sve tri faze. Stoga u zvijezda spoju vrijede izrazi:<br />
I = I f<br />
V = 3 ·V f<br />
5.7.2 NAPONI I STRUJE U SPOJU TROKUT<br />
Kod spoja u trokut spaja se kraj jednog namota s početkom susjednog, čime se dobiju<br />
tri spojne točke.<br />
i u<br />
I 1<br />
I U = I<br />
I W<br />
−I 3<br />
i 1<br />
i v<br />
i w<br />
V UV<br />
V 1 = V f<br />
Z 1 Z 3<br />
V W U<br />
I 3<br />
Z 2<br />
i 3<br />
i<br />
V 2 V W V 3<br />
I 2 V 2<br />
I V<br />
SLIKA 5.42: Naponi i struje u spoju trokut<br />
Fazni i linijski naponi su jednaki, jer je napon jedne faze istovremeno i napon<br />
158
Appleti<br />
izme ¯du dva vodiča mreže. Fazne i linijske struje me ¯dusobno se razlikuju, pa u spoju<br />
trokut vrijede izrazi:<br />
V = V f<br />
I = 3 · I f<br />
5.7.3 SNAGA TROFAZNOG SUSTAVA<br />
Ukupna snaga simetričnoga trofaznog sustava jednaka je zbroju snaga pojedinih<br />
faza:<br />
P = 3 ·V f · I f · cos(ϕ) [W ]<br />
Kada se naponi i struje izraze preko linijskih vrijednosti, tada je srednja snaga<br />
za spoj trokut i spoj zvijezda opisana istim izrazom:<br />
P = 3 ·V l · I l · cos(ϕ) [W ]<br />
Pored srednje (radne) snage, postoje još kao i u jednofaznom sustavu: - jalova<br />
snaga:<br />
- prividna snaga:<br />
P Q = 3 ·V · I · sin(ϕ) [V Ar ]<br />
P S = 3 ·V · I [V A]<br />
5.8 APPLETI<br />
5.8.1 ELEKTRIČNI ELEMENTI U KRUGU IZMJENIČNE STRUJE<br />
Ovaj applet prikazuje jednostavni krug izmjenične struje sa jednim elementom (otpor,<br />
kondenzator ili zavojnica).<br />
U krug su uključeni ampermetar i voltmetar koji mjere jakost struje i napon.<br />
Ispod strujnog kruga prikazane su oscilacije napona i struje, pomoću vektora<br />
(fazora) i sinusoida. Napon je prikazan plavom bojom, a struja crvenom.<br />
Pomoću prve tri mogućnosti (desni gornji kut), odabiremo osnovni element<br />
strujnog kruga (otpor, kondenzator ili zavojnica).<br />
Lijevim click-om na gumb:<br />
• RESET - krug se vraća u početni položaj,<br />
159
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
SLIKA 5.43: Električni elementi u krugu izmjenične struje<br />
• START/PAUSE/RESUME - pokreće se, zaustavlja i nastavlja simulacija,<br />
• SLOW MOTION - simulacija se može usporiti pet puta.<br />
Tri tekstovna polja u koja se upisuju željene vrijednosti omogućuju promjenu<br />
frekvencije, tjemene vrijednosti ulaznog napona, te vrijenosti otpora, kapaciteta ili<br />
induktiviteta. Za zadane vrijednosti u simulaciji se može očitati tjemena vrijednost<br />
struje i promatrati vremenski i vektorski V, I dijagram.<br />
5.8.2 SLOŽENI R, L I C STRUJNI KRUGOVI<br />
U prva dva tekstovna polja upisuje se iznos napona na izvoru (VOLTAGE) i frekvancija<br />
(FREQUENCY). Pomoću padajućeg izbornika izabire se element strujnog<br />
kruga: otpornik (resistor), kondenzator (capacitor) ili zavojnica (inductor).<br />
U iduće tekstovno polje upisuje se iznos otpora (resistance), kapaciteta (capacitance)<br />
ili induktiviteta (inductivity), ovisno o tome koji je element odabran.<br />
Lijevim click-om miša na gumb:<br />
• REPLACE - zamjenjuje se označeni (narančastim pravokutnikom) element<br />
(ili dio) strujnog kruga sa elementom koji je odabran iz padajućeg izbornika,<br />
• ADD (IN SERIES) - dodaje se odabrani element u seriju s označenim elementom<br />
(dijelom) strujnog kruga,<br />
• ADD (IN PARALLEL) - dodaje se odabrani element u paralelu označenom elementu<br />
(dijelu) strujnog kruga,<br />
160
Appleti<br />
SLIKA 5.44: Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje<br />
• REMOVE - vraća se zadnje stanje strujnog kruga (briše se dodani element)<br />
Lijevim click-om miša označuju se elementi u strujnom krugu, kako bi se dodavali<br />
novi ili brisali postojeći.<br />
Izborom:<br />
• VOLTAGE - priključuje se voltmetar, koji će mjeriti napon na označenom elementu<br />
(dijelu),<br />
• AMPERAGE - priključuje se ampermetar, koji će mjeriti jakost struje kroz označeni<br />
element (dio) strujnog kruga.<br />
Ispod strujnog kruga mogu se očitati vrijednosti napona (VOLTAGE), jakosti<br />
struje (AMPERAGE), impedancije (IMPEDANCE) i faznog kuta (PHASE ANGLE), koje<br />
se odnose na označeni (markirani) dio (ili element) strujnog kruga.<br />
161
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
5.9 ZADACI<br />
5.1 Odredite:<br />
a) Ako je period neke pojave 2/3 sekunde, kolika je njena frekvencija,<br />
b) kolika joj je kružna frekvencija ako je pojava harmonička,<br />
c) izrazite pojavu analitički ako joj amplituda iznosi 1 volt, a u početku promatranja<br />
ima pozitivni maksimum,<br />
d) izrazite analitički napon iste amplitude i frekvencije koji onome iz c)<br />
prethodi za π/2,<br />
e) kolika je efektivna vrijednost oba napona, a kolika im je srednja vrijednost?<br />
Rješenje: a) 1,5 Hz b) 3π rad/s c) cos(3πt) d) −sin(3πt) e) v e f = 1/ 2 V ,<br />
v sr = 0 V<br />
5.2 100 · sin(200 · t) V je analitički izražen napon. Odredite:<br />
a) kolika je efektivna vrijednost napona,<br />
b) kolika mu je frekvencija,<br />
c) koliko milisekundi mu traje period,<br />
d) izrazite analitički struju koja teče kroz kondenzator od 1µ F na koji je<br />
priključen na ovaj napon.<br />
Rješenje: a) 70,71 V b) 31,83 Hz c) 31,4 ms d) 0,02 · sin(200t + π/2) A<br />
5.3 Na napon v = 220 2sin(100t) V spojena je preko voda otpora 6Ω žarulja s<br />
oznakom 150 W, 220 V. Odredite:<br />
a) kolika efektivna struja teče kroz trošilo,<br />
b) kolika je snaga na trošilu,<br />
c) koliki je gubitak snage na vodu,<br />
d) koliki je stupanj djelovanja (korisnost) spoja,<br />
e) kolika bi struja potekla da se žarulja kratko spoji?<br />
Rješenje: a) 0,67 A b) 144,86 W c) 2,693 W d) 0,982 e) 36,67 A<br />
5.4 Kroz kondenzator priključen na linijski napon mreže 220/380 V, 50 Hz teče<br />
struja 1 A. Odredite:<br />
162
Zadaci<br />
a) kolika je vrijednost kapaciteta kondenzatora,<br />
b) kolika je jalova snaga na kondenzatoru,<br />
c) skicirajte vektorski dijagram napona i struje,<br />
d) nacrtajte i=f(t) i u=f(t) na istoj apscisi za vrijeme 0 t 0,04 s s potrebnim<br />
oznakama,<br />
e) koja veličina prethodi.<br />
Rješenje: a) 8,38µ F b) 380 VAr e) struja prethodi naponu za 90 0<br />
5.5 Zavojnica s omskim otporom ima radnu snagu 40 W, a prividnu 50 VA kad<br />
je priključena na 220 V / 50 Hz. Odredite:<br />
a) kolika struja teče krugom,<br />
b) koliki je omski otpor,<br />
c) koliki je induktivitet zavojnice,<br />
d) koliki je faktor snage,<br />
e) kolika je snaga ako se priključi istosmjerni napon 220 V.<br />
Rješenje: a) 0,2273 A b) 774,2Ω c) 1,849 H d) 0,8 e) 62.5 W<br />
5.6 Kad se realna zavojnica priključi na istosmjernih 12 V, teče struja 0,2 A. Ako<br />
li se priključi na 220 V / 50 Hz, uzima struju 1,4 A. Odredite:<br />
a) koliki je induktivitet zavojnice,<br />
b) koliki je faktor snage zavojnice,<br />
c) kolika je njezina prividna snaga,<br />
d) skicirajte u približnom mjerilu trokut impedancije,<br />
e) skicirajte pripadni vektorski dijagram.<br />
Rješenje: a) 0,4623 H b) 0,38 s c) 308 VA<br />
5.7 Paralelni spoj otpora R i induktiviteta L priključen je na napon 120 V. Odredite:<br />
a) ako je I R = 15 A, I L = 8 A i f = 1 kHz koliki su R i L,<br />
b) kolike će biti struje u granama ako se frekvencija poveća dvostruko,<br />
c) vektorski skicirajte odnose pri a) i b),<br />
d) da li ukupna struja prethodi ili zaostaje za naponom,<br />
163
5. IZMJENIČNE STRUJE<br />
e) pri kojoj frekvenciji će struje u granama biti jednakog iznosa?<br />
Rješenje: a) 8Ω , 2,39 mH b) I L = 4[A], I R = 15 A d) zaostaje e) 533 Hz<br />
5.8 Serijski spoj omskog i jalovog otpora priključi se na napon v = 220 2sin(100πt)<br />
V . Krugom teče struja i = 2sin(100πt − π/3) A. Odredite:<br />
a) koliku efektivnu vrijednost ima struja,<br />
b) nacrtajte električnu shemu spoja i vektorski prikaz napona i struje,<br />
c) odredite faktor snage,<br />
d) kolike su vrijednosti elemenata,<br />
e) kolika se energija pretvara u toplinu za 1 minutu?<br />
Rješenje: a) 1 A c) 0,5 d) R = 4,5mΩ , L = 0,6065 H e) 6600 J<br />
5.9 Ukupna struja paralelnog spoja dva elementa priključenog na 220 V / 50 Hz<br />
iznosi 10 A i zaostaje sa naponom 30 0 . Odredite:<br />
a) o kojim je elementima riječ, skicirajte spoj,<br />
b) nacrtajte pripadni vektorski dijagram,<br />
c) izračunajte impedanciju spoja,<br />
d) izračunajte radnu i jalovu snagu spoja,<br />
e) koji element i kojeg iznosa treba dodati paralelno da ukupna struja do ¯de<br />
u fazu s naponom?<br />
Rješenje: a) otpornik, zavojnica c) 22Ω d) 1,9 kW , 1,1 kVAr e) kondenzator,<br />
72,3µF<br />
5.10 Kolike su fazna struja i snaga peći koja ima tri grijača tijela od po 25Ω<br />
spojena u zvijezdu i priključena na napon 380/220 V ?<br />
Rješenje: 8,8 A ,<br />
5,81 kW<br />
164
WEB-ADRESE APPLET-A<br />
ADODATAK<br />
1. Elektrostatika<br />
1. Električno polje naboja: http://www.falstad.com/emstatic/<br />
2. Kapacitet pločastog kondenzatora: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/<br />
java/capacitance/index.html<br />
3. Prirodni kondenzator: http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/<br />
lightning/index.html<br />
2. Istosmjerna struja<br />
1. Ohmov zakon: http://www.zaz.com.br/fisicanet/simulacoes/simulacoes/<br />
lei_de_ohm.html<br />
2. Jednostavni strujni krug: http://jersey.uoregon.edu/vlab/Voltage/index.<br />
html<br />
3. Mjerenje napona, struje i snage u strujnom krugu: http://people.clarkson.<br />
edu/~svoboda/eta/ClickDevice/refdir.html<br />
4. Serijski spoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/<br />
SeriesRDesign.html<br />
5. Paralelni spoj otpora: http://people.clarkson.edu/~svoboda/eta/designLab/<br />
ParallelRDesign.html<br />
6. Kirchhoff–ovi zakoni: http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/<br />
ipmj/java/resist4/index.html<br />
3. Magnetizam<br />
1. Naboj u magnetskom polju: http://surendranath.tripod.com/Applets/<br />
Electricity/MovChgMag/MovChgMagApplet.html<br />
2. Lorenz-ova sila http://www.walter-fendt.de/ph11e/lorentzforce.htm<br />
165
A. WEB-ADRESE APPLET-A<br />
3. Faraday-ev zakon: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Induction.<br />
htm<br />
4. Lennz-ov zakon http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/lenzlaw/<br />
index.html<br />
4. Prijelazne pojave<br />
1. RC-krug: http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc.html<br />
2. RL-krug: http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/RL.htm<br />
3. Elektromagnetski oscilirajući krug: http://www.walter-fendt.de/ph14e/<br />
osccirc.htm<br />
5. Izmjenična struja<br />
1. Električni elementi u krugu izmjenične struje: http://www.walter-fendt.<br />
de/ph14e/accircuit.htm<br />
2. Kombinacija R, L i C u krugu izmjenične struje: http://www.walter-fendt.<br />
de/ph14e/combrlc.htm<br />
166
LITERATURA<br />
[1] Mario Essert; Zdravko Valter, Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1991.<br />
[2] H. Linse, Elektrotechnik f ur Maschinenbauer, B.G. Teubner, Stuttgart 1972.<br />
[3] Josip Lončar, Osnovi elektrotehnike, knjiga prva i druga, Tehnička knjiga Zagreb,<br />
1958.<br />
[4] Antun Maletić, Osnove elektrotehnike za studente strojarstva, Sveučilište u<br />
Splitu - FESB, Split 1987.<br />
[5] Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 1. dio, Element Zagreb, 1997.<br />
[6] Armin Pavić, Osnove elektrotehnike, 2. dio, Element Zagreb, 1997.<br />
[7] Vladimir Pinter, Osnove elektrotehnike, knjiga prva i druga, Tehnička knjiga Zagreb,<br />
1975.<br />
[8] Edward M. Purcell, Elektricitet i magnetizam, Tehnička knjiga Zagreb, 1988.<br />
[9] J. A. Richards; F. W. Sears; M. R. Wehr; M. W. Zemansky, Modern University<br />
Physics, Addison-Wesley, Massachusetts, USA, 1960.<br />
[10] F. W. Sears, Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Massachusetts, USA,<br />
1951.<br />
[11] R. L. Sproull, Modern Physics, J. Wiley & Sons, New York, 1963.<br />
[12] Ivan Supek, Nova fizika, Školska knjiga Zagreb, 1966.<br />
167
INDEKS<br />
akumulator<br />
dobrota, 52<br />
kapacitet, 51<br />
korisnost, 51<br />
akumulatori - sekundarni elementi, 50<br />
amper, [A], 94<br />
ampermetar<br />
proširenje mjernog područja, 64<br />
atom, 2<br />
ljuska, 3<br />
neutron, 2<br />
proton, 2<br />
baterije - primarni elementi, 48<br />
depolarizator, 49<br />
efektivna vrijednost, 131<br />
ekvipotencijalne točke, 12<br />
električna<br />
energija, 67<br />
snaga, 66<br />
vodljivost, 5, 35<br />
električna struja, 34<br />
- u otopinama, 46<br />
- u plinu, 44<br />
smjer, 31<br />
električni<br />
generator, 129<br />
izvori, 32<br />
fotonaponski, 32<br />
generator, 33<br />
kemijski, 32<br />
termoelementi, 33<br />
kapacitet, 16<br />
naboj, 3<br />
napon, 32<br />
otpor vodiča, 35<br />
potencijal, 12<br />
rad, 15, 66<br />
električni izvor<br />
elektromotorna sila izvora, 52<br />
nutarnji otpor, 54<br />
vanjska karakteristika, 53<br />
električno<br />
brojilo, 67<br />
električno polje, 6<br />
homogeno, 8<br />
jakost, 7<br />
električna struja, 31<br />
elektrode<br />
anoda, 46<br />
katoda, 46<br />
elektrodinamičko djelovanje, 94<br />
elektrokemijski<br />
elementi, 48<br />
naponski niz, 48<br />
elektroliza, 46<br />
elektromagnetski valovi, 120<br />
energija<br />
nabijenog kondenzatora, 22, 111<br />
potencijalna, 13<br />
zavojnice, 114<br />
Faraday<br />
zakon elektromagnetske indukcije,<br />
96<br />
Faraday-evi zakoni elektrolize, 47<br />
fazna razlika, 133<br />
frekvencija, 128<br />
kružna, 129<br />
169
INDEKS<br />
galvanometar, 92<br />
histereza, 85<br />
indukcija<br />
(elektro)magnetska, 82<br />
influencija<br />
dielektrična, 9<br />
instrumenti, 62<br />
ampermetar, 34, 53<br />
voltmetar, 32, 53<br />
ion, 5<br />
izmjenična struja<br />
jalova snaga, 155<br />
kondenzator, 140<br />
otpor, 139<br />
Paralelni RC - krug, 150<br />
Paralelni RL - krug, 149<br />
Paralelni RLC - krug, 151<br />
prividna snaga, 156<br />
radna snaga, 156<br />
RC krug, 146<br />
rezonancija, 148<br />
RL krug, 145<br />
RLC spoj, 144<br />
Serijski RLC -krug, 147<br />
snaga, 154<br />
srednja snaga, 155<br />
strujni krug, 139<br />
trokut snaga, 155<br />
zavojnica, 142<br />
Kirchhoff-ovi zakoni, 39<br />
kondenzator, 16<br />
izbijanje, 113<br />
nabijanje, 112<br />
napon proboja, 17<br />
prirodni, 23<br />
spojevi, 18<br />
krivulja magnetiziranja, 85<br />
LC spoj - oscilator, 118<br />
Lenzovo pravilo (zakon), 98<br />
magnetizam<br />
remanentni, 85<br />
magnetomotorna sila, 87<br />
magnetska<br />
energija, 102<br />
histereza, 102<br />
me ¯duindukcija, 99<br />
permeabilnost, 82<br />
privlačna sila, 104<br />
samoindukcija, 98<br />
magnetske<br />
domene, 82<br />
magnetski<br />
akcelerator, 92<br />
krug, 87<br />
otpor, 87<br />
tok, 81<br />
magnetsko<br />
razmagentiziranje jezgre, 103<br />
magnetsko polje, 78<br />
homogeno, 83<br />
izvan vodiča, 80<br />
ravnog vodiča, 80<br />
sila, 89<br />
sila na naboj u gibanju, 89<br />
zavojnice, 80<br />
materijali<br />
feromagnetski, 84<br />
magnetski, tvrdi i meki, 86<br />
neferomagnetski, 84<br />
napon, 14<br />
naponski izvor<br />
realni, 56<br />
Ohm-ov zakon, 37<br />
olovni akumulator, 50<br />
oscilacijski, titrajni krug, 119<br />
otpor<br />
temperaturni koeficijent, 36<br />
polarizacija dialektrika, 9<br />
RC krug, 112<br />
rezonancija, 152<br />
RL krug, 117<br />
RL spoj, 114<br />
sila na vodič protjecan strujom, 92<br />
spojevi<br />
170
s otpornicima, 41<br />
paraleleno, 42<br />
serijski, 41<br />
srednja vrijednost, 130<br />
struja<br />
istosmjerna, 125<br />
izmjenična, 125<br />
periodička, 126<br />
sinusoidalna, 127<br />
strujni krug<br />
jednostavni, 52<br />
složeni, 55<br />
supravodljivost, 37<br />
transformator, 101<br />
trofazni sustav, 157<br />
snaga, 159<br />
trokut spoj, 158<br />
zvijezda spoj, 157<br />
vektorski prikaz, 137<br />
vodič, 5<br />
volt, 12<br />
voltmetar<br />
proširenje mjernog područja, 64<br />
vremenska konstanta, 113<br />
zavojnica<br />
iskapčanje, 116<br />
ukapčanje, 115<br />
171