Podróże po Imperium Liczb - Wydział Matematyki i Informatyki ...

144 Andrzej Nowicki, Wielomiany 12. Wielomiany cyklotomiczne
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.2 Początkowe własności wielomianów cyklotomicznych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.2.1. Z definicji wielomianów cyklotomicznych wynika, że
Φ n (x) = ∏
k∈A n
(x − ξ k ) ,
gdzie ξ = cos 2π n +i sin 2π n oraz A n jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych zbioru {1, . . . , n}
względnie pierwszych z n.
12.2.2. Dla n 3 zachodzi równość
Φ n (x) = ∏
k∈B n
(
x 2 − 2x cos
( 2kπ
n
) )
+ 1 ,
gdzie B n jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n 2
liczbą n.
i względnie pierwszych z
D. Wynika to z równości 12.2.1 oraz tego, że ξ n−k jest sprzężeniem liczby ξ k . ⊠
12.2.3. Jeżeli n ≠ m, to Φ n (x) ≠ Φ m (x).
D. Niech U n i U m będą zbiorami pierwiastków pierwotnych odpowiednio stopni n i m z jedynki.
Wiadomo, że jeśli n ≠ m, to U n ≠ U m (a nawet U n ∩ U m = ∅). Zatem jeśli n ≠ m, to Φ n (x) ≠ Φ m (x),
gdyż są to wielomiany moniczne mające różne zbiory pierwiastków. ⊠
Niech n 2 będzie ustaloną liczbą naturalną. Przez F n (x) oznaczać będziemy wielomian
należący do Z[x], będący najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich wielomianów
postaci x d −1, gdzie d < n oraz d | n. Dodatkowo przyjmujemy, że F 1 (x) = 1. Zapamiętajmy:
{
F n (x) = nww x d }
− 1; d < n, d | n, d ∈ N
Z tej definicji wynika, że F n (x) jest monicznym wielomianem o współczynnikach całkowitych,
podzielnym przez wielomian x − 1. Ponadto, x d − 1 dzieli F n (x) dla wszystkich 1 d < n
takich, że d | n.
12.2.4. Niech e będzie pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedynki. Wówczas:
∏
F n (x) = (x − e r ).
r∈{1,2,...,n}
(r,n)>1
12.2.5. Dla każdego n ∈ N zachodzi równość x n − 1 = F n (x) · Φ n (x). ([Br77], [La84]).
12.2.6. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to
Φ p (x) = x p−1 + x p−2 + . . . + x + 1.
.