Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne 145
D. Jedyną liczbą naturalną mniejszą niż p i dzielącą p jest d = 1. Wobec tego F p = (x − 1).
Z równości 12.2.5 wynika zatem, że Φ p (x) = xp −1
x−1
= xp−1 + x p−2 + . . . + x + 1. ⊠
12.2.7. Niech A ⊂ B będą pierścieniami (przemiennymi z 1). Rozważmy trzy wielomiany:
f(x), g(x), h(x) należące do B[x]. Załóżmy, że:
(a) f(x) = g(x)h(x),
(b) f(x) i g(x) są moniczne,
(c) f(x), g(x) ∈ A[x].
Wtedy wielomian h(x) jest moniczny i należy do A[x].
D. Moniczność wielomianu h(x) jest oczywista. Niech:
f(x) = x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 ,
g(x) = x m + b m−1 x m−1 + . . . + b 1 x + b 0 ,
h(x) = x s + c s−1 x s−1 + . . . + c 1 x + c 0 ,
Współczynniki postaci a i , b j należą do A, natomiast współczynniki postaci c i należą do B. Ponieważ
f(x) = g(x)h(x), więc porównując współczynniki przy x n−1 mamy a n−1 = c s−1 + b m−1 . Stąd c s−1 =
a n−1 − b m−1 ∈ A. Wiemy więc, że c s−1 ∈ A. Załóżmy, że wiemy już, że wszystkie współczynniki
c s−1 , c s−2 , . . . , c k+2 , c k+1
należą do A. Pokażemy, że wówczas współczynnik c k również należy do A. W tym celu porównajmy
w równości f(x) = g(x)h(x) współczynniki przy x k+s . Wtedy a k+s = c k + c k+1 b s−1 + c k+2 b s−2 + . . .
i wobec tegoże
c k = a k+s − (c k+1 b s+1 + c k+2 b s−2 + . . .).
Prawa strona należy do A. Zatem c k ∈ A i to kończy nasz indukcyjny dowód. ⊠
12.2.8. Każdy wielomian Φ n (x) należy do pierścienia Z[x]. Innymi słowy, wszystkie współczynniki
dowolnego wielomianu cyklotomicznego są liczbami całkowitymi. ([Br77], [La84]).
D. Wiemy, że x n − 1 = F n (x)Φ n (x) (patrz 12.2.5). Wielomiany x n − 1 i F n (x) są moniczne i
należą do Z[x]. Z 12.2.7 wynika więc, że wielomian Φ n (x) również należy do Z[x]. ⊠
⋆ T. Nagell, The cyclotomic polynomial, [Nagl] 158-160.