Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

148 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
12.4.5 (T. M. Apostol, 1970). Niech d < n będą liczbami naturalnymi i niech k będzie liczbą
naturalną zdefiniowaną następująco:
k =
{ p, gdy
n
d
jest potęgą liczby pierwszej p,
1, w przeciwnym przypadku.
Istnieją wtedy wielomiany o współczynnikach całkowitych F (x), G(x) takie, że
k = F (x)Φ d (x) + G(x)Φ n (x) .
W literaturze matematycznej znajdziemy sporo różnych dowodów tego twierdzenia. W
1970 roku udowodnił to Tom M. Apostol [Apl]. Dwa dowody, w tym jeden Andrzeja Schinzla,
opublikował później Michael Filaseta [Fil]. Ostatnio prosty dowód opublikował Gregory
Dresden [Drn]. Jego dowód podaje jawnie postać wielomianów F (x) i G(x).
W pierwszym wydaniu tej książki powyższe twierdzenie się nie pojawiło. Autor dziękuje
profesorom Władysławowi Narkiewiczowi oraz Andrzejowi Schinzlowi za cenne informacje o
tym twierdzeniu i jego dowodach.
W jednym z następnych podrozdziałów (patrz 12.12.6) wykorzystamy pewien szczególny
przypadek omawianego twierdzenia. Teraz przedstawimy ten przypadek wraz z dowodem.
Załóżmy, że m > n są liczbami naturalnymi i niech m = kn + r, gdzie k ∈ N, r ∈ Z,
0 r < n. Mamy wtedy równość
x m − 1 = (x m−n + x m−2n + x m−3n + · · · + x m−kn )(x n − 1) + x r − 1.
Stosując tego typu równości i postępując tak jak w algorytmie Euklidesa, otrzymujemy:
12.4.6. Niech n, m ∈ N oraz d = nwd(n, m). Istnieją wtedy wielomiany o współczynnikach
całkowitych A(x), B(x) takie, że x d − 1 = A(x)(x n − 1) + B(x)(x m − 1).
Z powyższych obserwacji wynika, wspomniany wcześniej, następujący szczególny przypadek
twierdzenia 12.4.5.
12.4.7. Jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d < n oraz d ∤ n, to istnieją wielomiany
o współczynnikach całkowitych F (x), G(x) takie, że
1 = F (x)Φ d (x) + G(x)Φ n (x) .
D. Oznaczmy: H k (x) = x k − 1 dla wszystkich k ∈ N.
Niech r = nwd(d, n) i niech A(x), B(x) ∈ Z[x] takie, że
(∗)
H r (x) = A(x)H d (x) + B(x)H n (x).
Takie wielomiany A(x), B(x) istnieją na mocy 12.4.6. Wprowadźmy zbiory:
U = {m ∈ N; m | r}, V 1 = {m ∈ N; m | d, m ∤ r}, V 2 = {m ∈ N; m | n, m ∤ r}
U jest zbiorem wszystkich dzielników naturalnych liczby r; każdy taki dzielnik jest oczywiście dzielnikiem
liczby d i jest dzielnikiem liczby n. V 1 jest zbiorem tych wszystkich dzielników liczby d, które