Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 149
nie są dzielnikami liczby r. Natomiast V 2 jest zbiorem tych wszystkich dzielników liczby n, które nie
są dzielnikami liczby r.
Zauważmy, że d nie należy do zbioru U. Gdyby bowiem było przeciwnie, to mielibyśmy równości
d = r = nwd(d, n), z których wynikałoby, że d dzieli n; sprzeczność z założeniem, że d ∤ n. W podobny
sposób uzasadniamy, że n nie należy do zbioru U.
Zatem d ∈ V 1 oraz n ∈ V 2 . Oznaczmy:
F (x) =
∏
m∈V 1{d}
Φ m (x), G(x) =
∏
m∈V 2{n}
Φ m (x).
Jest jasne, że F (x), G(x) są wielomianami o współczynnikach całkowitych. Korzystamy teraz z twierdzenia
12.4.2 i mamy:
H d (x) = ∏ Φ m (x) = ∏ ∏
Φ m (x) · Φ m (x) = H r (x) ∏
Φ m (x) = H r (x)F (x)Φ d (x).
m|d
m∈U m∈V 1 m∈V 1
W ten sam sposób wykazujemy, że H n (x) = H r (x)G(x)Φ n (x). Wstawiamy to do równości (∗) i po
podzieleniu przez H r (x) otrzymujemy tezę. ⊠
12.4.8. Dla każdego n ∈ N zachodzi równość:
Φ n (x) = ∏ d|n(x n d − 1) µ(d) ,
w której µ oznacza funkcję Möbiusa. ([Fila] s.87).
D. Wynika z równości 12.4.2 i własności splotowych funkcji Möbiusa (patrz [N-5]). ⊠
12.4.9. W ciele Q(x) dla każdej liczby naturalnej n 2 zachodzi równość
Φ n (x) = x ϕ(n) Φ n
( 1
x
)
.
D. Wynika to z równości 12.4.8 i ze znanych równości ∑ d|n µ(d) n d = ϕ(n) oraz ∑d|n µ(d) = 0
(dla n 2). ⊠
12.4.10. Niech f(x) ∈ Z[x] będzie wielomianem z nieparzystymi współczynnikami stopnia
d − 1. Jeśli Φ n (x) dzieli wielomian f(x), to n dzieli 2d. ([BoC]).
12.4.11 (Gauss). Jeśli n > 1 jest nieparzystą liczbą bezkwadratową, to istnieją takie wielomiany
A(x), B(x) ∈ Z[x], że 4Φ n (x) = A(x) 2 − n(−1) (n−1)/2 B(x) 2 . (Brent).
12.4.12 (Aurifeuille, Le Lasseur, Lucas). Jeśli n > 1 jest nieparzystą)
liczbą bezkwadratową,
to istnieją takie wielomiany C(x), D(x) ∈ Z[x], że Φ n
((−1) (n−1)/2 x = C(x) 2 − nxD(x) 2 .
(Brent).
12.4.13 (Aurifeuille, Le Lasseur, Lucas). Jeśli n jest parzystą liczbą bezkwadratową, to istnieją
takie wielomiany C(x), D(x) ∈ Z[x], że ±Φ n/2 (−x 2 ) = C(x) 2 − nxD(x) 2 . (Brent).