Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

146 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.3 Nierozkładalność wielomianów cyklotomicznych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.3.1 (Kronecker). Każdy wielomian Φ n (x) jest nierozkładalny w Z[x]. ([Br77], [Fila] s.86).
D. ([Br77]). Przypuśćmy, że wielomian Φ n (x) jest rozkładalny w Z[x]. Istnieją wtedy dwa wielomiany
g(x) i h(x) należące do Z[x] (dodatniego stopnia) takie, że:
Φ n (x) = g(x) · h(x).
Możemy założyć, że wielomian g(x) jest nierozkładalny w Z[x]. Załóżmy ponadto, że są to wielomiany
moniczne. Ponieważ Φ n (ω 1 ) = Φ n (ω 2 ) = . . . = Φ n (ω ϕ(n) ) = 0, gdzie ω 1 , ω 2 , . . . , ω ϕ(n) są wszystkimi
pierwiastkami pierwotnymi n-tego stopnia z jedynki, więc istnieje co najmniej jeden z tych pierwiastków
pierwotnych, oznaczmy go przez e, spełniający równość g(e) = 0.
Niech p będzie taką liczbą pierwszą, że p ∤ n. Udowodnimy, że g(e p ) = 0. W tym celu zauważmy
najpierw, że e p jest również pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki (ponieważ liczby p, n
są względnie pierwsze). Zatem Φ n (e p ) = 0, więc g(e p ) = 0 lub h(e p ) = 0. Pokażemy, że g(e p ) = 0.
Przypuśćmy, że h(e p ) = 0. Wówczas liczba e jest pierwiastkiem jednocześnie wielomianów g(x)
oraz h(x p ). Ponieważ wielomian g(x) jest jest nierozkładalny w Z[x], więc stąd wynika, że g(x) dzieli
h(x p ) w Z[x]. Zatem
h(x p ) = g(x) · v(x),
gdzie v(x) ∈ Z[x]. Rozpatrzmy homomorfizm pierścieni α : Z[x] −→ Z p [x] indukowany przez naturalny
homomorfizm: Z → Z p (liczbie całkowitej a przyporządkowana jest reszta z dzielenia a przez p). Mamy
wówczas w pierścieniu Z p [x] następujące dwie równości:
α(Φ n (x)) = α(g(x)) · α(h(x)),
α(h(x p )) = α(g(x)) · α(v(x)).
Ale α(h(x p )) = (α(h(x))) p , więc α(h(x)) p = α(g(x)) · α(v(x)). Wielomian α(v[x]) ma stopień 1 (bo
jest moniczny). Niech u(x) ∈ Z p [x] będzie wielomianem nierozkładalnym w Z p [x] dzielącym α(v(x)).
Wtedy wielomian u(x) dzieli wielomian
(α(h(x))) p = α(h(x)) · α(h(x)) · · · α(h(x)) ,
} {{ }
p
dzieli więc α(h(x)). Wielomian u(x) dzieli więc jednocześnie wielomiany α(g(x)) i α(h(x)). Oznacza
to, że wielomiany α(g(x)) i α(h(x)) mają wspólny czynnik w Z p [x]. Stąd wynika dalej, że wielomian
α(Φ n (x)) = α(g(x)) · α(h(x))
ma czynnik wielokrotny w Z p [x]. Ale x n − 1 = F n (x) · Φ n (x) (patrz 12.2.5), więc w pierścieniu Z p [x]
mamy równość
x n − 1 = α(x n − 1) = α(f n (x)) · α(Φ n (x)),
z której wynika, że wielomian x n − 1 ma czynnik wielokrotny w Z p [x]. Zatem w pewnym rozszerzeniu
ciała Z p wielomian x n − 1 ma pierwiastek podwójny. To jest oczywiście niemożliwe. Doszliśmy zatem
do sprzeczności.
W ten sposób wykazaliśmy, że g(e) = 0 oraz g(e p ) = 0 dla wszystkich takich liczb pierwszych p,
że p ∤ n. Stąd wynika, że g(ω) = 0 dla każdego ω będącego pierwotnym pierwiastkiem n-tego stopnia
z jedynki.
Niech ω będzie pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Ponieważ e jest też takim
pierwotnym pierwiastkiem, więc ω = e k dla pewnego k. Zatem nwd(k, n) = 1. Jeżeli k = 1, to ω = e,
więc g(ω) = g(e) = 0. Niech teraz k 2. Niech k = p 1 p 2 · · · p s , gdzie p 1 , p 2 , . . . , p s są liczbami
pierwszymi (niekoniecznie różnymi). Każda z tych liczb pierwszych jest oczywiście względnie pierwsza
z liczą n. Zatem p 1 ∤ n, p 2 ∤ n, . . . , p s ∤ n. Z tego co już udowodniliśmy wynika, że g(e p1 ) = 0.
Przyrównując e 1 = e p1 mamy g(e 1 ) = 0, więc g(e p2 ) = 0, więc g(e p1p2 ) = 0 i tak dalej aż do równości